二次函數(shù)與幾何綜合壓軸題題型歸納

1、課 題二次函數(shù)的綜合壓軸題型歸類(lèi)教學(xué)目標(biāo)1、 要學(xué)會(huì)利用特殊圖形的性質(zhì)去分析二次函數(shù)與特殊圖形的關(guān)系2、 掌握特殊圖形面積的各種求法重點(diǎn)、難點(diǎn)1、 利用圖形的性質(zhì)找點(diǎn)2、 分解圖形求面積教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)睛： 一、二次函數(shù)和特殊多邊形形狀二、二次函數(shù)和特殊多邊形面積三、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)引起的最值問(wèn)題四、常考點(diǎn)匯總1、兩點(diǎn)間的距離公式：2、中點(diǎn)坐標(biāo)：線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為： 直線(xiàn)（）與（）的位置關(guān)系：（1）兩直線(xiàn)平行且 （2）兩直線(xiàn)相交（3）兩直線(xiàn)重合且 （4）兩直線(xiàn)垂直3、一元二次方程有整數(shù)根問(wèn)題，解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍； 解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式） 分析

2、求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開(kāi)方式是完全平方式。例：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，且為整數(shù)，求的值。4、二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題。（方法同上）例：若拋物線(xiàn)與軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且為正整數(shù)，試確定此拋物線(xiàn)的解析式。5、方程總有固定根問(wèn)題，可以通過(guò)解方程的方法求出該固定根。舉例如下： 已知關(guān)于的方程（為實(shí)數(shù)），求證：無(wú)論為何值，方程總有一個(gè)固定的根。解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，、；綜上所述：無(wú)論為何值，方程總有一個(gè)固定的根是1。6、函數(shù)過(guò)固定點(diǎn)問(wèn)題，舉例如下：已知拋物線(xiàn)（是常數(shù)），求證：不論為何值，該拋物線(xiàn)總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于的

3、方程； ，解得：； 拋物線(xiàn)總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)（1，1）。（題目要求等價(jià)于：關(guān)于的方程不論為何值，方程恒成立）小結(jié)：關(guān)于的方程有無(wú)數(shù)解7、路徑最值問(wèn)題（待定的點(diǎn)所在的直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸）（1）如圖，直線(xiàn)、，點(diǎn)在上，分別在、上確定兩點(diǎn)、，使得之和最小。（2）如圖，直線(xiàn)、相交，兩個(gè)固定點(diǎn)、，分別在、上確定兩點(diǎn)、，使得之和最小。（3）如圖，是直線(xiàn)同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，線(xiàn)段，在直線(xiàn)上確定兩點(diǎn)、（在的左側(cè) ），使得四邊形的周長(zhǎng)最小。 8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如右圖，SPAB=1/2 ·PM·x=1/2 ·AN·y9、函數(shù)

4、的交點(diǎn)問(wèn)題：二次函數(shù)（）與一次函數(shù)（） （1）解方程組可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）解方程組，即，通過(guò)可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 有兩個(gè)交點(diǎn) 僅有一個(gè)交點(diǎn) 沒(méi)有交點(diǎn) 10、方程法 （1）設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線(xiàn)段的長(zhǎng)度 （2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量 （3）列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來(lái)方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移、平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)等直角三角形直角梯形

5、矩形跟線(xiàn)段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線(xiàn)的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)等【例題精講】OxyABCD 一 基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=（以下幾種分類(lèi)的函數(shù)解析式就是這個(gè)）和最小，差最大 在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PB+PC的和最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo) 在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得PB-PC的差最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)OxyABCD求面積最大 連接AC,在第四象限找一點(diǎn)P，使得面積最大，求出P坐標(biāo)OxyABCD 討論直角三角形 連接AC,在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線(xiàn)上求點(diǎn)P，使ACP是以AC為直角邊的直角三角形 討論等腰三角形 連接AC,

6、在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，求出P坐標(biāo)OxyABCD 討論平行四邊形 1、點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)二 綜合題型 例1 (中考變式）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。交Y軸于C(1)求該拋物線(xiàn)的解析式與ABC的面積。(2)在拋物線(xiàn)第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)M，使MBC是以BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)若E為拋物線(xiàn)B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過(guò)E作EF與X軸垂直，交BC于F，設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求L關(guān)于

7、X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫(xiě)出X的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線(xiàn)段EF的值最大，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)？(4)在（5）的情況下直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)H。當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以點(diǎn)E、F、H、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(5)在（5）的情況下點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大？ 例2 考點(diǎn)： 關(guān)于面積最值 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(1，0)、(0，)，點(diǎn)B在x軸上已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，點(diǎn)P為直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)FyxBAFPx1CO（1）求該二

