一元二次方程專題能力培優(yōu)含答案

1、第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程專題一 利用一元二次方程的定義確定字母的取值 1.已知是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）A.m3 B.m3 C.m-2 D. m-2且m32. 已知關(guān)于x的方程，問：（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程并寫出這個(gè)方程；（2）m取何值時(shí)，它是一元一次方程？專題二 利用一元二次方程的項(xiàng)的概念求字母的取值3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值4.若一元二次方程沒有一次項(xiàng)，則a的值為 .專題三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代數(shù)式5.已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個(gè)根是-a（a0），則a-b值為（）

2、A.1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，ab+c=0，則此方程必有一個(gè)根為 .7.已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x22013x+1=0的解，求代數(shù)式的值.知識(shí)要點(diǎn)：1.只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次），等號(hào)兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).3.使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件.2.一元二次方程

3、的根是兩個(gè)而不再是一個(gè).方法技巧：1.axk+bx+c=0是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論.2.利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時(shí)常常用到整體思想，需要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì). 答案：1. D 解析：，解得m-2且m32.解：（1）當(dāng)時(shí)，它是一元二次方程.解得：m=1當(dāng)m=1時(shí)，原方程可化為2x2-x-1=0；（2）當(dāng)或者當(dāng)m+1+（m-2）0且m2+1=1時(shí)，它是一元一次方程. 解得：m=-1，m=0.故當(dāng)m=-1或0時(shí)，為一元一次方程3.解：由題意，得： 解得：m=14.a=-2 解析：由題意得解得a=2.5. A 解析：關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個(gè)根是-a（a0），a2a

4、b+a=0.a（ab+1）=0.a0，1-b+a=0.a-b=-16.x=1 解析：比較兩個(gè)式子會(huì)發(fā)現(xiàn)：（1）等號(hào)右邊相同；（2）等號(hào)左邊最后一項(xiàng)相同；（3）第一個(gè)式子x2對(duì)應(yīng)了第二個(gè)式子中的1，第一個(gè)式子中的x對(duì)應(yīng)了第二個(gè)式子中的-1.故.解得x=1.7. 解：實(shí)數(shù)a是一元二次方程x22013x+1=0的解，a22013a+1=0.a2+1=2013a，a22013a=1.2.2 一元二次方程的解法專題一 利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1. 若方程25x2-（k-1）x+1=0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式；則k的值為（）A-9或11 B-7或8 C-8或9 C-8或92.如果代數(shù)式

5、x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m= .3. 用配方法證明：無論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+4x5的值恒小于零專題二 利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍4.已知a，b，c分別是三角形的三邊，則方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）A.沒有實(shí)數(shù)根 B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5.關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）6.定義：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）滿足abc0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程已知ax2bxc0（a0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是

6、（）AacBab CbcDabc專題三 解絕對(duì)值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，則x2+y2= .8. 閱讀題例，解答下題：例：解方程x2|x1|1=0.解：（1）當(dāng)x10，即x1時(shí)，x2（x1）1=0，x2x=0.解得：x1=0（不合題設(shè)，舍去），x2=1.（2）當(dāng)x10，即x1時(shí)，x2+（x1）1=0，x2+x2=0.解得x1=1（不合題設(shè)，舍去），x2=2.綜上所述，原方程的解是x=1或x=2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|4=0專題四 一元二次方程、二次三項(xiàng)式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空：10.請(qǐng)先閱讀例題的解答過程，然后

7、再解答：代數(shù)第三冊在解方程3x（x+2）=5（x+2）時(shí)，先將方程變形為3x（x+2）-5（x+2）=0，這個(gè)方程左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積，所以方程變形為（x+2）（3x-5）=0我們知道，如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；反過來，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于0，它們的積等于0因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相當(dāng)于解方程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解為x1=-2，x2= 根據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推測：ab0，則有 或者請(qǐng)判斷王力的推測是否正確？若正確，請(qǐng)你求出不等式 的解集，如果不正確，請(qǐng)說明理由專題五 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的取值范圍及

