電磁場(chǎng)與電磁波 第五章

1、第五章第五章 平面電磁波平面電磁波第五章 平面電磁波 電磁波電磁波：時(shí)變的電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間中以波的形式移動(dòng)，可有效地傳遞能量。首先由麥克斯韋于 1865 年預(yù)測(cè)出來(lái)，而后由德國(guó)物理學(xué)家赫茲于1887年間在實(shí)驗(yàn)中證實(shí)存在。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波隨時(shí)間變化的電荷、電流所激發(fā)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)也隨時(shí)間變化。隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)簡(jiǎn)稱為時(shí)變場(chǎng)。由麥克斯韋方程組可知，變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)可以相互激發(fā)，從而時(shí)變電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源以波動(dòng)的形式向遠(yuǎn)處傳播。預(yù)言電磁波的存在是麥克斯韋方程組的重要成果之一。( )I tBBEE.BB.( ) tDEEEBBBE.第五章第五章 平面電磁波平面電磁波本章討論電磁波

2、被場(chǎng)源激勵(lì)出來(lái)以后，遠(yuǎn)離場(chǎng)源在空間中的傳播。該問(wèn)題是無(wú)源空間中麥克斯韋方程組的解。我們首先由麥克斯韋方程組導(dǎo)出電磁波動(dòng)方程，然后討論平面電磁波在無(wú)界均勻介質(zhì)中的傳播特性。00tt BEDHDB0tt BEDHJDB第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 5.1 無(wú)源空間的電磁波動(dòng)方程 設(shè)空間充滿各向同性非導(dǎo)電均勻介質(zhì)，并且無(wú)電荷、電流分布。利用介質(zhì)的本構(gòu)方程，該無(wú)源空間的麥克斯韋方程組可寫(xiě)為 對(duì)第一式取旋度，并利用第二式，有 00HEEHHEtt22)(ttEHE00tt BEDHDBDEBH第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 再利用矢量恒等式 以及 E 的散度為零，可得AAA2)()(022tE

3、E2同理可導(dǎo)出 022tHH2 上兩式是齊次波動(dòng)方程，這表明，在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)皆以波動(dòng)的形式在空間傳播。由麥?zhǔn)戏匠炭芍?，時(shí)變的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以互相激發(fā)。因此，時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)構(gòu)成不可分割的統(tǒng)一場(chǎng) 電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)以波動(dòng)的形式在空間傳播，這就是電磁波。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波在真空中80013 10 m/s=cv 可得電磁波在介質(zhì)中的傳播速度為1v與標(biāo)準(zhǔn)齊次波動(dòng)方程相比較022tEE2022tHH222222( , )1( , )0y x ty x txvt1208.85 10/F m720410N A可以說(shuō)光也是電磁波.第五章第五章 平面電磁波平面電磁波求解無(wú)源區(qū)域內(nèi)的電磁波，

4、通常采用下列形式的方程組： EHEEE1)0(0222tt或HEHHH1)0(0222tt麥克斯韋方程組波動(dòng)方程波動(dòng)方程麥克斯韋方程組即波動(dòng)方程的解不一定是電磁波，需要驗(yàn)證0E0H第五章第五章 平面電磁波平面電磁波EHEEE1)0(0222tt或HEHHH1)0(0222tt無(wú)源區(qū)域內(nèi)的電磁波滿足的方程組滿足該方程組的每一個(gè)解都為一種可能存在的電磁波，其中最簡(jiǎn)單和最基本的形式是場(chǎng)矢量的分量隨時(shí)間按正弦或余弦變化，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)。時(shí)諧場(chǎng)可疊加成為任何周期性或者非周期性的的電磁場(chǎng)。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)矢量的每一個(gè)坐標(biāo)分量都隨時(shí)間按正弦或余弦形

5、式變化。時(shí)諧場(chǎng)在工程實(shí)踐中最常用，而且，任何周期性或非周期性的電磁場(chǎng)都可以分解為許多不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。以下只討論時(shí)諧電磁場(chǎng)。5.2.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示 1場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示 在直角坐標(biāo)系中，單一頻率的時(shí)諧場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的每一個(gè)分量為),()(cos)(),(0zyxitEtEiiirrr歐拉公式：cossinixexix振幅初相相位第五章第五章 平面電磁波平面電磁波時(shí)諧量用復(fù)數(shù)表示更為方便： e )(Ree )(Re)e(Re)()cos()(j)(j0)( j00titjitiiiiEeEEtEtEiirrrrrr,rr于是有 e)()()(Re),(),(),(),(j tzzyyx

