線性方程組的解法討論本科畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)論文論文題目: 線性方程組的解法討論作者、學(xué)號(hào)：XXX學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2010級(jí)學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：XXXX完成日期：2014年5月20日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處線性方程組的解法討論摘 要科學(xué)技術(shù)、工程和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型時(shí)通?？梢耘c線性方程組對(duì)應(yīng)起來，因此，AX=b的求解是科學(xué)計(jì)算的中心問題.本文介紹了線性方程組的概念及解的基本理論，針對(duì)齊次線性方程組和非齊次線性方程組，結(jié)合例題討論了它們的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU分解法、逆矩陣及廣義逆矩陣法，并對(duì)每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用性進(jìn)行了分析，得出線性方程組的解法雖多，但要根據(jù)線性方程

2、組的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法，方能順利求解的結(jié)論. 關(guān)鍵詞 ：線性方程組；高斯消元法；克拉姆法則；LU分解法；逆矩陣法Discussion about the Solution of Linear System of EquationsAbstract: Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solu

3、tion of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gaus

4、s elimination method, LU decomposition method, Crum method, inverse matrix and generalized inverse matrix method, and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate method according to the

5、linear equation the form of a group, can be solved smoothly conclusions.Key words: linear System of equations； Gauss elimination method；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix；目 錄1 引言12 文獻(xiàn)綜述12.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)22.3 提出問題23 線性方程組的概念及解的基礎(chǔ)理論23.1 齊次線性方程組33.2 非齊次線性方程組64 線性方程組的解法94.1 高斯消元法94.2 用

6、克拉默（Cramer）法則解線性方程組104.3 LU分解法114.4 逆矩陣法及廣義逆矩陣法125 結(jié)論155.1 主要發(fā)現(xiàn)155.2 啟示155.3 局限性155.4 努力方向15參考文獻(xiàn)161 引言求解線性方程組AX=b是科學(xué)計(jì)算的中心問題1.對(duì)于系數(shù)矩陣為低階稠密矩陣的線性方程組可以用直接法進(jìn)行消元.對(duì)于大規(guī)模線性方程組的求解問題，特別是大規(guī)模稀疏線性方程組，直接法會(huì)顯得比較繁瑣.因此，探討線性方程組的解法就成了當(dāng)前數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).目前，求解線性方程組的主要方法有高斯消元法2，克拉姆法4，廣義逆矩陣法3，LU分解法9，如何選擇是大家關(guān)心的一個(gè)問題.在科技、工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等

7、各個(gè)領(lǐng)域中，很多問題常常歸結(jié)為線性方程.有些問題的數(shù)學(xué)模型雖不直接表現(xiàn)為求解線性方程，但其數(shù)值解法中卻需將該問題“離散化”或“線性化”為線性方程組10.隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量的日益增大和計(jì)算機(jī)速度的迅速提高，使得求解線性代數(shù)方程組的直接求法如高斯消去法等在計(jì)算機(jī)上可以用來求解大規(guī)模線性代數(shù)方程組，并且由于處理稀疏矩陣存貯和計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，加之直接方法理論的日臻完善，進(jìn)一步斷定了直接方法的巨大使用價(jià)值和可靠性，因而在近三十年來直接法被廣泛地采用，在科學(xué)研究和大型工程設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了越來越多的數(shù)學(xué)問題，而這些問題往往需要求數(shù)值解，在進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，經(jīng)離散后，常常歸結(jié)為求解行如Ax=b的大型線性方程組.許

8、多源于工程技術(shù)的數(shù)學(xué)問題，都可以歸結(jié)為求解線性方程組.因此在各種數(shù)據(jù)處理中，線性方程組的求解是最常見的問題之一.因此，找到一種行之有效的方法來解線性方程組可以給計(jì)算帶來很大的便利，提高人們的工作效率.2 文獻(xiàn)綜述2.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀目前，國內(nèi)外對(duì)線性方程組解法的研究已從各個(gè)方面進(jìn)行了一定的探討，得出了一系列的成果，文獻(xiàn)1-2中作者簡單地?cái)⑹隽司€性方程組的思想方法，文獻(xiàn)3中漫談了線性方程組的改革，文獻(xiàn)4-5中系統(tǒng)地介紹了線性方程組的基本理論，文獻(xiàn)6中系統(tǒng)地講述了線性方程組的各種解法，文獻(xiàn)7-10中介紹了一些線性方程組的典例與解法，文獻(xiàn)11中韓艷麗介紹了線性方程組在處理矩陣秩問題中的應(yīng)用，文獻(xiàn)1