8、求代數(shù)式的值11. 設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個(gè)根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=12.（2012·懷化）已知x1、x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 是否存在實(shí)數(shù)a，使x1x1x2=4x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說明理由； 求使（x11）（x21）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值13.(1)教材中我們學(xué)習(xí)了：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,x1+x2=, x1·x2=.根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于x1、x2的代數(shù)式的值例如：已知x1、x2為方程x2-2x-1=0的兩根，則：（1）x1+x2=_，

9、x1·x2=_，那么x12+x22=( x1+x2)2-2 x1·x2=_ _請(qǐng)你完成以上的填空（2）閱讀材料：已知，且求的值解：由可知.又且，即是方程的兩根=1（3）根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及（1）的方法完成下題的解答已知，且求的值知識(shí)要點(diǎn)：1.解一元二次方程的基本思想降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判別式=b-4ac與一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的關(guān)系：當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解.3.一元

10、二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c之間存在著如下關(guān)系：x1+x2=，x1x2=.溫馨提示：1.x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，易誤以為m=3.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2有雙層含義：（1）ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=，x1x2=.方法技巧：1.求二次三項(xiàng)式ax2+bx+c極值的基本步驟：（1）將ax2+bx+c化為a（x+h）2+k；（2）當(dāng)a>0，k>0時(shí)，a（x+h）2+kk；當(dāng)a<0，k<0時(shí)，a（x+h）2+kk.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0

11、的兩個(gè)根為x1x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）3.解絕對(duì)值方程的基本思路是將絕對(duì)值符號(hào)去掉，所以要討論絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子與0的大小關(guān)系.4.解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)式子的一元二次方程求解.5.利用根與系數(shù)求解時(shí)，常常用到整體思想.答案：1.A 解析：根據(jù)題意知，-（k-1）=±2×5×1，k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9 2. ±3 解析：據(jù)題意得，m2=9，m=±33.證明：2x2+4x5=2（x22x）5=2（x22x+1）5+2=2（x1）23.（x1

12、）20，2（x1）20，2（x1）230.無論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+4x-5的值恒小于零4.A 解析：=（2c）24（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（cab）.根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得cab0，a+b+c00該方程沒有實(shí)數(shù)根5.A 解析：當(dāng)kx2+3x+1=0為一元一次方程方程時(shí)，必有實(shí)數(shù)根，此時(shí)k=0；當(dāng)kx2+3x+1=0為一元二次方程且有實(shí)數(shù)根時(shí)，如果有實(shí)數(shù)根，則.解得且k0.綜上所述.6.A 解析：一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，b24ac0，又abc0，即bac，代入b24ac0得（ac）24ac0，化簡得（ac）20，所以ac7.13 解析：由題意得x

13、2+y2-5=±8.解得x2+y2=13或者x2+y2=3（舍去）.8.解：當(dāng)x+20，即x2時(shí)，x2+2（x+2）4=0，x2+2x=0.解得x1=0，x2=2；當(dāng)x+20，即x-2時(shí)，x22（x+2）4=0，x22x8=0.解得x1=4（不合題設(shè)，舍去），x2=2（不合題設(shè)，舍去）綜上所述，原方程的解是x=0或x=29.，3；，3發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）11.8 解析：x1x23，x22+4x23=0，2x1(x22+5x23)+a =2轉(zhuǎn)化為2x1(x22+4x23+ x2)+a =2.2

14、x1x2+a =2.2×(3)+a2.解得a8.12.解：（1）根據(jù)題意，得=（2a）24×a（a6）=24a0a0又a60，a6由根與系數(shù)關(guān)系得：x1x2=，x1x2=.由x1x1x2=4x2 得x1x2 4=x1x2.4 =，解得a=24經(jīng)檢驗(yàn)a=24是方程4 =的解（2）原式=x1x2 x1x2 1=1=為負(fù)整數(shù)，6a為1或2，3，6.解得a=7或8，9，1213.解：（1）2，1， 6（3）由n2+3n-2=0可知n0,1+=0. 1=0.又2m2-3m-1=0,且mn1，即mm、是方程2x2-3x-1=0的兩根m+= ,m·=,m2+ =(m+ )2-2