6、xzzyyxxEEEtEtEtEtrererererererE為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，采用記號(hào) 來(lái)表示上式中方括號(hào)內(nèi)的和： )(rE)()()()(rerererEzzyyxxEEE 稱為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，它僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。這樣，場(chǎng)強(qiáng)可表為 e )(Re),(j ttrErE)(rE第五章第五章 平面電磁波平面電磁波ttje )(),(rErE 稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示?？梢?jiàn)，在復(fù)數(shù)表示中，空間坐標(biāo)與時(shí)間是分離的。這樣有利于微積分運(yùn)算。為書(shū)寫(xiě)方便，以后記復(fù)電磁場(chǎng)量時(shí)省去其上方的復(fù)數(shù)符號(hào) ，簡(jiǎn)寫(xiě)為 還常常省略 ejt，僅記為 E(r)。 同理，時(shí)諧場(chǎng)的其它場(chǎng)量 D、B、H、J、，都可用復(fù)數(shù)類似地表示。ttj

7、e )(),(rErEe )(Re),(j ttrErE第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例5.2.1 將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)表示式、復(fù)數(shù)表示式互相變換。 sinj00000e)coscos(sinj2)3()cos()cos()sin()sin()2()sin()cos() 1 (zkxzxzzyykxEtkzxaHtkzxaakHkxtEkxtEeEeeHeeE),()(cos)(),(0zyxitEtEiiirrrttje )(),(rErE( , )( )t E rE r先轉(zhuǎn)換成為標(biāo)準(zhǔn)形式，后根據(jù)定義變換。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波00(1)cos()sin()yyzzEtkxEt

8、kxEee解：轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式)2cos()sin(kxtkxt00()()200cos()cos()2Reyyzzjt kxjt kxyyzzEtkxEtkxE eE eEeeee()20020000()()jkxjkxj tj tyyzzjjkxj tyyzzjkxyyzzE eeE eeEE eeeEjEeEeeeeee瞬時(shí)表達(dá)式：復(fù)數(shù)表達(dá)式：第五章第五章 平面電磁波平面電磁波00(2)sin()sin()cos()cos()xzaH kxkztHxkztaaHee)2cos()sin(),cos()cos(kzttkzkzttkz0000()()200sin()sin()cos()cos

9、()sin()cos()cos()cos()2Resin()cos()xzxzjt kzjt kzxzaH kxkztHxkztaaaH kxtkzHxtkzaaaH kx eHx eaaHeeeeee()20020000sin()cos()sin()cos()sin()cos()jkzj tjkzj txzjjkzj txzjkzxzaH kx eeHx eeaaaH kx eHxeeaaaH kx jHxeaaHeeeeee瞬時(shí)表達(dá)式：復(fù)數(shù)表達(dá)式：解：轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式第五章第五章 平面電磁波平面電磁波jsin0(3)2jsincos(cos )ek zxEkxEejjsinj20jsin20

10、0Re2sincos(cos )ee eRe2sincos(cos )e2sincos(cos )cos(sin )2k ztxt k zxxEkxEkxEkxtkzEeee瞬時(shí)表達(dá)式：復(fù)數(shù)表達(dá)式：解：轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式j(luò)2ejjjsin202sincos(cos )eek zxEkxEe第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 2復(fù)能量密度 復(fù)坡印廷矢量 電磁場(chǎng)的能量密度 和坡印廷矢量 S = E H 都是電磁場(chǎng)量的二次式，計(jì)算它們的瞬時(shí)值，只能代入場(chǎng)量的瞬時(shí)表達(dá)式，而不能用場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示代入計(jì)算后再取實(shí)部。在實(shí)際中，更有意義的是它們的時(shí)間平均值，時(shí)間平均值可以很方便地用復(fù)數(shù)表示。為此，先討論時(shí)諧函數(shù)

11、二次式求時(shí)間平均值的一般表達(dá)。 HBDE2121w設(shè)兩個(gè)時(shí)諧函數(shù)分別為 )eRe()cos()()eRe(cos)()( j00j00ttgtgtgftftf第五章第五章 平面電磁波平面電磁波它們的乘積在一周期內(nèi)的平均值為 顯然有cos21)cos(cos1)(00000avgfdtttgfTfgTcos21)21Re(00*gfgf所以，時(shí)諧函數(shù)二次式對(duì)時(shí)間的平均值用復(fù)數(shù)表示為 )21Re()(*avgfgf 因此，平均電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度，平均坡印廷矢量以及平均損耗功率密度分別為： 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 上各式括號(hào)中的量分別稱為復(fù)電場(chǎng)能量密度、復(fù)磁場(chǎng)能量密度、復(fù)坡印廷矢

