圓與二次函數(shù)難度題(含答案)

1、水尾中學(xué)中考專項訓(xùn)練（壓軸題）答案1（四川模擬）如圖，RtABC內(nèi)接于O，ACB90°，AC2，BC1以AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊ACD，連接BD，交O于點E，連接AE，求BD和AE的長ABDCEO解：過D作DFBC，交BC的延長線于FABDCEOFACD是等邊三角形ADCDAC2，ACD60°ACB90°，ACF90°DCF30°，DF CD，CFDF3BFBCCF134BD AC2，BC1，AB BEDEBD， BD即 兩邊平方得：13AE 21912AE 22 整理得：9，解得AE 2（四川模擬）已知RtABC中，ACB90°

2、;，B60°，D為ABC外接圓O上 的中點（1）如圖1，P為 的中點，求證：PAPCPD；（2）如圖2，P為 上任意一點，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由DAPOCB圖2DAPOCB圖1（1）證明：連接ADD為的中點，P為 的中點PD為O的直徑，PAD90°DAPOCBB60°，APC60°D為的中點，APDCPD30°PAPD·cos30° PDP為 的中點，PAPCPAPCPD（2）成立理由如下：延長PA到E，使EAPC，連接DE、AD、DC則EADPAD180°DAPOCBEHPCDPAD180°

3、EADPCDD為的中點，ADCDEADPCD，EDPD過D作DHPE于H由（1）知，APD30°PHPD·cos30° PD，PE2PHPDPAEAPE，PAPCPD3（湖北模擬）如圖，AB是O的直徑，PA、PC分別切O于A、C，CDAB于D，PB交CD于ECABDOPE（1）求證：CEDE；（2）若AB6，APC120°，求圖中陰影部分的面積（1）證明：連接OP、OC、BCPA、PC是O的切線CABDOPEPAPC，PAOPCO90°又POPO，RtPAORtPCOPOAPOC，AOC2POA又AOC2ABC，POAABC又PAOCDB90&

4、#176;，PAOCDB PABEDB90°，PBAEBDPABEDB， AB2OA， CD 2ED，CEDE（2）解：APC120°，PAOPCO90°AOC60°，DCO30°AB6，OAOC3ODOC·sin30° ，CDOC·cos30° S陰影 S扇形AOC SDOC ×× 4（上海模擬）如圖，O的半徑為6，線段AB與O相交于點C、D，AC4，BODA，OB與O相交于點E，設(shè)OAx，CDyABDCEO（1）求BD的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）當(dāng)CEO

5、D時，求AO的長解：（1）OCOD，OCDODC，OCAODBABDCEOBODA，OBDAOC， OCOD6，AC4， ，BD9（2）OBDAOC，AOCB又AA，ACOAOB， ABACCDBDy13， y x 2130y 8，0 x 21312，解得2 x 10定義域為2 x 10（3）OCOE，CEODCODBODAAOD180ºAODC180ºCODOCDADOADAO，y4x， x 2134xx2±2（舍去負(fù)值）AO2±25（北京模擬）如圖，拋物線y x 22x與x軸負(fù)半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C（1）求點B的坐標(biāo)（用含m的

6、代數(shù)式表示）；（2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標(biāo)為（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)ABCOyx備用圖ABCDOyxE解：（1）y x 22x ( x m )2 mABCDOyxEF拋物線的頂點B的坐標(biāo)為（ m， m）（2）令 x 22x0，解得x10，x2m拋物線y x 22x與x軸負(fù)半軸交于點AA（m，0）且m0.過點D作DFx軸于F由D為BO中點，DFBC，可得CFFO COD BC由拋物線的對稱性得ACOC， AC1B

7、CMOyxDFEO，ADFAEO， 由E（0，2），B（ m， m），得OE2，DF m ，m6拋物線的解析式為y x 22x（3）依題意，得A（6，0），B（3，3），C（3，0）可得直線OB的解析式為yx，直線BC為x3作點C關(guān)于直線BO的對稱點C1（0，3），連接AC1交BO于M，則M即為所求由A（6，0），C1（0，3），可得直線AC1的解析式為y x3由 解得 點M的坐標(biāo)為（2，2）AC1BCHMOPGyxQ由點P在拋物線y x 22x上，設(shè)P（t， t 22t）當(dāng)AM為平行四邊形的一邊時如右圖，過M作MGx軸于G，過P作PHBC于H則xGxM 2，xH xB 3可證AMGPQH，得

8、PHAG4t(3)4，t1AC1BCHMOPGyxQP1（1， ）如右圖，同理可得PHAG43t4，t7P2（7， ）當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時如右圖，過M作MHBC于H，過P作PGx軸于G則xH xB 3，xG xP tAC1BCHMOPGyxQ可證APGMQH，得AGMH1t(6)1，t5P3（5， ）綜上，點P的坐標(biāo)為P1（1， ），P2（7， ），P3（5， ）yBAxO6（上海模擬）已知：如圖，直線yx15與x軸、y軸分別相交于點A和點B，拋物線y x 2bxc經(jīng)過A、B兩點（1）求該拋物線的解析式；（2）若該拋物線的頂點為點D，與x軸的另一個交點為點C，對稱軸與x軸交于點H，求D

