幾何圖形折疊問題

1、 幾何圖形折疊問題【疑難點(diǎn)撥】1. 折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用解題的關(guān)鍵利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找到折疊前后不變量與變量，運(yùn)用三角形的全等、相似及方程等知識(shí)建立有關(guān)線段、角之間的聯(lián)系2. 折疊(翻折)意味著軸對(duì)稱，會(huì)生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折疊通常利用折疊性質(zhì)和平行線性質(zhì)求角的度數(shù)，或者利用折疊性質(zhì)以及勾股定理求線段長度矩形中的兩次或多次折疊通常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形求邊或者角的度數(shù)4. 凡是在幾

2、何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量1.常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等【基礎(chǔ)篇】一、選擇題：1. .（2018四川涼州3分）如圖將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使C落在C處，BC交AD于點(diǎn)E，則下到結(jié)論不一定成立的是（） A AD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=2. （2017山東煙臺(tái)）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對(duì)折后得到如圖2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOA交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是上一點(diǎn)若

3、將扇形BOD沿OD翻折，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）A36-108B108-32C2D3. （2017浙江衢州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長等于（）ABCD4. （2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F已知EF=，則BC的長是（）AB3C3D3 5. （2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在

4、AD上，點(diǎn)E在BC上，把這個(gè)矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，若矩形面積為4且AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（）A1BC2D二、填空題：6. （2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，點(diǎn)M、N分別在線段AC.AB上，將ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)DCM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長為7. （2018·山東威海·8分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn)K重合，EG為折痕；點(diǎn)C與AD邊上的點(diǎn)K重合，F(xiàn)H為折痕已知

5、1=67.5°，2=75°，EF=+1，則BC的長 8. （2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，已知DGH=30°，連接BG，則AGB= 三、解答與計(jì)算題：9. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形10. （2018山東棗莊10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EGCD交A

6、F于點(diǎn)G，連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長【能力篇】一、選擇題：11. （2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )A4B5C6D712. （2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點(diǎn)給出以下結(jié)論：四邊形A

7、ECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D413. （2018·湖北省武漢·3分）如圖，在O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D若O的半徑為，AB=4，則BC的長是（）A             B             C  

8、;             D二、填空題：14. (2018·遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點(diǎn)G若=，則= 15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，下列結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AFCE；當(dāng)E為線段

9、AB中點(diǎn)時(shí)，AF=；當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，AE=；當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CEFAEF三、解答與計(jì)算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當(dāng)AD=25，且AEDE時(shí)，求cosPCB的值；當(dāng)BP=9時(shí)，求BEEF的值17. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在

10、點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形18. （2018江蘇鹽城10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點(diǎn)，連接 、 .將 沿 翻折后得到 .（1）試說明點(diǎn) 在 上； （2）在線段 的延長線上取一點(diǎn) ，使 .求證： 為 的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長線段 、 相交于點(diǎn) ，若 ， ，求線段 的長. 【探究篇】19. （2018年江蘇省泰州市12分）對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開

11、如圖，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90°；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點(diǎn)，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，請(qǐng)簡要說明折疊方法（不需說明理由）20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x，（1）當(dāng)AM= 時(shí)，求x的值； （2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說明理由；如

12、不變，請(qǐng)求出該定值； （3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值. 幾何圖形折疊問題【疑難點(diǎn)撥】1. 折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用解題的關(guān)鍵利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找到折疊前后不變量與變量，運(yùn)用三角形的全等、相似及方程等知識(shí)建立有關(guān)線段、角之間的聯(lián)系2. 折疊(翻折)意味著軸對(duì)稱，會(huì)生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折疊通常利用折疊性質(zhì)和平行線性質(zhì)求角的度數(shù)，或者利用折疊性質(zhì)以及勾股定理求線段長度矩形中的兩次或多次折疊通

13、常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形求邊或者角的度數(shù)4. 凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量1.常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等【基礎(chǔ)篇】一、選擇題：1. .（2018四川涼州3分）如圖將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使C落在C處，BC交AD于點(diǎn)E，則下到結(jié)論不一定成立的是（） AAD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=【分析】主要根據(jù)折疊前后角和邊相等找到相等的邊之間的關(guān)系，即可選

14、出正確答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正確B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB正確D、sinABE=，EBD=EDBBE=DEsinABE=故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要用排除法，證明A，B，D都正確，所以不正確的就是C，排除法也是數(shù)學(xué)中一種常用的解題方法2. （2017山東煙臺(tái)）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對(duì)折后得到如圖2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOA交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是上一點(diǎn)若將扇形BOD沿OD翻折，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）A36-108B