12、量和復(fù)損耗功率密度，它們均與時(shí)間無(wú)關(guān)，其實(shí)部分別為電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度、坡印廷矢量以及損耗功率密度的時(shí)間平均值。 )21Re()21Re()41Re()41Re()2121Re(*avavavmaveEJHESHBDEDEpww第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2.2 場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式0tt BEDHJDBt BE ( )j tj tr er et BE ( )j tj tr ejr e EBj EB0jjBDJHDBE 利用場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表示以及微分、積分運(yùn)算與復(fù)數(shù)的取實(shí)部可以交換順序，可以得到，對(duì)于單一頻率的時(shí)諧場(chǎng)，麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式為 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2

13、.2 場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式利用本構(gòu)方程，在各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)無(wú)源區(qū)域麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式變?yōu)閖0j0 EBDHDB0j0jHEHEHE無(wú)源區(qū)域內(nèi)場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式0jjBDJHDBE麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2.2 場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式在各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)無(wú)源區(qū)域麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式0j0jHEHEHE兩邊取旋度()j EH2()jj EEE22 EE22k 220kEE220kHH取同理可得得到時(shí)諧場(chǎng)復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程，也稱為22 HH齊次亥姆霍茲方程。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波其中 ，k的大小是波數(shù)，表示 長(zhǎng)度內(nèi)所具有的全波數(shù)目 ?；騥 因

14、此，對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，在各向同性均勻介質(zhì)的無(wú)源區(qū)域內(nèi)，場(chǎng)方程復(fù)數(shù)形式為 EHEEEj)0(022kHEHHHj)0(022k1122kfv 2第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2.3 復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率 在時(shí)諧場(chǎng)作用下，表征介質(zhì)電磁特性的參量 、 一般為復(fù)數(shù)，且其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)，即 式中，、”、 ” 都是正數(shù)。 復(fù)介電常數(shù)的虛部反映介質(zhì)的極化損耗；復(fù)磁導(dǎo)率的虛部反映介質(zhì)的磁化損耗。以極化為例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。單位體積極化損耗功率的時(shí)間平均值為 )(j)()(j)( 2avd0*111Re()Rej ()222pjE JEE E復(fù)介電常數(shù)、復(fù)磁導(dǎo)率的幅角的正切稱為損耗角正切，即 tan,t

15、an第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 對(duì)于理想的無(wú)損耗介質(zhì)，” = 0，” = 0。所以 、 為實(shí)數(shù)。 對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)，有 J = E，因此，H 的旋度寫(xiě)為 上式表明，導(dǎo)電介質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替，電導(dǎo)率和介電常數(shù)的總效應(yīng)可用一個(gè)等效復(fù)介電常數(shù)表示，即EEEH )j(j)j(j )( jc tDHJjHJD第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 引入等效復(fù)介電常數(shù)后，導(dǎo)電介質(zhì)的場(chǎng)方程與有損耗介質(zhì)的場(chǎng)方程形式上完全相同。 jj00cEHHEEHjj00EHHEEH第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.2.4 復(fù)坡印亭定理 )()()(BAABBA)(21)(21)21(

16、*HEEHHE將 E 和 H 的旋度表達(dá)式代入，作體積分，并應(yīng)用散度定理，有 VVVVSd)4141(j2d21d)21(*DEHBJESHE上式即為復(fù)坡印亭定理。 VVVVtdd)2121(dddJEDEBHS 時(shí)諧場(chǎng)情形下，由場(chǎng)量和場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式，可以得到復(fù)數(shù)形式的坡印亭定理。 利用矢量恒等式 ，有 靜電場(chǎng)的*jj EBHJD第五章第五章 平面電磁波平面電磁波所以 等式右邊實(shí)部體積分表示區(qū)域V 中的總電磁損耗功率,其中 是單位體積的平均導(dǎo)電損耗功率，后兩項(xiàng)分別為單位體積的平均極化損耗功率和磁化損耗功率?？傠姶艙p耗功率等于式左邊面積分的實(shí)部所表示的通過(guò)封閉面流入?yún)^(qū)域中的平均功率。 上式右邊

