答案--如何證明圓的切線

1、圓的切線證明一、連半徑，證垂直要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個(gè)點(diǎn)，那么作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑1、如圖，已知AB為O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，BDOB，點(diǎn)C在圓上，CAB30º求證：DC是O的切線思路：要想證明DC是O的切線，只要我們連接OC，證明OCD90º即可證明：連接OC，BCAB為O的直徑，ACB90ºCAB30º，BCABOBBDOB，BCODOCD90ºDC是O的切線【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的

2、切線本題在證明OCD90º時(shí)，運(yùn)用了“在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，當(dāng)然也可以從角度計(jì)算的角度來求OCD90º2、如圖，已知是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB的延長線上的一點(diǎn)，AEDC交DC的延長線于點(diǎn)E，且AC平分EAB求證：DE是O的切線證明：連接OC，則OA=OC，所以CAO=ACO， 因?yàn)锳C平分EAB，所以EAC=CAO=AC，所以AECO，又AEDE， 所以CODE，所以DE是O的切線3、已知O中，AB是直徑，過B點(diǎn)作O的切線，連結(jié)CO，若ADOC交O于D，求證：CD是O的切線。  &

3、#160; 點(diǎn)悟：要證CD是O的切線，須證CD垂直于過切點(diǎn)D的半徑，由此想到連結(jié)OD。    證明：連結(jié)OD。 ADOC，    COBA及CODODA    OAOD，ODAOAD    COBCOD    CO為公用邊，ODOB    COBCOD，即BODC    BC是切線，AB是直徑，    B90°，ODC90°， 

4、   CD是O的切線。二、作垂直；證半徑如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑1、如圖所示，ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，O與腰AB相切于點(diǎn)D。    求證：AC與O相切。證明:連接OD，作OEAC，垂足為EAB=AC,OB=OCAO為BAC角平分線，DAO=EAOO與AB相切于點(diǎn)D，BDO=CEO=90°AO=AOADOAEO，所以O(shè)E=ODOD是O的半徑，OE是O的半徑O與AC 邊相切2、已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切

5、線.證明：連結(jié)OA，OB，作OECD于E，延長DO交CA延長線于F.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線.三、角平分線證相切：（作弦心距，利用勾股定理）1、如圖，AD是BAC的平分線，P為BC延長線上一點(diǎn)，且PA=PD，求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連結(jié)EC.AD是BAC的平分線， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直徑， ACEC，E+EAC

6、=900. 1+EAC=900. 即OAPA. PA與O相切.證明二：延長AD交O于E，連結(jié)OA，OE. AD是BAC的平分線， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA與O相2、如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC，交AC的延長線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F.（1）求證：DE是O的切線；（2）若=,求的值。3、如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作EFBC交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F。（1）求證：

7、EF為O的切線；（2）若sinABC=,CF=1,求O的半徑及EF的長。4、如圖，AB為O的直徑，AD平分BAC交O于點(diǎn)D，DEAC交AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)B是O的切線交AD的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：DE是O的切線；(2)若DE=3，O的半徑為5，求BF的長.5、在ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F,FB恰為O的直徑.（1）求證：AE與O相切；（2）當(dāng)BC=4，cosC=時(shí)，求O的半徑。（1）連接OM,則OMB=OBM=MBE       又AEBC

8、0;        OMB+BME=MBE+BME=90°                            AE與O相切（2）由AE與O相切, AEBCOMBC AOMABE BC=4,cosC=，    

9、0;     BE=2，AB=6，即 ，  四、平行證相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位線平行）1、已知是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB的延長線上的一點(diǎn)，AEDC交DC的延長線于點(diǎn)E，且AC平分EAB求證：DE是O的切線證明：連接OC，則OA=OC， CAO=ACO，AC平分EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又AEDE，CODE，DE是O的切線2、已知：如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，于點(diǎn)（1）求證：是的切線；（2）若，求的值（1）證明：，又，又于，是的切線3、如圖，O是RtABC的外接圓，ABC=90°

10、，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：BCA=BAD；（2）求DE的長；（3）求證:BE是O的切線。解：（1）證明：BD=BA，BDA=BAD。BCA=BDA（圓周角定理），BCA=BAD。（2）BDE=CAB（圓周角定理），BED=CBA=90°，BEDCBA，。BD=BA =12，BC=5，根據(jù)勾股定理得：AC=13。，解得：。（3）證明：連接OB，OD， 在ABO和DBO中，ABODBO（SSS）。DBO=ABO。ABO=OAB=BDC，DBO=BDC。OBED。BEED，EBBO。OBBE。OB是O的半徑，BE是O的切線。4、如圖，A

