立體幾何好的題目及問(wèn)題詳解

1、高三數(shù)學(xué)·單元測(cè)試卷(九)第九單元簡(jiǎn)單幾何體，交角與距離(時(shí)量:120分鐘150分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有A18對(duì) B24對(duì) C30對(duì) D36對(duì)2一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為ABCD3設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PAQC1，則四棱錐BAPQC的體積為A B C D4如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF2，

2、則該多面體的體積為A BC D5設(shè)、為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是ABC DA1CBAB1C1D1DO6如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為A B CD 7不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有A3個(gè)B4個(gè) C6個(gè) D7個(gè)8正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、C1D1的中點(diǎn)，則直線A1B1與平面A1ECF所成角的正弦為A BC D9在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，有一個(gè)平面多邊形，它在xOy平面的正射影的面積為8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面積都為6，則這個(gè)多邊形的面積為A2BC2D

3、10將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 AB2C4D答題卡題號(hào)12345678910答案二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在橫線上11正三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)半徑為2的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是_ 12如圖，PA平面ABC，ABC90°且PAABBCa， 則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_13已知球面上A、B兩點(diǎn)間的球面距離是1，過(guò)這兩點(diǎn)的球面半徑的夾角為60°，則這個(gè)球的表面積與球的體積之比是 14下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二

4、面角都相等的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號(hào)是_（寫出所有真命題的編號(hào)）15在正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，則 四邊形BFD1E一定是平行四邊形 四邊形BFD1E有可能是正方形 四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文

5、字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16(本題滿分l2分) 在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（）證明AB平面VAD（）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小17（本題滿分12分）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別是2和6，高為的等腰梯形將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2ABCDOO1ABOCO1D（）證明ACBO1；（）求二面角OACO1的大小18（本題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PAAB1，BC2 （1）求證：平面PDC平面PAD； （2）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；PA

6、BCDE （3）在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19（本題滿分14分）ABCA1C1FEB1如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45°角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F 求證：平面A1EF平面B1BCC1；求直線AA1到平面B1BCC1的距離；當(dāng)AA1多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等20(本題滿分14分)如圖直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐

7、標(biāo)系O-xyz.CBAOSyxz求的大小（用反三角函數(shù)表示）；設(shè)OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）；O到平面SBC的距離.設(shè) . 異面直線SC、OB的距離為 .（注：只要求寫出答案）21(本題滿分14分) 直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACBa，BCA90°，AA12a，M、N分別是A1B1、AA1的中點(diǎn) （I）求的長(zhǎng)； （II）求cos； （III）求證：A1BC1M簡(jiǎn)單幾何體，交角與距離參考答案一、選擇題題號(hào)12345678910答案CDCAABD ACC二、填空題113；12；13； 1415三、解答題16證明：（）作AD的中點(diǎn)O，則VO底面ABCD1分建

8、立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，2分則A（，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（，0，0），V（0，0，），3分由4分5分又ABAVAAB平面VAD6分（）由（）得是面VAD的法向量7分設(shè)是面VDB的法向量，則9分，11分又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為12分17解法一（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）圖3O1（0，0，）.從而所以A

9、CBO1. （II）解：因?yàn)樗訠O1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=即二面角OACO1的大小是ABOCO1D圖4F E解法二（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 從而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因?yàn)?，所以O(shè)O1B=60°，O1OC=30°，從而OCBO1由三垂線定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1

10、平面AOC.設(shè)OCO1B=E，過(guò)點(diǎn)E作EFAC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1FAC.所以O(shè)1FE是二面角OACO1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，從而，又O1E=OO1·sin30°=，所以 即二面角OACO1的大小是18解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，)，P(0，0，1)(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，1)，(0，1，) ，(1，2，1)，

11、(1) 平面PDC平面PAD5分(2)cos，所求角的余弦值為9分(3)假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，令BGx，則G(1，x，0)，作DQAG，則DQ平面PAG，即DQ12SADGS矩形ABCD，22，又AG，x<2，故存在點(diǎn)G，當(dāng)BG時(shí)，使點(diǎn)D到平面PAG的距離為114分19解：CC1BB1，又BB1A1E，CC1A1E，而CC1A1F，CC1平面A1EF，平面A1EF平面B1BCC14分作A1HEF于H，則A1H面B1BCC1，A1H為A1到面B1BCC1的距離，在A1EF中，A1EA1F，EF2，A1EF為等腰Rt且EF為斜邊，A1H為斜邊上中線，可得A1HEF19分作A1G面ABC于G，連AG，則A1G就是A1到面ABC的距離，且AG是BAC的角平分線，A1G112分cosA1AG，sinA1AG，A1A114分20解：（）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）4分（）7分， ； 14分21以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（I）B(0，a，0)，N(a，0，a)，4分（