圓與二次函數(shù)難度題(含答案)

1、水尾中學(xué)中考專項(xiàng)訓(xùn)練（壓軸題）答案1（四川模擬）如圖，RtABC內(nèi)接于O，ACB90°，AC2，BC1以AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊ACD，連接BD，交O于點(diǎn)E，連接AE，求BD和AE的長(zhǎng)ABDCEO解：過(guò)D作DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于FABDCEOFACD是等邊三角形ADCDAC2，ACD60°ACB90°，ACF90°DCF30°，DF CD，CFDF3BFBCCF134BD AC2，BC1，AB BEDEBD， BD即 兩邊平方得：13AE 21912AE 22 整理得：9，解得AE 2（四川模擬）已知RtABC中，ACB90°

2、;，B60°，D為ABC外接圓O上 的中點(diǎn)（1）如圖1，P為 的中點(diǎn)，求證：PAPCPD；（2）如圖2，P為 上任意一點(diǎn)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由DAPOCB圖2DAPOCB圖1（1）證明：連接ADD為的中點(diǎn)，P為 的中點(diǎn)PD為O的直徑，PAD90°DAPOCBB60°，APC60°D為的中點(diǎn)，APDCPD30°PAPD·cos30° PDP為 的中點(diǎn)，PAPCPAPCPD（2）成立理由如下：延長(zhǎng)PA到E，使EAPC，連接DE、AD、DC則EADPAD180°DAPOCBEHPCDPAD180°

3、EADPCDD為的中點(diǎn)，ADCDEADPCD，EDPD過(guò)D作DHPE于H由（1）知，APD30°PHPD·cos30° PD，PE2PHPDPAEAPE，PAPCPD3（湖北模擬）如圖，AB是O的直徑，PA、PC分別切O于A、C，CDAB于D，PB交CD于ECABDOPE（1）求證：CEDE；（2）若AB6，APC120°，求圖中陰影部分的面積（1）證明：連接OP、OC、BCPA、PC是O的切線CABDOPEPAPC，PAOPCO90°又POPO，RtPAORtPCOPOAPOC，AOC2POA又AOC2ABC，POAABC又PAOCDB90&

4、#176;，PAOCDB PABEDB90°，PBAEBDPABEDB， AB2OA， CD 2ED，CEDE（2）解：APC120°，PAOPCO90°AOC60°，DCO30°AB6，OAOC3ODOC·sin30° ，CDOC·cos30° S陰影 S扇形AOC SDOC ×× 4（上海模擬）如圖，O的半徑為6，線段AB與O相交于點(diǎn)C、D，AC4，BODA，OB與O相交于點(diǎn)E，設(shè)OAx，CDyABDCEO（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）當(dāng)CEO

5、D時(shí)，求AO的長(zhǎng)解：（1）OCOD，OCDODC，OCAODBABDCEOBODA，OBDAOC， OCOD6，AC4， ，BD9（2）OBDAOC，AOCB又AA，ACOAOB， ABACCDBDy13， y x 2130y 8，0 x 21312，解得2 x 10定義域?yàn)? x 10（3）OCOE，CEODCODBODAAOD180ºAODC180ºCODOCDADOADAO，y4x， x 2134xx2±2（舍去負(fù)值）AO2±25（北京模擬）如圖，拋物線y x 22x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的

6、代數(shù)式表示）；（2）D為BO中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線BO上，且使得AMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)ABCOyx備用圖ABCDOyxE解：（1）y x 22x ( x m )2 mABCDOyxEF拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ m， m）（2）令 x 22x0，解得x10，x2m拋物線y x 22x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)AA（m，0）且m0.過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于F由D為BO中點(diǎn)，DFBC，可得CFFO COD BC由拋物線的對(duì)稱性得ACOC， AC1B

7、CMOyxDFEO，ADFAEO， 由E（0，2），B（ m， m），得OE2，DF m ，m6拋物線的解析式為y x 22x（3）依題意，得A（6，0），B（3，3），C（3，0）可得直線OB的解析式為yx，直線BC為x3作點(diǎn)C關(guān)于直線BO的對(duì)稱點(diǎn)C1（0，3），連接AC1交BO于M，則M即為所求由A（6，0），C1（0，3），可得直線AC1的解析式為y x3由 解得 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）AC1BCHMOPGyxQ由點(diǎn)P在拋物線y x 22x上，設(shè)P（t， t 22t）當(dāng)AM為平行四邊形的一邊時(shí)如右圖，過(guò)M作MGx軸于G，過(guò)P作PHBC于H則xGxM 2，xH xB 3可證AMGPQH，得

