《三維設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（含解析）

1、第十一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算知識(shí)能否憶起一、導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x) 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f

2、(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1f(x)±g(x)f(x)±g(x)；2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)(理)4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積小題能否全取1(教材習(xí)題改編)若f(x)xex，則f(1)()A0BeC2e De2解析：選

3、Cf(x)exxex，f(1)2e.2曲線yxln x在點(diǎn)(e，e)處的切線與直線xay1垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()A2 B2C. D解析：選A依題意得y1ln x，yxe1ln e2，所以×21，a2.3(教材習(xí)題改編)某質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，則當(dāng)t2 s時(shí)，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：選A由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2時(shí)，a(2)v(2)12×21014(m/s2)4(2012·廣東高考)曲線yx3x3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)解析：

4、y3x21，yx13×1212.該切線方程為y32(x1)，即2xy10.答案：2xy105函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x1.函數(shù)求導(dǎo)的原則對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤2曲線yf(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別與聯(lián)系(1)曲線yf(x)在點(diǎn)P

5、(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，切線斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線(2)曲線yf(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過(guò)P點(diǎn)點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典題導(dǎo)入例1用定義法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx2；(2)y.自主解答(1)因?yàn)?xx，所以y (2xx)2x.(2)因?yàn)閥，4·，所以 .由題悟法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)yf(x)在xx0處導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)值的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f(x0)li .以題試法1一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s83t2.(1)求質(zhì)點(diǎn)在1,1t這段

6、時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度(用定義及導(dǎo)數(shù)公式兩種方法求解)解：(1)s83t2，s83(1t)2(83×12)6t3(t)2，63t.(2)法一(定義法)：質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度vli li (63t)6.法二(導(dǎo)數(shù)公式法)：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度vs(t)(83t2)6t.當(dāng)t1時(shí)，v6×16.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典題導(dǎo)入例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx2sin x；(2)y； 自主解答(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.則y(ln u)u·2，即y.由題悟法求導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意：(1)求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角恒等

7、變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可減少運(yùn)算量(2)對(duì)于商式的函數(shù)若在求導(dǎo)之前變形，則可以避免使用商的導(dǎo)數(shù)法則，減少失誤以題試法2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yex·ln x；(2)yx；解：(1)y(ex·ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義典題導(dǎo)入例3(1)(2011·山東高考)曲線yx311在點(diǎn)P(1，12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A9B3C9 D15(2)設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線的斜率為()A B2C4 D自主解答(1)y3

8、x2，故曲線在點(diǎn)P(1,12)處的切線斜率是3，故切線方程是y123(x1)，令x0得y9.(2)曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y2x1，g(1)k2.又f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，故切線的斜率為4.答案(1)C(2)C若例3(1)變?yōu)椋呵€yx311，求過(guò)點(diǎn)P(0,13)且與曲線相切的直線方程解：因點(diǎn)P不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，由yx311，得y3x2，ky|xx03x.又k，3x.x1，即x01.k3，y010.所求切線方程為y103(x1)，即3xy130.由題悟法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切

9、點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知切線過(guò)某點(diǎn)M(x1，f(x1)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)A(x0，f(x0)，利用kf(x0)求解以題試法3(1)(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)曲線yx(3ln x1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為_(kāi)(2)(2013·烏魯木齊診斷性測(cè)驗(yàn))直線yxb與曲線yxln x相切，則b的值為()A2 B1C D1解析：(1)y3ln x13，所以曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為4，所以切線方程為y14(x1)，即y4x3.(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，依

10、題意，對(duì)于曲線yxln x，有y，所以，得a1.又切點(diǎn) 在直線yxb上，故b，得b1.答案：(1)y4x3(2)B1函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：選Cf(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)2已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為st2(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t2時(shí)的速度為()A. B.C. D.解析：選Ds2t，s|t24.3 (2012·哈爾濱模擬)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3ax2(a2)x的導(dǎo)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為()Ay3x By2xCy3x D

11、y2x解析：選Bf(x)x3ax2(a2)x，f(x)3x22axa2.f(x)為偶函數(shù)，a0.f(x)3x22.f(0)2.曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y2x.4設(shè)曲線y在點(diǎn)處的切線與直線xay10平行，則實(shí)數(shù)a等于()A1 B.C2 D2解析：選Ay，y|x1.由條件知1，a1.5若點(diǎn)P是曲線yx2lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx2的最小距離為()A1 B.C. D.解析：選B設(shè)P(x0，y0)到直線yx2的距離最小，則y|xx02x01.得x01或x0(舍)P點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)P到直線yx2距離為d.6f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f(x)g

12、(x)，則f(x)與g(x)滿足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)為常數(shù)函數(shù) Df(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)解析：選C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C為常數(shù))7(2013·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)ln xf(1)x23x4，則f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：88(2012·遼寧高考)已知P，Q為拋物線x22y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)解析：易知拋物

13、線yx2上的點(diǎn)P(4,8)，Q(2,2)，且yx，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y4x8，過(guò)點(diǎn)Q的切線方程為y2x2，聯(lián)立兩個(gè)方程解得交點(diǎn)A(1，4)，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4.答案：49(2012·黑龍江哈爾濱二模)已知函數(shù)f(x)xsin xcos x的圖象在點(diǎn)A(x0，y0)處的切線斜率為1，則tan x0_.解析：由f(x)xsin xcos x得f(x)cos xsin x，則kf(x0)cos x0sin x01，即sin x0cos x01，即sin1.所以x02k，kZ，解得x02k，kZ.故tan x0tantan.答案：10求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx·tan x；(2

14、)y(x1)(x2)(x3)；解：(1)y(x·tan x)xtan xx(tan x)tan xx·tan xx·tan x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.11已知函數(shù)f(x)x，g(x)a(2ln x)(a>0)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在x1處的切線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線解：根據(jù)題意有曲線yf(x)在x1處的切線斜率為f(1)3，曲線yg(x)在x1處的切線斜率為g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲線yf(x)在x1處的

15、切線方程為yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切線方程為3xy40.曲線yg(x)在x1處的切線方程為yg(1)3(x1)得y63(x1)，即切線方程為3xy90，所以，兩條切線不是同一條直線12設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1，當(dāng)曲線yf(x)斜率最小的切線與直線12xy6平行時(shí)，求a的值解：f(x)3x22ax9329，即當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值9，因斜率最小的切線與12xy6平行，即該切線的斜率為12，所以912，即a29，即a±3.1(2012·商丘二模)等比數(shù)列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)

16、函數(shù)，則f(0)()A0 B26C29 D212解析：選Df(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)x(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)，f(0)(a1)·(a2)··(a8)0a1·a2··a8(a1·a8)4(2×4)4(23)4212.2已知f1(x)sin xcos x，記f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，則f1f2f2 012_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos x

17、sin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此類推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 012503f1f2f3f40.答案：03已知函數(shù)f(x)x33x及yf(x)上一點(diǎn)P(1，2)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，根據(jù)以下條件求l的方程(1)直線l和yf(x)相切且以P為切點(diǎn)；(2)直線l和yf(x)相切且切點(diǎn)異于P.解：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，過(guò)點(diǎn)P且以P(1，2)為切點(diǎn)的直線的斜率f(1)0，故所求的直線方程為y2.(2)設(shè)過(guò)P(1，2)的直線l與yf(x)切于另一點(diǎn)(x0，y0)，則f(x0)3x3.又直線過(guò)(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示為，所以3x3，即x3x023(x1)(x01)解得x01(舍去)或x0，故所求直線的斜率為k3.所以l的方程為y(2)(x1)，即9x4y10.設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0