8、次函數(shù)的解析式；（2）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；（3）求PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)例3 考點(diǎn)：討論等腰三角形如圖，已知拋物線(xiàn)yx 2bxc與y軸相交于C，與x軸相交于A(yíng)、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)E是線(xiàn)段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；BCOA備用圖yx（3）在直線(xiàn)BC上是否存在一點(diǎn)P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由DBCOAyxE例4考點(diǎn)：討論直角三角形 如圖，已知點(diǎn)A（一1，0）和點(diǎn)B（1，2），在坐標(biāo)軸上確定

9、點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形，則滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)P共有（ ）(A）2個(gè) （B）4個(gè) （C） 6個(gè)（D）7個(gè) 已知：如圖一次函數(shù)yx1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)yx 2bxc的圖象與一次函數(shù)yx1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；OAByCxDE2（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例5 考點(diǎn)：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線(xiàn)yax 2xc（a0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C（1

10、）求出此拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線(xiàn)AD的解析式；（3）在（2）中的直線(xiàn)AD交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由BAyOCx三綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0)，OBOC，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D。 (1) 求此拋物線(xiàn)的解析式； (2) 若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)P滿(mǎn)足APBACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3) Q為線(xiàn)段BD上

11、一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于A(yíng)QB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐 標(biāo)和此時(shí)的面積。2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，與軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為。（1） 求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2） 點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)OM把四邊形ACDB分成面積為1 ：2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3） 點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)。（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）為中點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于，若（0，2），求拋物線(xiàn)的解析式

12、；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且使得的周長(zhǎng)最小，在拋物線(xiàn)上，在直線(xiàn)上，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)。4、已知關(guān)于的方程。（1） 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2） 若正整數(shù)滿(mǎn)足，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象；請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(xiàn)與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出的值（只需要求出兩個(gè)滿(mǎn)足題意的k值即可）。5如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+c（a0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（4，0）和B（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，

13、交BC于點(diǎn)E，連接CQ當(dāng)CEQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）平行于x軸的動(dòng)直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）問(wèn)是否有直線(xiàn)l，使ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)例1已知二次函數(shù)yx 2(m1)xm2的圖象與x軸相交于A(yíng)（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1x2（1）若x1x20，且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若x11，x21，求m的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C（0，2），若存在，求出m的值；若不

14、存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若過(guò)點(diǎn)D（0，）的直線(xiàn)與（1）中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點(diǎn)，且 ，求該直線(xiàn)的表達(dá)式題型二、拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離問(wèn)題例2 已知二次函數(shù)y= x 2+mx+m-5，（1）求證：不論m取何值時(shí)，拋物線(xiàn)總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短題型三、拋物線(xiàn)方程的整數(shù)解問(wèn)題例1 已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m5，則整數(shù)m的值為_(kāi)例2已知二次函數(shù)yx 22mx4m8（1）當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；AOxy（2）以?huà)佄锞€(xiàn)yx 22mx4m8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線(xiàn)的內(nèi)接正（M，N兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)

15、上），請(qǐng)問(wèn)：AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若拋物線(xiàn)yx 22mx4m8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值題型四、拋物線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、數(shù)形結(jié)合例1已知拋物線(xiàn)（其中b>0，c0）與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)位于x軸的下方，且BO=。求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（友情提醒：請(qǐng)畫(huà)圖思考）題型五、拋物線(xiàn)中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用（線(xiàn)段長(zhǎng)、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、等等）例1已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（，0）、B（

16、，0）（），其頂點(diǎn)是點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交于點(diǎn)D（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）如果（+1）（+1）=8，求二次函數(shù)的解析式；（3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)C1，且是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式綜合提升1已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），且| AB|2 ，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x1（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線(xiàn)yxm的下方，求m的取值范圍2已知二次函數(shù)yx 2mxm2（1）若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB ，求m的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)

17、圖象與y軸的交點(diǎn)為C，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M、N，且SMNC 27，求m的值3. 已知關(guān)于x的一元二次方程x 22(k1)xk 20有兩個(gè)整數(shù)根，k5且k為整數(shù)（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)yx 22(k1)xk 2的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；（3）根據(jù)直線(xiàn)yxb與（2）中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求b的取值范圍4已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（2，1），且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m（1）若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3

18、）若二次函數(shù)的圖象截直線(xiàn)yx1所得線(xiàn)段的長(zhǎng)為2 ，求m的值四、中考二次函數(shù)定值問(wèn)題1. （2012江西南昌8分）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x24x+3與x軸交于A(yíng)B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C（1）寫(xiě)出二次函數(shù)L1的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）研究二次函數(shù)L2：y=kx24kx+3k（k0）寫(xiě)出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線(xiàn)y=8k與拋物線(xiàn)L2交于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由2. （2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于A(yíng)(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)y=kx與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)C、D(0，2)作平行于x軸的直線(xiàn)、 (1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式； (