15、m·=( )2-2·()= .2.3 一元二次方程的應(yīng)用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1.在高度為2.8m的一面墻上，準(zhǔn)備開鑿一個(gè)矩形窗戶現(xiàn)用9.5m長的鋁合金條制成如圖所示的窗框問：窗戶的寬和高各是多少時(shí)，其透光面積為3m2（鋁合金條的寬度忽略不計(jì)）2.如圖：要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？3. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)貴在舉一反三，觸類旁通.仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真思考，解決下面的問題：（1）在長為m，寬為m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路（

16、如圖（1），則余下草坪的面積可表示為 ；（2）現(xiàn)為了增加美感，設(shè)計(jì)師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2），則此時(shí)余下草坪的面積為 ；（3）聰明的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應(yīng)用題，你能解決嗎？相信自己哦！（如圖（3），在長為50m，寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖3），此時(shí)余下草坪的面積為1421求小路的寬x.專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4.據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年

17、的利用率提高到60%，求每年的增長率（取 1.41）5.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？6.（2012·廣元）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元的價(jià)格出售，由于國家出臺(tái)了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價(jià)后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣更有吸引力請(qǐng)問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對(duì)購房者是否更優(yōu)惠

18、？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場經(jīng)濟(jì)問題7.（2012·濟(jì)寧）一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價(jià)為120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價(jià)不得少于100元該校最終向園林公司支付樹苗款8800元請(qǐng)問該校共購買了多少棵樹苗？8.（2012·南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元,每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部；月底廠

19、家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.(1)若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為 萬元.(2)如果汽車的售價(jià)為28萬元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題9. (1)經(jīng)過凸邊形(3)其中一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有 條.(2)一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線,它是幾邊形？ (3)是否存在有21條對(duì)角線的凸多邊形？如果存在,它是幾邊形？如果不存在,說明得出結(jié)論的道理.10.如圖每個(gè)正方形是由邊長為1的小正方形組成（1）觀察圖形，請(qǐng)?zhí)钆c

20、下列表格： 正方形邊長1357n（奇數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)正方形邊長2468n（偶數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)（2）在邊長為n（n1）的正方形中，設(shè)紅色小正方形的個(gè)數(shù)為P1，白色小正方形的個(gè)數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P2=5P1？若存在，請(qǐng)寫出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由知識(shí)要點(diǎn)：列方程解決實(shí)際問題的常見類型：面積問題，增長率問題、經(jīng)濟(jì)問題、疾病傳播問題、生活中的其他問題.溫馨提示：1.若設(shè)每次的平均增長(或降低)率為x，增長(或降低)前的數(shù)量為a，則第一次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)，第二次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)22.面積(體積)問題屬于幾何圖形的應(yīng)用題，

21、解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積(體積)公式列出一元二次方程3.列方程解決實(shí)際問題時(shí)，方程的解必須使實(shí)際問題有意義，因此要注意檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.方法技巧：1. 變化率問題中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2.解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系.答案：1.解：設(shè)高為x米，則寬為米.由題意，得.解得 (舍去,高度為2.8m的一面墻上).當(dāng)x=1.5時(shí)，寬.答：高為1.5米,寬為2米.2.解：設(shè)橫、豎彩條的寬度分別為

22、2xcm、3xcm，由題意，得（206x）（304x）=（1）×20×30.整理，得6x265x500.解，得x1，x210（不合題意，舍去）.2x，3x.答：每個(gè)橫、豎彩條的寬度分別為cm，cm3.解：(1)（或）；(2) （或）；(3)將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長為(50-x)m,將彎曲的小路的兩側(cè)重合，則余下部分的寬為（30-x）m,由題意得：(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.答：小路的寬為1m.4.解：設(shè)我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，合理利用量的增長率是x，由題意，得30%a（1+x）2=60%a.x10.41，x2-2.41（不合題意舍去）x0.41答：每年的增長率約為41% 5.解：設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，依題意，得1x(1x)x81.整理得(1x)281