9、AC的面積；（3）若點E是線段AD的中點，CE與DH交于點G，點P在y軸的正半軸上，POH是否能夠與CGH相似？如果能，請求出點P的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由解：（1）由題意，得A（15，0），B（0，15）拋物線y x 2bxc經(jīng)過A、B兩點 解得 拋物線的解析式為y x 26x15（2）y x 26x15 ( x9)212頂點D的坐標(biāo)為（9，12）yBAxOP1P2OEGHC設(shè)y0，則 ( x9)2120( x9)236，x13，x215C（3，0），AC15312SDAC AC·DH ×12×1272（3）點E是線段AD的中點，點H是線段AC的中點點G是DA

10、C的重心.，GH DH4若 ，則HPOCGH ，PO6P1（0，6）若 ，則PHOCGH ，PO P2（0，）POH能夠與CGH相似，此時點P的坐標(biāo)為P1（0，6）或P2（0，）7（四川成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y xm（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點C以直線x1為對稱軸的拋物線yax 2bxc（a，b，c為常數(shù)，且a0）經(jīng)過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的

11、坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點，試探究 是否為定值，并寫出探究過程OABxyCx1解：（1）一次函數(shù)y xm的圖象與x軸交于點A（3，0） ×( 3 )m0，解得m 點C的坐標(biāo)是（0，）拋物線yax 2bxc經(jīng)過A，C兩點，且對稱軸為直線x1 解得 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x 2 x （2）假設(shè)存在點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形（）當(dāng)CEAF時，點E在x軸上方，yE yC 由 x 2 x ，解得x10

12、（舍去），x22OABxyCx1F1E1E2F2HE1（2，），此時SACE1F12× （）當(dāng)AECF時，點E在x軸下方，yE yC 由 x 2 x ，解得x11 ，x21 （舍去）E2（1 ， ）過E2作E2Hx軸于H，則E2HF2COAHF2AO3，AF27 SACF2E22SACF2AF2·CO 綜上所述，存在符合條件的點E1（2，），E2（1 ， ），使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，相應(yīng)的面積分別是 ，（3）方法一：A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x1對稱APCPBPCP BCOABxyCx1M1N1M2N2當(dāng)C、P、B三點在一條直線上時，ACP的周長取

13、得最小值此時點P的坐標(biāo)為（1，3）分別過點M1，M2作直線x1的垂線，垂足為N1，N2在RtM1PN1中，由勾股定理得M1P 2M1N12PN12( x11 )2( y13 )2 y1 x12 x1 ( x11 )24即( x11 )24( 4y1 )，將其代入，得M1P 2( 5y1 )2M1P5y1 （y15）同理M2P5y2 由M1N1M2N2，得M1PN1M2PN2 ，即 整理得y1y24( y1 y2 )15 1故 是定值，其值為1方法二：同方法一得點P的坐標(biāo)為（1，3）設(shè)過點P的直線表達(dá)式為ykx3k聯(lián)立 消去y，整理得x 2( 4k2 )x( 4k3 )0x1x224k，x1x2

14、( 4k3 )由y1kx13k，y2kx23k，得y1y2k( x1x2 )M1P 2·M2P 2( x11 )2( y13 )2( x21 )2( y23 )2( x11 )2k 2( x11 )2( x21 )2k 2( x21 )2( k 21 )2( x11 )2( x21 )2( k 21 )2( x1x2x1x21 )216( k 21 )2M1M22( x1x2 )2( y1y2 )2( k 21 )( x1x2 )2( k 21 )( x1x2 )24x1x216( k 21 )2M1P 2·M2P 2M1M22，即M1P·M2PM1M2故 是定值

15、，其值為18（四川雅安）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax 2bxc與x軸交于點A（1，0）和點B，頂點為P（1）若點P的坐標(biāo)為（1，4），求此時拋物線的解析式；（2）若點P的坐標(biāo)為（1，k），k 0，點Q是y軸上一個動點，當(dāng)k為何值時，QBQP取得最小值5；（3）試求滿足（2）時動點Q的坐標(biāo)解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為ya( x1 )24將A（1，0）代入上式，得a1ByQAPOxx1P拋物線的解析式為y( x1 )24（2）作點P（1，k）關(guān)于y軸的對稱點P（1，k）QPQP拋物線頂點為P（1，k），拋物線的對稱軸為x1拋物線與x軸交于點A（1，0）和點B，B（3，0）若QBQP最小

16、，即QBQP 最小則B、Q、P 三點共線，即PB5又AB134，連接PA，則PAABPAB是直角三角形，PA 3k3（3）由（2）知，BOQBAP ，即 ，OQ 動點Q的坐標(biāo)為（0， ）10（四川樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（m，m），點B的坐標(biāo)為（n，n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C已知實數(shù)m、n（mn）分別是方程x 22x30的兩根（1）求拋物線的解析式；OExyABDPC（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD當(dāng)OPC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；求B