15、108-32C2D【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算；P9：剪紙問題【分析】先求出ODC=BOD=30°，作DEOB可得DE=OD=3，先根據(jù)S弓形BD=S扇形BODSBOD求得弓形的面積，再利用折疊的性質(zhì)求得所有陰影部分面積【解答】解：如圖，CDOA，DCO=AOB=90°，OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，ODC=BOD=30°，作DEOB于點(diǎn)E，則DE=OD=3，S弓形BD=S扇形BODSBOD=×6×3=39，則剪下的紙片面積之和為12×（39）=36108，故答案為：36108故選A3. （2017浙江衢州）如圖，矩形紙片A

16、BCD中，AB=4，BC=6，將ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長等于（）ABCD【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，E=B=90°，易證RtAEFRtCDF，即可得到結(jié)論EF=DF；易得FC=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6x，在RtCDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使ABC落在ACE的位置，AE=AB，E=B=90°，又四邊形ABCD為矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF與CDF中，

17、AEFCDF（AAS），EF=DF；四邊形ABCD為矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，F(xiàn)C=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6x，在RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6x）2，解得x=，則FD=6x=故選：B4. （2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F已知EF=，則BC的長是（）AB3C3D3 【分析】由折疊的性質(zhì)可知B=EAF=45°，所以可求出AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知EF

18、=AB，所以AB=AC的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長【解答】解：沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，B=EAF=45°，AFB=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，EF= AB，EF= ，AB=AC=3，BAC=90°，BC=3，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出AFB=90°是解題的關(guān)鍵5. （2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在BC上，把這個(gè)矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，若矩形面積為4且AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（）A1B

19、C2D【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)【分析】由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、DFE=GFE，結(jié)合AFG=60°即可得出GFE=60°，進(jìn)而可得出GEF為等邊三角形，在RtGHE中，通過解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG結(jié)合矩形面積為4，即可求出EC的長度，根據(jù)EF=GE=2EC即可求出結(jié)論【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，DFE=GFEGFE+DFE=180°AFG=120°，GFE=60°AFGE，AFG=60

20、6;，F(xiàn)GE=AFG=60°，GEF為等邊三角形，EF=GEFGE=60°，F(xiàn)GE+HGE=90°，HGE=30°在RtGHE中，HGE=30°，GE=2HE=CE，GH=HE=CEGE=2BG，BC=BG+GE+EC=4EC矩形ABCD的面積為4，4ECEC=4，EC=1，EF=GE=2故選C二、填空題：6. （2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，點(diǎn)M、N分別在線段AC.AB上，將ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)DCM為直角三角形時(shí)，折

21、痕MN的長為【解答】解：分兩種情況：如圖，當(dāng)CDM=90°時(shí)，CDM是直角三角形，在RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，C=30°，AB=AC=，由折疊可得：MDN=A=60°，BDN=30°，BN=DN=AN，BN=AB=，AN=2BN=DNB=60°，ANM=DNM=60°，AMN=60°，AN=MN=；如圖，當(dāng)CMD=90°時(shí)，CDM是直角三角形，由題可得：CDM=60°，A=MDN=60°，BDN=60°，BND=30°，BD=DN

22、=AN，BN=BD1AB=，AN=2，BN=，過N作NHAM于H，則ANH=30°，AH=AN=1，HN=，由折疊可得：AMN=DMN=45°，MNH是等腰直角三角形，HM=HN=，MN= 故答案為：或7. （2018·山東威海·8分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn)K重合，EG為折痕；點(diǎn)C與AD邊上的點(diǎn)K重合，F(xiàn)H為折痕已知1=67.5°，2=75°，EF=+1，求BC的長【分析】由題意知3=180°21=45°、4=180°22=30°、BE=KE、KF=FC

23、，作KMBC，設(shè)KM=x，知EM=x、MF=x，根據(jù)EF的長求得x=1，再進(jìn)一步求解可得【解答】解：由題意，得：3=180°21=45°，4=180°22=30°，BE=KE、KF=FC，如圖，過點(diǎn)K作KMBC于點(diǎn)M，設(shè)KM=x，則EM=x、MF=x，x+x=+1，解得：x=1，EK=、KF=2，BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+，BC的長為3+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等8. （2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿E

24、F折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，已知DGH=30°，連接BG，則AGB=75°【分析】由折疊的性質(zhì)可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，從而可證明EBG=EGB，然后再根據(jù)EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH，由平行線的性質(zhì)可知AGB=GBC，從而易證AGB=BGH，據(jù)此可得答案【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，EBG=EGBEGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH又ADBC，AGB=GBCAGB=BGHDGH=30°，AGH=150°，AGB=AGH=75

