圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

1、第十講 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科 幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換 平移前后的圖形全等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離

2、相等 通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問題的解決注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變例題求解【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC1：2：3，則APD= 思路點(diǎn)撥 通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個三角形 【例2】 如圖，在等腰RtABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使MCN=45°，記AMm，MN= x，DN=n，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是(

3、) A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D隨x、m、n的變化而改變思路點(diǎn)撥 把ACN繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45°，得CBD，這樣ACM+BCN=45°就集中成一個與MCN相等的角，在一條直線上的m、x、n 集中為DNB，只需判定DNB的形狀即可注 下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換： (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形； (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合 【例3】 如圖，六

4、邊形ADCDEF中，ANDE，BCEF，CDAF，對邊之差BCEFEDABAFCD>0，求證：該六邊形的各角相等(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BCFF=EDAB=AFCD>0用一個基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換注 平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢茫狗稚⒌臈l件相對集中，促使問題的解決【例4】 如圖，在等腰ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF已知BC=2，求證：EF1 (西安市競賽題)思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EFBC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角

5、形中 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識： (1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 【例5】 如圖，等邊ABC的邊長為，點(diǎn)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2PC2，若PC=5，求PA、PB的長 (“希望杯”邀請賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關(guān)鍵學(xué)歷訓(xùn)練1如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將ABP繞點(diǎn)B顧時針方向旋轉(zhuǎn)能與C

6、BP重合，若PB=3，則PP= 2如圖，P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA6，PB=8，PC10，則APB 3如圖，四邊形ABCD中，ABCD，D=2B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 4如圖，把ABC沿AB邊平移到A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是ABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動的距離AA'是( ) A B Cl D (2002年荊州市中考題)5如圖，已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個結(jié)論：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；

7、S四邊形AEPF=SABC；EF=AP當(dāng)EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( ) A1個 B2個 C 3個 D4個 (2003年江蘇省蘇州市中考題)6如圖，在四邊形ABCD中，ABBC，ABC=CDA=90°，BEAD于E， S四邊形ABCDd=8，則BE的長為( ) A2 B3 C D (2004年武漢市選拔賽試題)7如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為和，對角線BD、FH都在直線上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的

8、形狀、大小沒有變化(1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ；(2)當(dāng)中心O2在直線上平移到兩個正方形只有一個公共點(diǎn)時，中心距O1O2= ；(3)隨著中心O2在直線上平移，兩個正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)還有哪些變化?并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程) (徐州市中考題)8圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直方向的邊長均為b）：在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； （1） 在圖c中,請你類似地畫一條

9、有兩個折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影；（2） 請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；（3） 聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的 (2002年河北省中考題)9如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形，求證：ANBM 說明及要求：本題是幾何第二冊幾15中第13題，現(xiàn)要求：(1)將ACM繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出

10、符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在所得的圖形中，結(jié)論“ANBM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由(3)在得到的圖形中，設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論10如圖，在RtABC中，A90°，AB3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm211如圖，在梯形ABCD中，ADBC，D=90°，BC=CD=12，ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長線交于點(diǎn)F，若AE=

11、10，則SADE+SCEF的值是 (紹興市中考題)12如圖，在ABC中，BAC=120°，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) APA+PB+PC>AB+AC BPA+PB+PC<AD+ACC PA+PB+PCAB+AC D無法確定13如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( )A B C 5 D6 (2004年武漢市選拔賽試題)14如圖，已知ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC15如圖，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長

12、為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿，求ABC的面積16如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河，表示小河甲，表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短，兩座橋都按這個目標(biāo)而建，那么，此時A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)17如圖，ABC是等腰直角三角形，C=90°，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)

13、，點(diǎn)O到ABC各邊的距離都等于1，將ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°，得A1BlC1，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ(1)證明：AKL、BMN、CPQ都是等腰直角三角形；(2)求ABC與A1BlC1公共部分的面積 (山東省競賽題)18(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時，正三角形的邊被紙板覆蓋