9、1-12周均介紹了齊次與非齊次線性方程組重要理論的應(yīng)用舉例，文獻(xiàn)13-14 花威談了線性方程組在高等代數(shù)中的應(yīng)用.2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)國內(nèi)外對(duì)線性方程組的研究多偏重于計(jì)算方法和應(yīng)用方面的研究，分別從商品利潤問題、交通問題、在解析幾何中的應(yīng)用問題、解決高等代數(shù)等方面進(jìn)行研究，對(duì)線性方程組的系統(tǒng)討論及怎樣選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，給出的研究不多. 2.3 提出問題針對(duì)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，本文把以上文章中的所有問題進(jìn)行了綜合，對(duì)線性方程組的解法作了歸納總結(jié)，彌補(bǔ)其中的一些不完善的地方，并例舉一些具有針對(duì)性、典范性的例題.3 線性方程組的概念及解的基礎(chǔ)理論形如 (1.1)的方程組，叫做線性方程組，其中1,

10、 2, n代表n個(gè)未知量的系數(shù)，m是方程的個(gè)數(shù)；aij(i=1,2, ,m,j=1,2, ,n) 稱為方程組的系數(shù)bi(i=1,2, ,s)稱為常數(shù)項(xiàng).3.1 齊次線性方程組若方程組(1.1)中全為0，即 （1.2）形如（1.2）的方程組叫做齊次線性方程組7.常記為矩陣形式: Ax=0其中系數(shù)矩陣的秩. 且方程組(1.2)的解空間為. 則可以得到下列結(jié)論, 這里表示方程組(1.1)解空間的維數(shù)9定理 齊次線性方程組一定有解：(1) 若齊次線性方程組，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.解的性質(zhì)：記,(1)如果，那么； (2)如果為任意常數(shù)，那么.(3)齊次線性方程組的通解為

11、, 是任意常數(shù)，其中是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例115 解線性方程組解 方法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有，則方程組僅有零解，即.方法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即），不可以用行列式的方法來判斷），從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.例22 解線性方程組解 將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中，為自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為 （，）.例33 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以該基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解.解 將系

12、數(shù)矩陣化成簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,所以，原方程組的通解為（其中,為任意實(shí)數(shù)）.注：基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r(A). 由上面的定理可知，若是系數(shù)矩陣的行數(shù)（也即方程的個(gè)數(shù)），是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；（2）當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式；（3）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式，故齊次線性方程組只有零解；（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故

13、存在齊次線性方程組的同解方程組，使“”.3.2非齊次線性方程組1若方程組(1.1)中不全為0，即 （1.3）形如（1.3）的方程組叫做非齊次線性方程組，常記為矩陣形式: Ax=b.其中系數(shù)矩陣的秩. 且方程組(1.3)的解空間為. 則可以得到下列結(jié)論, 這里表示方程組(1.1)解空間的維數(shù)9稱為方程組(1.3)的增廣矩陣，關(guān)于非齊次線性方程組，有以下理論：(1)唯一解： 線性方程組有唯一解.(2)無解：線性方程組無解.(3)無窮多解：線性方程組有無窮多解.2.解的性質(zhì)：記,.(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)非齊次線性方程組的通解為, 是任意常數(shù),其中是的一個(gè)解(稱為特解)，是的一個(gè)基

14、礎(chǔ)解系. 例47 解線性方程組解 可見，則方程組有唯一解.所以方程組的解為 例51 解線性方程組解 ，可見，所以原方程組無解. 例6 解線性方程組解 可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為（，）.4 線性方程組的解法4.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一種古老的方法4，基于高斯消元法的基本思想而改進(jìn)、變形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：（1）

15、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）交換某兩個(gè)方程的位置；（3）用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程.這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.高斯消元法的基本思想是：通過一系列的加減消元運(yùn)算，也就是代數(shù)中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量.現(xiàn)舉例說明如下：例7 解線性方程組解 分別將第一個(gè)方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四個(gè)方程上，整理得將此方程組第二個(gè)方程加到第四個(gè)方程上，使該方程兩邊全為零，并將第三個(gè)方程的兩邊乘以，得再將第三個(gè)方程的7倍加到第二個(gè)方程上，消去第二個(gè)方程中的未知量，整理得最后解得.小結(jié)：高斯（Gauss)消元法的思想比較簡單，操作起

16、來比較容易，但它只適用于未知數(shù)較少的線性方程組；當(dāng)方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)較多時(shí)，消元較為困難.4.2 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組定理1 如果方程組Ax=b中D=|A|0，則Ax=b有解，且解是唯一的，解為是D中第i列換成列矩陣b所得的行列式.定理2 如果方程組Ax=b中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer法則解n元方程組有兩個(gè)前提條件：(1)未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù).(2)系數(shù)行列式不等于零定理33 當(dāng)齊次線性方程組，時(shí)該方程組有唯一的零解.定理44 齊次線性方程組有非零解.例8 解線性方程組解 所以，方程組有唯一解.，因此，線性方程組的解為：.小結(jié)：Cramer法則用于判

17、斷具有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程的方程組解的情況12.當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，方程組有解且解唯一.如果方程組無解或者有兩個(gè)不同的解時(shí)，則系數(shù)行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則沒有非零解.如果齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式必為零. 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組比較簡單，操作起來也比較容易，但它只適用于解未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相同的線性方程組，而且通常是解非齊次線性方程組，對(duì)齊次線性方程組，只能求出零解，非零解無法求出.4.3 LU分解法LU分解法是直接分解法中的一種算法10，將方程組Ax=b 中的稀疏矩陣A分解為一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣，其中A