25、76;，故答案為：75°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等三、解答與計(jì)算題：9. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AD=BC、AB=CD，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出AD=CE、AE=CD，進(jìn)而即可證出ADECED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DEF=EDF，利用等邊對(duì)等角可得出EF

26、=DF，由此即可證出DEF是等腰三角形【解答】證明：（1）四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出DEF=EDF10. （2018山東棗莊10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EGCD交A

27、F于點(diǎn)G，連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明DGF=DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O由菱形的性質(zhì)可知GFDE，OG=OF=GF，接下來，證明DOFADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)G作GHDC，垂足為H利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明FGHFAD，利用相似三

28、角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=ADGH求解即可【解答】解：（1）證明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四邊形EFDG為菱形（2）EG2=GFAF理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O四邊形EFDG為菱形，GFDE，OG=OF=GFDOF=ADF=90°，OFD=DFA，DOFADF，即DF2=FOAFFO=GF，DF=EG，EG2=GFAF（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作GHDC，垂足為HEG2=GFAF，AG=6，EG=2，20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG40=0解得

29、：FG=4，F(xiàn)G=10（舍去）DF=GE=2，AF=10，AD=4GHDC，ADDC，GHADFGHFAD，即=GH=BE=ADGH=4=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FOAF是解題答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵【能力篇】一、選擇題：11. （2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )A4B5

30、C6D7【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得AE=A1EABC為等腰直角三角形，BC=8，AB=8A1為BC的中點(diǎn)，A1B=4，設(shè)AE=A1E=x，則BE=8x在RtA1BE中，由勾股定理可得42+（8x）2=x2，解得x=5 故答案為：5故選B12. （2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點(diǎn)給出以下結(jié)論：四邊形AECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4解：如圖，EC

31、，BP交于點(diǎn)G；點(diǎn)P是點(diǎn)B關(guān)于直線EC的對(duì)稱點(diǎn)，EC垂直平分BP，EP=EB，EBP=EPB點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AE=EB，AE=EP，PAB=PBAPAB+PBA+APB=180°，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180°，PAB+PBA=90°，APBP，AFEC；AECF，四邊形AECF是平行四邊形，故正確；APB=90°，APQ+BPC=90°，由折疊得：BC=PC，BPC=PBC四邊形ABCD是正方形，ABC=ABP+PBC=90°，ABP=APQ，故正確；AFEC，F(xiàn)PC=PCE=BCEPFC是鈍角，當(dāng)

32、BPC是等邊三角形，即BCE=30°時(shí)，才有FPC=FCP，如右圖，PCF不一定是等腰三角形，故不正確；AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90°，RtEPCFDA（HL）ADF=APB=90°，F(xiàn)AD=ABP，當(dāng)BP=AD或BPC是等邊三角形時(shí)，APBFDA，APBEPC，故不正確；其中正確結(jié)論有，2個(gè) 故選B13. （2018·湖北省武漢·3分）如圖，在O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D若O的半徑為，AB=4，則BC的長是（）A       

33、;      B             C               D【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如圖，利用垂徑定理得到ODAB，則AD=BD=AB=2，于是根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OD=1，再利用折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的

34、圓為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性質(zhì)得AE=DE=1，接著證明四邊形ODEF為正方形得到OF=EF=1，然后計(jì)算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如圖，D為AB的中點(diǎn)，ODAB，AD=BD=AB=2，在RtOBD中，OD= =1，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D弧AC和弧CD所在的圓為等圓，=，AC=DC，AE=DE=1，易得四邊形ODEF為正方形，OF=EF=1，在RtOCF中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，BC=3故選：

35、B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系也考查了圓周角定理和垂徑定理二、填空題：14. (2018·遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點(diǎn)G若=，則= 【解答】解：連接GE點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，EC=DE將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，EF=DE，BFE=90°在RtEDG和RtEFG中，RtEDGRtEFG（HL），F(xiàn)G=DG=，設(shè)DG=FG=a，則AG=7a，故AD=B

36、C=8a，則BG=BF+FG=9a，AB=4a，故=故答案為： 15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AFCE；當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AF=；當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，AE=；當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CEFAEF【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì)【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：如圖1中，當(dāng)AE=EB時(shí)，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=

37、CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正確，作EMAF，則AM=FM，在RtECB中，EC= =，AME=B=90°，EAM=CEB，CEBEAM，=，=，AM= ，AF=2AM= ，故正確，如圖2中，當(dāng)A、F、C共線時(shí)，設(shè)AE=x則EB=EF=3x，AF= 2，在RtAEF中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3x）2，x= ，AE= ，故正確，如果，CEFAEF，則EAF=ECF=ECB=30°，顯然不符合題意，故錯(cuò)誤，故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