17、虛部表示的是流入?yún)^(qū)域中的無(wú)功功率，它不能轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰俊?222222j2121)j(2j2jj2121)j(2j2j*EEEHHH DEHB*22222111111() d()dj2()d222244SVVEEHVHEVEHS221E而設(shè)介質(zhì)的 、 為復(fù)數(shù)，電導(dǎo)率為 ，則有22121*EJE第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 5.3 理想介質(zhì)中的均勻平面電磁波 均勻平面電磁波的等相位面為平面，且等相位面上各點(diǎn)的場(chǎng)矢量的方向和振幅都相等。嚴(yán)格地說(shuō)，在物理世界中并不存在均勻平面電磁波。如果場(chǎng)點(diǎn)遠(yuǎn)離波源，實(shí)際的電磁波，無(wú)論是球面波還是柱面波，其波面上的一小部分就十分接近平面了。另外在數(shù)學(xué)上，

18、無(wú)論是球面波還是柱面波，它們都可以表示為平面波的疊加。因此，均勻平面電磁波在理論和實(shí)踐中都有著重要意義。 5.3.1 均勻平面波解 設(shè)無(wú)界空間中充滿了各向同性均勻理想介質(zhì)。建直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，電場(chǎng)復(fù)矢量表示為 ）zyxEzyxEzyxEzyxzzyyxx,(,(,(,(eeeE第五章第五章 平面電磁波平面電磁波解三個(gè)常微分方程，得 2222zyxkkkk E E 滿足矢量亥姆霍茲方程，因此，每個(gè)直角分量 Ei 滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程： ),(0)y,(x,)y,(x,22zyxizEkzEii變量分離，令 ，代入上方程，可得 )()()(zZyYxXEiiii0dd, 0dd, 0dd2

19、22222222iziiyiixiZkzZYkyYXkxXzkiiykiixkiizyxZZYYXXj0j0j0e,e,e于是有),(ee)(j0)( j000zyxiEZYXEizkykxkiiiizyxrkr第五章第五章 平面電磁波平面電磁波rkrkEeeerEj0j000ee )()(zzyyxxEEE式中上式乘以 ejt 取實(shí)部，可得場(chǎng)強(qiáng)的瞬時(shí)表達(dá)式： )cos(),(0EttrkErEzzyyxxkkkeeek所以稱為波矢量，其大小稱為波數(shù)： 222zyxkkkk如右圖所示。與 k 垂直的平面 S 上，任一點(diǎn)的位矢在 k 上的投影都等于 rk，即對(duì)于 S 上的任意點(diǎn)，有 constE

20、kErkttrk第五章第五章 平面電磁波平面電磁波同理可得，H 的亥姆霍茲方程的均勻平面波解為 其瞬時(shí)表達(dá)式為 rkrkHeeerHj0j000ee )(zzyyxxHHH）)cos(),(0HttrkHrH 等相位面表達(dá)式兩邊對(duì) t 求導(dǎo)，可得平面電磁波的相速度ktrvkddp 即 S 是沿矢量 k 方向推進(jìn)的等相位面，故表示沿 k 方向傳播的均勻平面電磁波。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波對(duì)均勻平面波場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式取散度，可得 5.3.2 均勻平面電磁波的特性 1E、H 的振動(dòng)方向與電磁波傳播方向之間的關(guān)系 因?yàn)?E = 0，故 jjj000(e)ejej k rk rk rEEEk Ek

21、 E0Ek這表明電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在垂直于傳播的方向上振動(dòng)。 EeEeEEEHrkrkkkk0jj0ej)e(jj 可見(jiàn)，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量也在垂直于傳播的方向上振動(dòng)，并且 H 與 E 相互垂直。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 綜上可知，在無(wú)界空間傳播的電磁波為橫波，場(chǎng)矢量 E 和 H 均與電磁波傳播方向垂直，且 E 與 H 相互垂直。這種波型稱為 TEM （Transverse Electromagnetic）波。 同理，由 H = 0 可得 且有 仍有與上面相同的結(jié)論。2E、H 復(fù)振幅之間的關(guān)系 由上述討論可得，均勻平面電磁波電場(chǎng)和磁場(chǎng)復(fù)振幅的比值為0HkHeHeHHHErkrkkkk0jj0e

22、j)e(jj第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 對(duì)于理想介質(zhì)， 為實(shí)數(shù)，這表明，E = H，即在理想介質(zhì)中的傳播的均勻平面電磁波，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位。 具有阻抗的量綱，稱為介質(zhì)的波阻抗。真空的波阻抗為 HEHEj0j0ee120000j00j00eeEHEEHH00EH第五章第五章 平面電磁波平面電磁波3相速度 理想介質(zhì)中的均勻平面波的相速為1pkv可見(jiàn)，相速度的表達(dá)式中不顯含 。如果介質(zhì)的介電常數(shù)以及磁導(dǎo)率不是頻率的函數(shù)，則相速度與頻率無(wú)關(guān)。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波4均勻平面電磁波的能量 對(duì)于各向同性理想介質(zhì)中的均勻平面電磁波，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的能量密度為 0000cos()cos()E

