矩形的性質(zhì)和判定

1、初中數(shù)學(xué)矩形的性質(zhì)和判定編稿老師鞏建兵一校黃楠二校楊雪審核宋樹慶【考點(diǎn)精講】【典例精析】例題1 如圖，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PEAB于點(diǎn)E，PFAC于點(diǎn)F，M為EF中點(diǎn)。設(shè)AM的長(zhǎng)為x，試求x的最小值。思路導(dǎo)航：根據(jù)勾股定理的逆定理求出ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，所以AMEFAP，在RtABC中利用AP求出x的最小值。答案：解：連接AP，AB6，AC8，BC10，AB2AC23664100，BC2100，AB2AC2BC2，BAC90°，PEAB，PFAC，AEPAFPBAC90°，四邊形AEP

2、F是矩形，APEF，BAC90°，M為EF中點(diǎn)，AMEFAP，當(dāng)APBC時(shí)，AP值最小，此時(shí)SBAC×6×8×10×AP，AP4.8，即x的最小值為2.4。點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AP的最小值和得出AM與AP的數(shù)量關(guān)系。例題2 請(qǐng)看下面小明同學(xué)完成的一道證明題的思路：如圖1，已知ABC中，ABAC，CDAB，垂足是D，P是BC邊上任意一點(diǎn)，PEAB，PFAC，垂足分別是E、F。求證：PEPFCD。證明思路：如圖2，過點(diǎn)P作PGAB交CD于點(diǎn)G，則四邊形PGDE為矩形，PEGD；又可

3、證PGCCFP，則PFCG；所以PEPFDGGCDC。如圖3，若P是BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則PE、PF與CD有何關(guān)系？請(qǐng)你寫出結(jié)論并完成證明過程。思路導(dǎo)航：采用與題目相同的思路，過點(diǎn)C作CGPE，利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)確定PE、PF、CD之間的關(guān)系。答案：結(jié)論：PEPFCD。證明：過點(diǎn)C作CGPE于點(diǎn)G，PEAB，CDAB，CDEDEGEGC90°。四邊形CGED為矩形。CDGE，GCAB。GCPB。ABAC，BACB。FCPACBBGCP。在PFC和PGC中，F(xiàn)CGP90°，F(xiàn)CPGCP，CPCP，PFCPGC（AAS）。PFPG。PEPFPEPG

4、GECD。點(diǎn)評(píng)：本題通過構(gòu)造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性質(zhì)求解。解答這類閱讀理解問題，讀懂題目提供的解題思路是解題關(guān)鍵。例題3 如圖，已知ABC中，ABAC，BADCAD，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE平分FAC，DEAB交AE于點(diǎn)E。（1）求證：AEBC；（2）求證：四邊形AECD是矩形；（3）BC6cm，SAECD12cm2，求AB的長(zhǎng)。思路導(dǎo)航：（1）先根據(jù)已知條件求出ADBC，再根據(jù)AE平分FAC，得出EAD90°，從而證出AEBC；（2）先判定四邊形AECD是平行四邊形，再根據(jù)ADC90°，證出四邊形AECD是矩形；（3）由BC6cm，得出CD3

5、cm，再根據(jù)SAECD12cm2，得出AD4，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可。答案：（1）證明：ABAC，BADCAD，ADBC，ADB90°，AE平分FAC，F(xiàn)AEEACCADBAD180°，EACCADEAD90°，AEBC；（2）證明：DEAB，AEBC，四邊形ABDE是平行四邊形，AEBD，BDCD，AECD，四邊形AECD是平行四邊形，ADC90°，四邊形AECD是矩形；（3）解：BC6cm，CD3cm，SAECD12cm2，AD4，ABAC5，AB的長(zhǎng)是5cm。點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)、等

6、腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等，這類問題一般要綜合利用各種有關(guān)性質(zhì)，是中考命題的熱點(diǎn)?！究偨Y(jié)提升】1. 關(guān)于矩形的判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。說明：長(zhǎng)方形和正方形都是矩形。2. 關(guān)于矩形的性質(zhì)：矩形的4個(gè)內(nèi)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等且互相平分；矩形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是任何一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線），它至少有兩條對(duì)稱軸。矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。3. 矩形的對(duì)角線把自身分成若干個(gè)直角三角形和等腰三角形，因此很多矩形問題都可以轉(zhuǎn)化成直角三角形或等腰三角形的問題

7、加以解決。直角三角形的重要性質(zhì)主要有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩銳角互余；勾股定理；直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。（答題時(shí)間：20分鐘）一、選擇題1. 下列關(guān)于矩形的說法，正確的是（ ）A. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形B. 對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C. 矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D. 矩形的對(duì)角線相等且互相平分*2. 如圖，在ABC中，AB8，BC6，AC10，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F，則EF的最小值為（ ）A. 2.4B. 3C. 4.8D. 5*3. ABC中，ABAC5，BC6，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，那么點(diǎn)D到

8、AB與AC的距離的和為（ ）A. 5B. 6C. 4D. 二、填空題4. 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，E是AC的中點(diǎn)。若DE5，則AB的長(zhǎng)為_。*5. 如圖所示，ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BEDF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知A30°，BC2，AFBF，則四邊形BCDE的面積是_。三、解答題*6. 已知：如圖所示，D是ABC中AB邊上的中點(diǎn)，ACE和BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF。求證：DEDF。*7. 如圖，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG。（1）四邊

9、形DEFG是什么四邊形，請(qǐng)說明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)O所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由。1. D 解析：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。2. C 解析：如圖，連接BD。在ABC中，AB8，BC6，AC10，AB2BC2AC2，即ABC90°。又DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F，四邊形EDFB是矩形，EFBD。BD的最小值為直角三角形ABC斜邊上的高，AC·BDAB·AC，BD4.8，EF的最小值為4.8，故選C。3. D 解析：作ABC的高CQ，AH，過C作CZDE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Z，ABAC5，BC6，AHBC

10、，BHCH3，根據(jù)勾股定理得：AH4，根據(jù)三角形的面積公式得：BCAHABCQ，即：6×45CQ，解得：CQ，CQAB，DEAB，CZDE，CQEQEZZ90°，四邊形QEZC是矩形，CQZE。再證明ZCDFCD，得DFDZ，DEDFCQ。4. 10 解析：在ABC中，ADBC，垂足為D，ADC是直角三角形；E是AC的中點(diǎn)。DEAC（直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）；又DE5，ABAC，AB10。5. 2 解析：AFBF，即F為AB的中點(diǎn)，又DE垂直平分AC，即D為AC的中點(diǎn)，DF為三角形ABC的中位線，DEBC，DFBC，又ADF90°，CADF90&#

11、176;，又BEDE，E90°，四邊形BCDE為矩形，BC2，DFBC1，在RtADF中，A30°，DF1，AD，CDAD，則矩形BCDE的面積SCDBC2。6. 證明：分別取AC、BC中點(diǎn)M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，D為AB中點(diǎn)，AEC90°，BFC90°，EMDNAC，F(xiàn)NMDBC，DNCM且DNCM，四邊形MDNC為平行四邊形，CMDCND。EMCFNC90°，EMCCMDFNCCND，即EMDFND，EMDDNF（SAS）。DEDF。7. （1）四邊形DEFG是平行四邊形。理由如下：D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，DG是ABC的中位線；DGBC，且DGBC；同理可證