38、用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題三、解答與計(jì)算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當(dāng)AD=25，且AEDE時(shí)，求cosPCB的值；當(dāng)BP=9時(shí)，求BEEF的值【分析】（1）先判斷出A=D=90°，AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結(jié)論；（2）利用折疊的性質(zhì)，得出PGC=PBC=90°，BPC=GPC，進(jìn)

39、而判斷出GPF=PFB即可得出結(jié)論；判斷出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判斷出ECFGCP，進(jìn)而求出PC，即可得出結(jié)論；判斷出GEFEAB，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AB=DC，E是AD中點(diǎn)，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90°，BPC沿PC折疊得到GPC，PGC=PBC=90°，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；當(dāng)AD=25時(shí)，BEC=90°，AEB+CED=90°，

40、AEB+ABE=90°，CED=ABE，A=D=90°，ABEDEC，設(shè)AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，設(shè)BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如圖，連接FG，GEF=BAE=90°，BFPG，BF=PG，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=12×9=108【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

41、質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵17. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AD=BC、AB=CD，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出AD=CE、AE=CD，進(jìn)而即可證出ADECED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DEF=EDF，利用等邊對(duì)等角可得出EF=DF，由此即可證出DEF是等腰三角形【解答】證明：（1）四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折疊的性質(zhì)可得：B

42、C=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出DEF=EDF18. （2018江蘇鹽城10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點(diǎn)，連接 、 .將 沿 翻折后得到 .（1）試說明點(diǎn) 在 上； （2）在線段 的延長線上取一點(diǎn) ，使 .求證： 為 的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長線段 、

43、相交于點(diǎn) ，若 ， ，求線段 的長. 【答案】（1）解：連接OC，OD，由翻折可得OD=OC，OC是O的半徑，點(diǎn)D在O上。（2）證明：點(diǎn)D在O上，ADB=90°，由翻折可得AC=AD，AB2=AC·AE，AB2=AD·AE， ，又BAE=DAB，ABEADB，ABE=ADB=90°，OB是半徑，BE為的O切線。（3）解：設(shè)EF=x，AB2=AC2+BC2=AC·AE，AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，BDF=C=90°，BFD=AFC，BDFACF， 即 則BF= ，在RtBDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ， 則22

44、+（1+x）2=( )2 ， 解得x1= ,x2=-1（舍去）,則EF= 【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】（1）要證明點(diǎn)D在O上，則需要證明點(diǎn)D到圓心的距離OD要等于半徑，由折疊易知OD=OC；（2）證明BE為的O切線，由切線判定定理可得需要證明ABE=90°；易知ADB=90°，由公共角BAE=DAB，則需要ABEADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可證明；（3）易知BDF=ADB=90°，則BDF是一個(gè)直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要

45、求的，不妨先設(shè)EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的話可用x表示出來，再代入BD2+DF2=BF2解得即可?！咎骄科?9. （2018年江蘇省泰州市12分）對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開如圖，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90°；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點(diǎn)，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，請(qǐng)簡要說明折疊方法（不需說明理由）【分

46、析】（1）依據(jù)BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由圖，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；（2）由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，進(jìn)而得出AP=BC，再根據(jù)PH=CP，A=B=90°，即可得到RtAPHRtBCP（HL），進(jìn)而得到CPH=90°；由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿著過D的直線翻折，使點(diǎn)A落在CD邊上，此時(shí)折痕與AB的交點(diǎn)即為P；由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，進(jìn)

47、而得到CP平分BCE，故沿著過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在CE上，此時(shí)，折痕與AB的交點(diǎn)即為P【解答】解：（1）由圖，可得BCE=BCD=45°，又B=90°，BCE是等腰直角三角形，=cos45°=，即CE=BC，由圖，可得CE=CD，而AD=BC，CD=AD，=；（2）設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如圖，連接EH，則CEH=CDH=90°，BEC=45°，A=90°，AEH=45°=AHE，AH=AE=（1）a，設(shè)AP=x，則BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，AH2+AP

48、2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又PH=CP，A=B=90°，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP中，BCP+BPC=90°，APH+BPC=90°，CPH=90°；折法：如圖，由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿著過D的直線翻折，使點(diǎn)A落在CD邊上，此時(shí)折痕與AB的交點(diǎn)即為P；折法：如圖，由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即CP平分BCE

49、，故沿著過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在CE上，此時(shí)，折痕與AB的交點(diǎn)即為P【點(diǎn)評(píng)】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等解題時(shí)常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)B