23、tEtH tHt k rk r00EH222e0011( )( )cos ()22w tE tEt k r222m002200e11( )( )cos ()221cos ()( )2wtH tHtEtw t k rk r21122ewEE D21122ewHB H均勻平面電磁波有電場(chǎng)、磁場(chǎng)的能量密度且第五章第五章 平面電磁波平面電磁波對(duì)于各向同性理想介質(zhì)中的均勻平面電磁波，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的能量密度即在理想介質(zhì)中，電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度時(shí)刻相等。電場(chǎng)、磁場(chǎng)的平均能量密度為 20avm20ave41)41Re(41)41Re(*HwEwHBDE2020avmaveav2121HEwww電磁場(chǎng)的總平

24、均能量密度為)(2cos1 21)(cos21)(21)(21)()(020022022merkrktEtEtHtEtwtw第五章第五章 平面電磁波平面電磁波均勻平面電磁波的平均能流密度為 根據(jù)平均能流密度和平均能量密度的關(guān)系，可得電磁能量傳播速度的大小2121Re21Re20avEkkeEeEHES*p2020avave12/2/vEEwSv第五章第五章 平面電磁波平面電磁波無(wú)界空間傳播均勻平面電磁波的特性 1 TEM波，場(chǎng)矢量 E 和 H 均與電磁波傳播方向垂直，且 E 與 H 相互垂直。2 波阻抗為實(shí)數(shù)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位， 且3 相速度4 電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度時(shí)刻相等，相速=能速=

25、群速。00EHp1vkj0ek rEE1kkHeEeEkk EeHeHj0ek rHH第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例 1 一均勻平面波傳播方向沿z軸，電場(chǎng)振動(dòng)方向沿x軸，寫(xiě)出電場(chǎng)磁場(chǎng)瞬時(shí)表達(dá)式和復(fù)數(shù)表達(dá)式，并畫(huà)出示意圖。 )cos(),(0EttrkErEj0( )ek rE rExxyyzzzzkkkkkeeee00000 xxyyzzxxEEEEEeeee0( , )cos()Ett H rHk rj0( )ek rH rH00000 xxyyzzyyHHHHHeeee分析：第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例 1 一均勻平面波傳播方向沿z軸，電場(chǎng)振動(dòng)方向沿x軸，寫(xiě)出電場(chǎng)磁場(chǎng)瞬時(shí)表達(dá)

26、式和復(fù)數(shù)表達(dá)式，并畫(huà)出示意圖。 y0( , )cos()zEttk zH re Hjyy( )ekzH re H解：zzk ekzzxyzzkxyzk zk reeeejxx( )ezk zE re Ex( , )cos()xzEttk zE re EkEHxyz第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例 5.3.1 理想介質(zhì)中均勻平面電磁波的頻率 f = 151018 Hz ，電場(chǎng)為試求 (1) 波的傳播方向； (2) 波長(zhǎng)、相速、理想介質(zhì)的介電常數(shù)（設(shè) = 0）； (3) 電場(chǎng)振幅中的常數(shù) Ey0 ； (4) 磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式； (5) 通過(guò)與電磁波傳播方向垂直的單位面積的平均功率。mVe )5(

27、103)425(4 j02zyxzyyxEeeeE 2j4( 524 )03 10 (5)exyzxyyzE Eeeej0( )ek rE rE分析：4( 524 )xyzk xk yk zxyzk r方向余弦2pkv00011prrcv 0k E1kkHeEeE20av*1Re()e22kESE(1)(2)(3)(4)(5)第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例 5.3.1 理想介質(zhì)中均勻平面電磁波的頻率 f = 151018 Hz ，電場(chǎng)為試求 (1) 波的傳播方向； (2) 波長(zhǎng)、相速、理想介質(zhì)的介電常數(shù)（設(shè) = 0）； (3) 電場(chǎng)振幅中的常數(shù) Ey0 ； (4) 磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式； (5