18、=LU,令y=Ux,那么在方程租的運(yùn)算中可以先解Ly=b,再解Ux=y在編程過程中分兩步進(jìn)行，先對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解，然后再解方程組.例9 用LU分解法解方程組 解 由LU分解小結(jié)：LU分解法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)方程組左端系數(shù)矩陣不變13，僅僅是方程組右端列向量改變，即外加激勵(lì)信號(hào)變化時(shí)，能夠方便地求解方程組. 設(shè)n階線性方程組Ax=b .將方程組左端系數(shù)矩陣A，分解成兩個(gè)三角陣的乘積14，即A=LU ，式中，L為主對(duì)角線以上的元素均為零的下三角矩陣, 且主對(duì)角線元素均為1的上三角矩陣；U為主對(duì)角線以下的元素均為零.4.4逆矩陣法及廣義逆矩陣法1. 線性方程組AX=b,當(dāng)A可逆時(shí)，(注：A是方陣).例1

19、0 解線性方程組Ax=b,其中，b=(1，-2，4).解 ,所以，系數(shù)矩陣A可逆.，方程組變形為 x=A-1b因此，線性方程組的解為：.注：針對(duì)線性方程組AX=b,上述解法只適用于A是方陣且可逆的線性方程組.下面主要討論如何將上述方法加以推廣，使之能運(yùn)用到一般的線性方程組的求解中.2. 設(shè).如果存在，使得，則稱為矩陣的一個(gè)1-廣義逆矩陣，記作.矩陣的1-逆總是存在的，但一般不是惟一的12，矩陣的1-逆的全體記為.若，為的一個(gè)1-廣義逆矩陣2，則對(duì)為任意的矩陣，矩陣的一個(gè)1-廣義逆矩陣為,同時(shí)還可以表示為.廣義逆矩陣的計(jì)算：(1)設(shè)，且有和階置換矩陣使得則對(duì)任意的，矩陣是的一個(gè)1-廣義逆矩陣.若

20、存在使得則矩陣的1-逆的全體(2)設(shè)，則有惟一1逆的充分必要條件是，且，即可逆.這個(gè)惟一的1逆就是.定理1 12 設(shè)，,則是線性方程組有解的充要條件,其中.如果線性方程組有解，其通解可表示為，其中是任意的維列向量.定理214 設(shè)線性方程組有解，是矩陣的一1-廣義逆矩陣，并且，則為線性方程組的最小范數(shù)解.定理315 設(shè)為矩陣的一個(gè)1-廣義逆矩陣，且，則對(duì)任意的維列向量,一定是線性方程組的最小二乘解.例11 解線性方程組 解 令 ，.通過行初等變換得到 .取，再令，得.可以驗(yàn)證 所以，線性方程組有解，且通解為(任意)7.小結(jié)：該方法對(duì)線性方程組解的討論更加完整，表達(dá)形式也更加簡潔系統(tǒng).在無窮多個(gè)解

21、向量中，此法可求出一個(gè)長度最短解向量，當(dāng)方程組無解時(shí)，又可求出其最優(yōu)近似解，而且該方法在概率統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃等領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛.5 結(jié)論5.1 主要發(fā)現(xiàn)線性方程組有多種解法，每種解法都有它的優(yōu)越性和局限性.線性方程組是線性代數(shù)的心臟，它可以應(yīng)用到很多方面，根據(jù)其重要理論可以解決很多問題，使得一些問題得到意想不到的簡單解法.5.2 啟示線性方程組的解法雖多，要選擇一種適合的并不容易，我們需要先對(duì)線性方程組進(jìn)行分類：齊次線性方程組和非齊次線性方程組.根據(jù)不同的線性方程組的不同特征，進(jìn)而采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?5.3 局限性線性方程組的解法還有多，由于本人的能力和時(shí)間有限，只對(duì)其中的幾種方法進(jìn)行討論和分

22、析.5.4 努力方向除了文章所述線性方程組的理論知識(shí)和求解方法外，由于線性方程組的解法相當(dāng)多，在今后的學(xué)習(xí)中將不斷的深入研究，以彌補(bǔ)文章中許多不足之處.參考文獻(xiàn) 1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)M.北京: 高等教育出版社, 1988:25-50.2張禾瑞.,郝鈵新.高等代數(shù)M.第四版.北京: 高等教育出版社, 1999:35-68.3丘維聲. 高等代數(shù)M.北京: 高等教育出版社, 1996:32-65. 4北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組.高等代數(shù)M.第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.5熊廷煌.高等代數(shù)簡明教程M.武漢:湖北教育出版社,1987:30-55.6鄧建中,劉之行.計(jì)算方法M.西安:西安交通大學(xué)出版社,