8、PHAG4t(3)4，t1AC1BCHMOPGyxQP1（1， ）如右圖，同理可得PHAG43t4，t7P2（7， ）當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)如右圖，過(guò)M作MHBC于H，過(guò)P作PGx軸于G則xH xB 3，xG xP tAC1BCHMOPGyxQ可證APGMQH，得AGMH1t(6)1，t5P3（5， ）綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1， ），P2（7， ），P3（5， ）yBAxO6（上海模擬）已知：如圖，直線yx15與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線y x 2bxc經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)（1）求該拋物線的解析式；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，求D

9、AC的面積；（3）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，CE與DH交于點(diǎn)G，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，POH是否能夠與CGH相似？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由題意，得A（15，0），B（0，15）拋物線y x 2bxc經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn) 解得 拋物線的解析式為y x 26x15（2）y x 26x15 ( x9)212頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（9，12）yBAxOP1P2OEGHC設(shè)y0，則 ( x9)2120( x9)236，x13，x215C（3，0），AC15312SDAC AC·DH ×12×1272（3）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AC的中點(diǎn)點(diǎn)G是DA

10、C的重心.，GH DH4若 ，則HPOCGH ，PO6P1（0，6）若 ，則PHOCGH ，PO P2（0，）POH能夠與CGH相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（0，6）或P2（0，）7（四川成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y xm（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)C以直線x1為對(duì)稱軸的拋物線yax 2bxc（a，b，c為常數(shù)，且a0）經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的

11、坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若P是拋物線對(duì)稱軸上使ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫(xiě)出探究過(guò)程O(píng)ABxyCx1解：（1）一次函數(shù)y xm的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0） ×( 3 )m0，解得m 點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，）拋物線yax 2bxc經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x1 解得 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x 2 x （2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（）當(dāng)CEAF時(shí)，點(diǎn)E在x軸上方，yE yC 由 x 2 x ，解得x10

12、（舍去），x22OABxyCx1F1E1E2F2HE1（2，），此時(shí)SACE1F12× （）當(dāng)AECF時(shí)，點(diǎn)E在x軸下方，yE yC 由 x 2 x ，解得x11 ，x21 （舍去）E2（1 ， ）過(guò)E2作E2Hx軸于H，則E2HF2COAHF2AO3，AF27 SACF2E22SACF2AF2·CO 綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)E1（2，），E2（1 ， ），使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，相應(yīng)的面積分別是 ，（3）方法一：A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x1對(duì)稱APCPBPCP BCOABxyCx1M1N1M2N2當(dāng)C、P、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，ACP的周長(zhǎng)取

13、得最小值此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）分別過(guò)點(diǎn)M1，M2作直線x1的垂線，垂足為N1，N2在RtM1PN1中，由勾股定理得M1P 2M1N12PN12( x11 )2( y13 )2 y1 x12 x1 ( x11 )24即( x11 )24( 4y1 )，將其代入，得M1P 2( 5y1 )2M1P5y1 （y15）同理M2P5y2 由M1N1M2N2，得M1PN1M2PN2 ，即 整理得y1y24( y1 y2 )15 1故 是定值，其值為1方法二：同方法一得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線表達(dá)式為ykx3k聯(lián)立 消去y，整理得x 2( 4k2 )x( 4k3 )0x1x224k，x1x2

14、( 4k3 )由y1kx13k，y2kx23k，得y1y2k( x1x2 )M1P 2·M2P 2( x11 )2( y13 )2( x21 )2( y23 )2( x11 )2k 2( x11 )2( x21 )2k 2( x21 )2( k 21 )2( x11 )2( x21 )2( k 21 )2( x1x2x1x21 )216( k 21 )2M1M22( x1x2 )2( y1y2 )2( k 21 )( x1x2 )2( k 21 )( x1x2 )24x1x216( k 21 )2M1P 2·M2P 2M1M22，即M1P·M2PM1M2故 是定值

15、，其值為18（四川雅安）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax 2bxc與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4），求此時(shí)拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，k），k 0，點(diǎn)Q是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，QBQP取得最小值5；（3）試求滿足（2）時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為ya( x1 )24將A（1，0）代入上式，得a1ByQAPOxx1P拋物線的解析式為y( x1 )24（2）作點(diǎn)P（1，k）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P（1，k）QPQP拋物線頂點(diǎn)為P（1，k），拋物線的對(duì)稱軸為x1拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，B（3，0）若QBQP最小

16、，即QBQP 最小則B、Q、P 三點(diǎn)共線，即PB5又AB134，連接PA，則PAABPAB是直角三角形，PA 3k3（3）由（2）知，BOQBAP ，即 ，OQ 動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0， ）10（四川樂(lè)山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，n），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C已知實(shí)數(shù)m、n（mn）分別是方程x 22x30的兩根（1）求拋物線的解析式；OExyABDPC（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD當(dāng)OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；求B