28、) 通過(guò)與電磁波傳播方向垂直的單位面積的平均功率。mVe )5(103)425(4 j02zyxzyyxEeeeE 解：(1) 2016454222zyxkkkk所以波矢量的三個(gè)方向余弦為 54cos,52cos,55coskkkkkkzyx(2) sm105 . 12m,1 . 028pkfkvk又因 ，所以 42p2rvcrp1cv第五章第五章 平面電磁波平面電磁波(3) 0)5425(103402yzzyyxxEEkEkEkEk2530yE所以mAe )211958(1e )5253()425(51601031)425(4 j)425(4 j2zyxzyxzyxzyxzyxkeeeeee

29、eeeEkH(4) 2322avmW1610693)425(4692103)211958()5253(2103)21Re(*kzyxzyxzyxeeeeeeeeeeES(5) 所以，通過(guò)與電磁波傳播方向垂直的單位面積的平均功率為 W16106933av SP第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.4 導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波 在導(dǎo)電介質(zhì)中，電場(chǎng)將引起傳導(dǎo)電流，這個(gè)傳導(dǎo)電流會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，從而導(dǎo)致電磁波能量不斷損耗。因此，導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波是一種衰減波。此外，損耗還導(dǎo)致波阻抗、相速、能量和能流都與理想介質(zhì)中的不同。 5.4.1 導(dǎo)電介質(zhì)中自由電荷的分布 設(shè)導(dǎo)電介質(zhì)中的電場(chǎng)為 E(r, t)，某區(qū)域內(nèi)存

30、在自由電荷分布 (r, t)。由麥克斯韋方程，有 1 E 在電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體內(nèi)將產(chǎn)生傳導(dǎo)電流。根據(jù)歐姆定律，有 )()(rErJ第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 歐姆定律兩邊取散度，設(shè)介質(zhì)均勻，即 、 皆為常數(shù)，利用 E 的散度表達(dá)式和電流連續(xù)性方程，有 t解此微分方程，可得 tte)(0 可見(jiàn)，均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中，電荷密度總隨時(shí)間指數(shù)衰減。因此，即使在均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中引入自由電荷，它將很快流散開(kāi)去，最終停留在介質(zhì)表面。故時(shí)變情形下，均勻?qū)щ娊橘|(zhì)內(nèi)部電荷密度為零。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.4.2 導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波 導(dǎo)電介質(zhì)中， = 0，J = E。麥克斯韋方程組為 EEHHEj

31、j00HEjc 則 H 的旋度表達(dá)式在形式上與理想介質(zhì)中的相應(yīng)方程完全一樣，即 EHcj 對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)，引入等效復(fù)介電常數(shù)(這里僅考慮導(dǎo)電損耗)： jj10 EHHJEEH第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.4.2 導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波 引入等效復(fù)介電常數(shù)后，導(dǎo)電介質(zhì)中場(chǎng)方程的復(fù)數(shù)形式 EEHHEjj00HEjcjjc EHHE00HE導(dǎo)電介質(zhì)中的亥姆霍茲方程與理想介質(zhì)中的亥姆霍茲方程形式也完全一樣：EHEEEj)0(022k220(0)jck HHHEH)j(ck第五章第五章 平面電磁波平面電磁波rkEEj0erkEeEeEHj0e1jkkk其中 jc方程的平面波解為 則)j(ck皆為復(fù)

32、數(shù)，性質(zhì)不同于理想介質(zhì)中傳播的電磁波。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 導(dǎo)電介質(zhì)中，平面電磁波的性質(zhì)：(1)振幅沿傳播方向指數(shù)衰減 對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)，k 是復(fù)矢量： kj 矢量 與 不一定同向。這里僅考慮它們同向的簡(jiǎn)單情況。設(shè)電磁波沿 z 方向傳播，即 k = ezk =ez( -j )，則 zzEEj0ee 可見(jiàn)，導(dǎo)電介質(zhì)中，電磁波的振幅沿傳播方向指數(shù)衰減。復(fù)波矢量的虛部描述波振幅的衰減，稱為衰減常數(shù)；實(shí)部描述波傳播的相位關(guān)系，稱為相位常數(shù)。第五章第五章 平面電磁波平面電磁波對(duì)式 取平方，并利用 ，可得)(jj2222比較上式兩邊的實(shí)部和虛部，有 21,222解得 1)(121)(12222

