控制理論考試

1、一、簡答（1）如何由一個傳遞函數(shù)來給出其對應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡述其解決思路？ 答：（1）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 若，則通過長除法，傳遞函數(shù)總可以轉(zhuǎn)化成將 分解成等效的兩個特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)： 可得一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) 串聯(lián)法 其思想是將一個n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法 其的思路是把一個復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然后對每個低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關(guān)系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？簡述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的任意兩

2、個性質(zhì)。答：意義：利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以從任意指定的初始時刻狀態(tài) 矢量求得任意時刻t的狀態(tài)矢量。性質(zhì)一：或性質(zhì)二：或性質(zhì)三：或性質(zhì)四：或性質(zhì)五：對于方陣A和B，當(dāng)且僅當(dāng)時，有；而當(dāng)時，（3）簡述對偶系統(tǒng)的定義及對偶原理。答：對偶系統(tǒng)的定義：若給定的兩個線性定常連續(xù)系統(tǒng) ，滿足下列關(guān)系：，則稱系統(tǒng)和互為對偶。對偶原理：系統(tǒng)和是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則的能控性等價(jià)于的能觀性， 的能觀性等價(jià)于的能控性?；蛘哒f，若是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），則是完全能觀的（完全能控的）。（4）介紹兩種求解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法。答：1.冪級數(shù)法設(shè)的解是的向量冪級數(shù)式中，都是維列向量，則，且，故狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩

3、陣，記為：2.拉普拉斯變換法, , （5）什么是系統(tǒng)的能控性？簡述判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性的兩種方法。答： 如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間區(qū)間內(nèi)，是系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 線性定常系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則有兩種形式，一種是先將系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)陣，確定系統(tǒng)的能控性；另一種方法是直接根據(jù)狀態(tài)方程的陣和陣，確定其能控性。（6）什么是系統(tǒng)的能觀性？簡述判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀性的兩種方法。答： 如果對任意給定的輸入，在有限觀測時間,使得根據(jù)期間的輸出能唯一

4、地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀的。 定常系統(tǒng)能觀性的判別有兩種方法，一種是對系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型下的 C 陣，判別其能觀性，另一種方法是直接根據(jù) A 陣和 C 陣進(jìn)行判別。yy（7）對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？簡述一種極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋制器的設(shè)計(jì)方法。答：采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋制器的設(shè)計(jì)方法找不到。（8）利用李雅普諾夫第二法判斷線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

5、什么？答：充分必要條件為：對任意給定的對稱正定矩陣，李雅普諾夫矩陣方程有唯一的對稱正定解。二、判斷（ ）1. 由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。 （ ×）2. 若一個對象的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也一定 是能控的。 （ ×）3. 對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定是輸出能控的。 （ ）4. 對系統(tǒng)，其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣A的特征值都具有負(fù)實(shí)部是一致的。 （ ）5. 根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制問題設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。 （ ×）6. 對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量； （ ）7.

6、由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進(jìn)而決定系統(tǒng)的動態(tài)特性； （ ×）8. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對應(yīng)的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；（ ×） 9. 若一個系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的； （ ）10. 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。 （ ×）11. 具有對角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看成是由多個一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)； （ ×）12. 要使得觀測器估計(jì)的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，觀測器的極點(diǎn)應(yīng)該比系統(tǒng)極點(diǎn)快10倍以上； （ ×）13. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對應(yīng)狀

7、態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的； （ ）14. 若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的； （ ）15. 若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。（ ×）16. 互為對偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 （ ×）17. 一個系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個，因此系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前所處的平衡位置無關(guān)。 （ ）18. 若一線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng)的任意一個狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡隨著時間的推移都將收斂到該平衡狀態(tài)。 （ ×）19. 反饋控制可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能，但不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。 （

8、 ×）20. 如果一個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實(shí)不存在，那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（ ）21. 相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個顯著優(yōu)點(diǎn)是可以用時域法直接進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。 （ ）22. 傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)不唯一的一個主要原因是狀態(tài)變量選取不唯一。 （ ×）23. 狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組變量，因此都是具有物理意義。 （ ×）24. 輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個系統(tǒng)狀態(tài)能控意味著系統(tǒng)輸出能控。 （ ）25. 等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。三、計(jì)算分析1、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （1） 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀

9、態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖； （2） 采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖。 答:（1）將G(s)寫成以下形式：這相當(dāng)于兩個環(huán)節(jié)和串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為： 和 由于，故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是： 將其寫成矩陣向量的形式，可得： 對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 串連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖（2）將G (s)寫成以下形式： 它可以看成是兩個環(huán)節(jié)和的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：和 由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)： 進(jìn)一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得： 對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 并連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖 2、已知系統(tǒng)的微分方程如下，寫出其狀

10、態(tài)空間表達(dá)式解： (1)選擇狀態(tài)變量注意：狀態(tài)變量可以任意選取，狀態(tài)變量選取的不一樣，就會導(dǎo)致狀態(tài)空間表達(dá)式不一樣。(2)寫出微分方程組 (3)寫出狀態(tài)空間表達(dá)式3、試建立圖示電路的狀態(tài)空間表達(dá)式。解 根據(jù)基爾霍夫定律列寫回路、節(jié)點(diǎn)電壓、電流方程為： 設(shè)狀態(tài)變量 狀態(tài)空間表達(dá)式 4、試建立圖示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解 根據(jù)牛頓第二定律，列寫出： 設(shè)狀態(tài)變量 狀態(tài)空間表達(dá)式 5、已知，求。此題解法非常多，此處僅給出課文中常用的三種方法。解法一：根據(jù)的定義直接計(jì)算 解法二：變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 求特征值 解得 求的變換陣 解法三：拉氏反變換方法 6、考慮由下式確定的系統(tǒng)： , 試求其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的能控

11、標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對角線標(biāo)準(zhǔn)型。 解： 能控標(biāo)準(zhǔn)形為 能觀測標(biāo)準(zhǔn)形為 對角標(biāo)準(zhǔn)形為 7、確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則，即構(gòu)造能觀陣：要使系統(tǒng)完全能觀，則，即8、求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。 （1） 解： ，系統(tǒng)能控不能觀取，則所以，所以最小實(shí)現(xiàn)為，驗(yàn)證：9、給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，（1） 試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？ （2） 試通過一個例子說明您給出的方法；（3） 給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。 答： （1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型是一個線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充

12、分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程，若能得到一個對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q = I。 （2）舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng)： 原點(diǎn)是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：，其中的未知矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計(jì)算簡單，選取Q =2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 （3） 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個動態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析

13、該系統(tǒng)運(yùn)動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構(gòu)造一個反映系統(tǒng)運(yùn)動過程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡，通過該能量函數(shù)關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)的取值來判斷系統(tǒng)能量在運(yùn)動過程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運(yùn)動上，就是系統(tǒng)運(yùn)動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。10、已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：有解，且解具有負(fù)實(shí)部。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大

14、范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于。取，令，則帶入，得到若 ，則此方程組有唯一解。即其中要求正定，則要求11、試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。（1） （2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定12、已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。解：依題意有： ，系統(tǒng)能控。系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，其中矩陣，設(shè)，則系統(tǒng)的特

15、征多項(xiàng)式為：根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：比較各對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：則有：。13、使判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。（1）解：系統(tǒng)的能控陣為： ，系統(tǒng)能控。由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。又由于，系統(tǒng)能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。14、試用研究如下系統(tǒng)，在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：由題可知，且可對和求偏導(dǎo)數(shù)。確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。由和可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為，即原點(diǎn)。計(jì)算。（3） 判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性。由和可以斷定原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)時，所以原點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。15、已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下：其中、均為實(shí)數(shù)： ，1 求當(dāng)系統(tǒng)既可控又可觀時，、應(yīng)滿足的條件。2 求系統(tǒng)的輸入-輸出傳遞函數(shù)。3 系統(tǒng)是否漸進(jìn)穩(wěn)定？解：1 系統(tǒng)能控性判據(jù)為： 系統(tǒng)能控的條件為： 即：， （1）系統(tǒng)能觀測性矩陣為： 系統(tǒng)能觀的條件為： 即：， （2）由式（1）和（2）