11、B為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分DAB（1）求證：DC為O的切線；（2）若O的半徑為3，AD= 4 ，求AC的長試題分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到OAC=OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明DAC=OCA，接著利用平行線的判定即可得到OCAD，然后就得到OCCD，由此即可證明直線CD與O相切于C點(diǎn)；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到ACB=90°，又DAC=OAC，由此可以得到ADCACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題（1）證明：連接OCOA=OC OAC=OCA AC平分DAB DAC=OAC DAC=OCA

12、OCADADCD OCCD 直線CD與O相切于點(diǎn)C；（2）連接BC，則ACB=90°DAC=OAC，ADC=ACB=90°， ADCACB， AC2=ADAB，O的半徑為3，AD=4， AB=6， AC=25、如圖，AB是O的直徑，BCAB于點(diǎn)B，連接OC交O于點(diǎn)E，弦AD/OC,弦DFAB于點(diǎn)G。 （1）求證：點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)； （2）求證：CD是O的切線； （3）若sinBAD=,O的半徑為5，求DF的長。6、在等腰ABC中，AB=AC,O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓交BC于D,DEAC交AC于E.（1）求證DE時(shí)是O的切線；（2）若O與AC相切于F，A

13、B=AC=5cm，sinA=,求O的半徑長。7、如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到點(diǎn)C，使DC=BD,連結(jié)AC,過點(diǎn)D作DEAC,垂足為E.(1).求證：AB=AC(2).求證:DE為O的切線.(3).若O的半徑為5，BAC=60°，求DE的長. 五、角度轉(zhuǎn)化證切線（中線證直角、角度轉(zhuǎn)化證直角、一條邊上的中線等于這條邊的一半）1、已知O中，AB是直徑，過B點(diǎn)作O的切線，連結(jié)CO，若ADOC交O于D，求證：CD是O的切線。   點(diǎn)悟：要證CD是O的切線，須證CD垂直于過切點(diǎn)D的半徑，由此想到連結(jié)OD。    證明：連結(jié)OD。

14、    ADOC，    COBA及CODODA    OAOD，ODAOAD    COBCOD    CO為公用邊，ODOB    COBCOD，即BODC    BC是切線，AB是直徑，    B90°，ODC90°，    CD是O的切線。    點(diǎn)撥：輔助線OD構(gòu)造于“

15、切線的判定定理”與“全等三角形”兩個(gè)基本圖形，先用切線的性質(zhì)定理，后用判定定理。2、如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.證明一：連結(jié)OD. AB=AC， B=C.OB=OD，1=B.D 1=C. ODAC. DMAC，DMOD. DM與O相切證明二：連結(jié)OD，AD.AB是O的直徑，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，3、如圖，已知：AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，且CAB=300，BP=OB，P在

16、AB的延長線上.求證：PC是O的切線證明：連結(jié)OC、BC. OA=OC， A=1=300.BOC=A+1=600. 又OC=OB，OBC是等邊三角形.DOB=BC.OB=BP， OB=BC=BP. OCCP. PC是O的切線.說明：此題解法頗多，但這種方法較好.4、如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=OD·OP.求證：PC是O的切線.證明：連結(jié)OC OA2=OD·OP，OA=OC， OC2=OD·OP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的5、已知：如圖，A是O

17、上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，AC=OB（1）求證：AB是O的切線；（2）若ACD=45°，OC=2，求弦AD、CD的長6、如圖，點(diǎn)D是O的直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在O上，且AB=AD=AO.(1).求證BD是O的切線。(2).若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且BEF的面積為8，cosBFA=，求ACF的面積。六、90°角證相切（證明半徑與直線的兩角加和為90°，證明半徑垂直直線），1、如圖1，B、C是O上的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過圓心O，連接AC、BC，過點(diǎn)C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切線嗎？為什么？解：AC是O的切線理由：連接OC，OC=OB，OCB=BCOD是BOC的外角，COD=OCB+B=2BACD=2B，ACD=CODCDAB 于D，DCO+COD=90°DCO+ACD=90°即OCACC為 O上的點(diǎn)，AC是O的切線2、ABCD是正方形，G