33、2 和 可如下求得：kj)j(k第五章第五章 平面電磁波平面電磁波2E 與 H 不同相 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)振幅的比值為 jj0j0eeeHEHE而復(fù)波阻抗的模和幅角分別為 1412tan21)(1 因?yàn)?0 ，故 0 /4?？梢?jiàn)，E 與 H 不同相，存在相差 E H = 。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 如果電磁波沿 z 方向傳播、E 沿 x 方向，則 E 和 H 的瞬時(shí)表達(dá)式分別為 )cos(e)()cos(e)(0000ztEtzztEtzzyzxe,He,E3相速度是頻率的函數(shù) 1 1)/(121dd2/12ptzv 可見(jiàn)，導(dǎo)電介質(zhì)中，vp 是 的函數(shù)，即不同頻率的電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中傳

34、播的相速不同，這一現(xiàn)象稱為色散。導(dǎo)電性不僅導(dǎo)致了相速的降低，還導(dǎo)致了色散。也就是說(shuō)，既使介質(zhì)參數(shù) 、 與頻率無(wú)關(guān)，導(dǎo)電介質(zhì)仍將發(fā)生色散。 可得，導(dǎo)電介質(zhì)中平面電磁波的相速度為 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波4磁場(chǎng)能量大于電場(chǎng)能量 導(dǎo)電介質(zhì)中，電場(chǎng)、磁場(chǎng)平均能量密度分別為 222022202mav2202ave)(1e41e4141e4141zzzEEHwEEw可見(jiàn)，磁場(chǎng)平均能量大于電場(chǎng)平均能量。 平均坡印廷矢量為 cose2121Re220avzkEeHES* 由于導(dǎo)電作用，Sav 從兩個(gè)方面被減弱了，一是由于場(chǎng)量振幅的衰減；二是由于 E 與 H 的相位不同。 第五章第五章 平面電磁波平面

35、電磁波 5.4.3 良導(dǎo)體 處于時(shí)變電磁場(chǎng)中的導(dǎo)電介質(zhì)，其內(nèi)部既存在傳導(dǎo)電流也存在位移電流。若導(dǎo)電介質(zhì)中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比較可以忽略，則稱其為良導(dǎo)體。 對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，位移電流 ，而傳導(dǎo)電流 J = E。良導(dǎo)體條件 表示為 EDJjdtJJ d1若 ，則為不良導(dǎo)體；11對(duì)于良導(dǎo)體，有 21)(121)(122222若100，為良導(dǎo)體；，則稱為電介質(zhì)。 若第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 設(shè)電磁波從表面 z = 0 進(jìn)入良導(dǎo)體，則在導(dǎo)體中深度為 z 處，電場(chǎng)為 zzzj0ee)( EE 電導(dǎo)率越大、頻率越高，電磁波進(jìn)入導(dǎo)體后衰減就越快。因此，高頻電磁波只能存在于良導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi)，這一現(xiàn)

36、象稱為集膚效應(yīng)。 ) j1 (2ee4jj即 4tan211,1412tan21)(1 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波 定義電磁波場(chǎng)強(qiáng)衰減為表面處的 1/e 時(shí)所透入的深度為穿透深度，用 表示，即 1e)0()(EE21所以 對(duì)于理想導(dǎo)體，其電導(dǎo)率 ，故 0，即電磁波不能進(jìn)入理想導(dǎo)體。 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波【例5.4.1】 一平面電磁波垂直向海里傳播。海水的電磁參數(shù)為 r = 80, r = 1， = 4 S/m。電磁波在緊切海平面(z = 0)處的電場(chǎng)為求：(1) 海水的損耗角正切，衰減常數(shù)，相位常數(shù)，波阻抗，相速，穿透深度； (2) 電場(chǎng)強(qiáng)度幅值減小為初值的十分之一時(shí)傳播

37、的距離； (3) 海平面下處電場(chǎng)和磁場(chǎng)的表達(dá)式，以及該處穿過(guò)單位面積的平均功率。)10cos(70tEE 90110/36F m720410N Atanjc第五章第五章 平面電磁波平面電磁波【例5.4.1】 一平面電磁波垂直向海里傳播。海水的電磁參數(shù)為 r = 80, r = 1， = 4 S/m。電磁波在緊切海平面(z = 0)處的電場(chǎng)為求：(1) 海水的損耗角正切，衰減常數(shù)，相位常數(shù)，波阻抗，相速，穿透深度； (2) 電場(chǎng)強(qiáng)度幅值減小為初值的十分之一時(shí)傳播的距離； (3) 海平面下處電場(chǎng)和磁場(chǎng)的表達(dá)式，以及該處穿過(guò)單位面積的平均功率。)10cos(70tEE 解：（1） 18080)103