17、OD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標(biāo)解：（1）解方程x 22x30，得x11，x23m n，m1，n3A（1，1），B（3，3）拋物線過原點，設(shè)拋物線的解析式為yax 2bx 解得a ，b 拋物線的解析式為y x 2 x（2）設(shè)直線AB的解析式為ykxb 解得k ，b 直線AB的解析式為y x C點坐標(biāo)為（0， ）直線OB過點O（0，0），B（3，3）直線OB的解析式為yxOPC為等腰三角形，OCOP或OPPC或OCPC設(shè)P（x，x）（i）當(dāng)OCOP時，x 2(x )2 OExyABDPCQGH解得x1 ，x2 （舍去），P1（ ， ）（ii）當(dāng)OPPC時，點P在線段OC的中垂線上，P2（

18、， ）（iii）當(dāng)OCPC時，x 2(x )2 解得x1 ，x20（舍去），P3（ ， ）P點坐標(biāo)為P1（ ， ）或P2（ ， ）或P3（ ， ）過點D作DGx軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BHx軸，垂足為H設(shè)Q（x，x），則D（x， x 2 x）DQ x 2 xx x 2 xSBOD SODQ SBDQ DQ·OG DQ·GH DQ( OGGH ) ( x 2 x )×3 ( x )2 0x 3當(dāng)x 時，S取得最大值為 ，此時D（ ， ）11（四川模擬）如圖，拋物線yax 2bxc與x軸交于點A、B，與y軸正半軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D已知A（2

19、，0），tanABC ，SABC 9（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是線段BC上一點，且以B、D、P為頂點的三角形與ABC相似，求點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，請你選擇一個P點求出BDP外接圓圓心的坐標(biāo)yOAxCDB備用圖yOAxCDB解：（1）由題意得： 解得：（舍去負(fù)值）B（4，0），C（0，3）設(shè)拋物線為ya( x2 )( x4 )，把C（0，3）代入，得3a( 02 )( 04 )，解得：a 拋物線的解析式為y ( x2 )( x4 )即y x 2 x3（2）存在y x 2 x3 ( x1 )2 拋物線的對稱軸是直線x1D（1，0），OD1OA2，OB4，OC3，AB6，BC

20、5，BD3當(dāng)BDPBAC時，則BDPBACDPACD為AB中點，P為CB中點B（4，0），C（0，3），P1（2，）yOP1AxCDBP2當(dāng)BPDBAC時，則 ，BP 過點P作PHOB于H，則BPHBCO ， BH ，PH ，P2（，）滿足條件的P點有兩個，P1（2，），P2（，）yOAxCDBPE（3）選擇P（2，），設(shè)E為BDP外接圓的圓心則點E是線段BD的中垂線和線段BP的中垂線的交點易知線段BD的中垂線為x ，設(shè)點E坐標(biāo)為（ ，m）由EDEP，得( 1)2m 2( 2)2(m )2解得m ，即E（ ，）當(dāng)點P坐標(biāo)為（2，）時，BDP外接圓圓心的坐標(biāo)為（ ，）12（四川模擬）已知圓A的半

21、徑為 ，圓心A（t，0）是拋物線y x 2bx與x軸的交點，點P是x軸上方拋物線上任意一點，點Q是線段OP的中點（1）如圖1，當(dāng)t4時，點P在拋物線上運動，點Q跟隨點P運動，其運動路徑也是一段拋物線，直接寫出點Q運動路徑的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍；（2）如圖2，當(dāng)POA45° 且t 0時，過點Q作OP的垂線l，證明直線l與A相切；AOPQxy圖1AOPQxy圖2l（3）當(dāng)POA45° 時，使得直線l與A相切于點M，且四邊形PAMQ為矩形此時，在拋物線上是否存在點B，使由A、B、P、Q四點構(gòu)成以AP為對角線的梯形？若存在，求出B點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）

22、yx 22x（0x 2）提示：當(dāng)t4時，A（4，0），代入y x 2bx，得b2拋物線為y x 22xAOPQxy圖1設(shè)P（m， m 22m），則Q（ m， m 2m）設(shè)Q（x，y），則x m，y m 2mm2x，y ( 2x )22xx 22x0m 4，0x 2點Q運動路徑的函數(shù)解析式為yx 22x（0x 2）（2）y x 2bx，A（2b，0）POA45°，直線OP的解析式為yxAOPQxy圖2lDM聯(lián)立 解得 （舍去）P（2b2，2b2）設(shè)l與x軸交于點D，連接PD由題意，l是線段OP的垂直平分線ODPD，OPDPOD45°ODP90°，OPD是等腰直角三角形ODQ45°，OD2b2AD2b( 2b2 )2過點A作AMl于M