2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)講義：動點問題詳細分層解析(四)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)講義動點問題詳細分層解析（四）專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點時應(yīng)以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、

2、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點的坐標(biāo)進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點作平行于軸的

3、直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸

4、所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時點的橫坐標(biāo)的取值

5、范圍O練習(xí)4 (2009廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點的坐標(biāo)分別為，ACOBxy（1）求過點的直線的函數(shù)表達式；點，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請

6、求出的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A點,顯

7、然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時，即為點，所以得要使，則有，即Oxy圖1CBED312A解之得，當(dāng)時，即為點，當(dāng)時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標(biāo)為（3）在中，因為所以當(dāng)點的坐標(biāo)為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，圖2

8、OxyCBEDPMGlNAF又因為，所以練習(xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標(biāo)為（0，8），點E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似yxBEAOCD在中，令，則由，解得令

9、，得設(shè)過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點的坐標(biāo)為將點的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點的坐標(biāo)為將點的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設(shè)點的坐

10、標(biāo)為，并代入，得xBEAOCP·解得（不合題意，舍去）點的坐標(biāo)為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為當(dāng)時，銳角；圖1CPByA當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角練習(xí)四解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACGM圖2CByPAMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中

11、，AE=PE= AP= 設(shè)M點的橫坐標(biāo)為，則M 點M在軸左側(cè)時，則() 當(dāng)AMG PCA時，有=GM圖3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)MAG PCA時有=即 解得：（舍去） M 點M在軸右側(cè)時，則 () 當(dāng)AMG PCA時有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當(dāng)MAGPCA時有= 即 解得：（舍去） M存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標(biāo)為，練習(xí)5、解：（1）點，點坐標(biāo)為設(shè)過點的直線的函數(shù)表達式為，圖1由 得，直線的函數(shù)表達式為（2）如圖1，過點作，交軸于點，在和中， ，點為所求又，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時

12、，則，解得如圖2，當(dāng)時，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時，APRPRQ？分析:由t2求出BP與BQ的長度,從而可得BPQ的形狀;作QEBP于點E,將PB,QE用t表示,由=×BP×QE

13、可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由APRPRQ,對應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為B=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×BP×QE=(6-t)×t=t2+3t；(3)因為QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因為C=600,所以QRC是

14、等邊三角形,這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時, APRPRQ.點評: 本題是雙動點問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例2(2008浙江溫州)如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于，當(dāng)點與點重合時，點停止運動設(shè)，（1）求點到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程