17、OD面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)解：（1）解方程x 22x30，得x11，x23m n，m1，n3A（1，1），B（3，3）拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為yax 2bx 解得a ，b 拋物線的解析式為y x 2 x（2）設(shè)直線AB的解析式為ykxb 解得k ，b 直線AB的解析式為y x C點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ）直線OB過(guò)點(diǎn)O（0，0），B（3，3）直線OB的解析式為yxOPC為等腰三角形，OCOP或OPPC或OCPC設(shè)P（x，x）（i）當(dāng)OCOP時(shí)，x 2(x )2 OExyABDPCQGH解得x1 ，x2 （舍去），P1（ ， ）（ii）當(dāng)OPPC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，P2（

18、， ）（iii）當(dāng)OCPC時(shí)，x 2(x )2 解得x1 ，x20（舍去），P3（ ， ）P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（ ， ）或P2（ ， ）或P3（ ， ）過(guò)點(diǎn)D作DGx軸，垂足為G，交OB于Q，過(guò)B作BHx軸，垂足為H設(shè)Q（x，x），則D（x， x 2 x）DQ x 2 xx x 2 xSBOD SODQ SBDQ DQ·OG DQ·GH DQ( OGGH ) ( x 2 x )×3 ( x )2 0x 3當(dāng)x 時(shí)，S取得最大值為 ，此時(shí)D（ ， ）11（四川模擬）如圖，拋物線yax 2bxc與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D已知A（2

19、，0），tanABC ，SABC 9（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)，且以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你選擇一個(gè)P點(diǎn)求出BDP外接圓圓心的坐標(biāo)yOAxCDB備用圖yOAxCDB解：（1）由題意得： 解得：（舍去負(fù)值）B（4，0），C（0，3）設(shè)拋物線為ya( x2 )( x4 )，把C（0，3）代入，得3a( 02 )( 04 )，解得：a 拋物線的解析式為y ( x2 )( x4 )即y x 2 x3（2）存在y x 2 x3 ( x1 )2 拋物線的對(duì)稱軸是直線x1D（1，0），OD1OA2，OB4，OC3，AB6，BC

20、5，BD3當(dāng)BDPBAC時(shí)，則BDPBACDPACD為AB中點(diǎn)，P為CB中點(diǎn)B（4，0），C（0，3），P1（2，）yOP1AxCDBP2當(dāng)BPDBAC時(shí)，則 ，BP 過(guò)點(diǎn)P作PHOB于H，則BPHBCO ， BH ，PH ，P2（，）滿足條件的P點(diǎn)有兩個(gè)，P1（2，），P2（，）yOAxCDBPE（3）選擇P（2，），設(shè)E為BDP外接圓的圓心則點(diǎn)E是線段BD的中垂線和線段BP的中垂線的交點(diǎn)易知線段BD的中垂線為x ，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ，m）由EDEP，得( 1)2m 2( 2)2(m )2解得m ，即E（ ，）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，）時(shí)，BDP外接圓圓心的坐標(biāo)為（ ，）12（四川模擬）已知圓A的半

21、徑為 ，圓心A（t，0）是拋物線y x 2bx與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)t4時(shí)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q跟隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)路徑也是一段拋物線，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍；（2）如圖2，當(dāng)POA45° 且t 0時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作OP的垂線l，證明直線l與A相切；AOPQxy圖1AOPQxy圖2l（3）當(dāng)POA45° 時(shí)，使得直線l與A相切于點(diǎn)M，且四邊形PAMQ為矩形此時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)B，使由A、B、P、Q四點(diǎn)構(gòu)成以AP為對(duì)角線的梯形？若存在，求出B點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）

22、yx 22x（0x 2）提示：當(dāng)t4時(shí)，A（4，0），代入y x 2bx，得b2拋物線為y x 22xAOPQxy圖1設(shè)P（m， m 22m），則Q（ m， m 2m）設(shè)Q（x，y），則x m，y m 2mm2x，y ( 2x )22xx 22x0m 4，0x 2點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的函數(shù)解析式為yx 22x（0x 2）（2）y x 2bx，A（2b，0）POA45°，直線OP的解析式為yxAOPQxy圖2lDM聯(lián)立 解得 （舍去）P（2b2，2b2）設(shè)l與x軸交于點(diǎn)D，連接PD由題意，l是線段OP的垂直平分線ODPD，OPDPOD45°ODP90°，OPD是等腰直角三角形ODQ45°，OD2b2AD2b( 2b2 )2過(guò)點(diǎn)A作AMl于M