38、61(104tan971，故該頻率下海水可以視為良導(dǎo)體，所以 m189. 82410410277)( jc 第五章第五章 平面電磁波平面電磁波m112. 089. 811m,707. 02sm1053. 389. 810ee410410e67p4j4j774vj（2）規(guī)定海平面下 z 0，則距海平面為 z 處的電場(chǎng)幅值為 E0e- z。由題意，令 e- z = 0.1，得 m259. 089. 8302. 210ln1z(3)在海平面下 z 處2220220av4jj0j0j0mWe424cose2)21Re(eeeeeeezzzzzzzzzzzzEEeHESEeEeH,EE*eWe42220

39、avzPES所以第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例例1.1.微波爐磁控管輸出微波爐磁控管輸出2.45GHz2.45GHz的微波，該頻率上牛排的的微波，該頻率上牛排的求：求：1.1.牛排的趨膚深度。牛排的趨膚深度。2.2.微波爐容器用發(fā)泡聚乙烯制作，其微波爐容器用發(fā)泡聚乙烯制作，其為何不會(huì)被燒毀。為何不會(huì)被燒毀。解：解：1040tan0.3201.034tan0.3 10tan0.322110.02081 ()12m 為不良導(dǎo)體為不良導(dǎo)體cj21442121462211tantan101010 =2.57 10熱損耗小，不會(huì)被燒毀熱損耗小，不會(huì)被燒毀第五章第五章 平面電磁波平面電磁波5.5 電

40、磁波的極化 無(wú)界空間中平面電磁波是橫波，因此有偏振現(xiàn)象。偏振也被稱為極化。極化方式用電場(chǎng)矢量 E 的端點(diǎn)在垂直于波線的固定平面內(nèi)的軌跡類型來(lái)表示：若 E 矢量端點(diǎn)軌跡是直線，稱為線極化；若軌跡是圓，稱為圓極化；若軌跡是橢圓，稱為橢圓極化。 設(shè)均勻平面電磁波沿 z 方向傳播，則 E 在 xy 平面內(nèi)，其復(fù)數(shù)表達(dá)式為 zkyyxxEEj00e)(eeE相應(yīng)的瞬時(shí)表達(dá)式為 )cos()cos(),(00yyyxxxkztEkztEtzeeE第五章第五章 平面電磁波平面電磁波)cos()()cos()(0000yyyxxxkztEtEkztEtE聯(lián)立上兩式，消去 t，得到矢量端點(diǎn)的軌跡方程： )(si

41、n)cos(2200202202yxyxyxyxyyxxEEEEEEEE 可見(jiàn)，矢量端點(diǎn)的軌跡取決于兩分振動(dòng)的相差 x-y 以及分振幅 Ex 和 Ey。1.線極化 若 Ex 、Ey 同相，即 x-y =0，則有 xxyyEEEE00I、 象限內(nèi)過(guò)原點(diǎn)的直線。 上式表明，在給定的平面 z = z0上，矢量端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其分振動(dòng)分別為： 222222cos()sin ()xyxyxyxyabab0bxay第五章第五章 平面電磁波平面電磁波2圓極化 若 x-y = /2 ，且 Ex0 = Ey0 = E0，有 2022EEEyx任意時(shí)刻，矢量與 x 軸的夾角 )(

42、)cos()sin(arctan)()(arctan000 xxxxykztkztkzttEtE可見(jiàn)，E 矢量端點(diǎn)的軌跡為圓，E 矢量的旋轉(zhuǎn)角速度 。“+”表示迎著傳播方向觀察，E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為右旋圓極化波；“-”表示 E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為左旋圓極化波。 tdd若 Ex 、Ey 反相，即 x-y = ，則有 xxyyEEEE00、象限內(nèi)過(guò)原點(diǎn)的直線。0bxay22xya第五章第五章 平面電磁波平面電磁波2圓極化 若 x-y = /2 ，且 Ex0 = Ey0 = E0，有 2022EEEyx任意時(shí)刻，矢量與 x 軸的夾角 )()cos()sin(arctan)()(arctan000 xx

43、xxykztkztkzttEtE可見(jiàn)，E 矢量端點(diǎn)的軌跡為圓，E 矢量的旋轉(zhuǎn)角速度 ?！?”表示迎著傳播方向觀察，E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為右旋圓極化波；“-”表示 E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為左旋圓極化波。 tdd22xyazxy O右旋圓極化波zxyO左旋圓極化波第五章第五章 平面電磁波平面電磁波3橢圓極化 對(duì)于 x 和 y 、 Ex 和 Ey 之間為其他關(guān)系的情況，由式(5-5-4)可知，矢量端點(diǎn)的軌跡一般為斜橢圓。特別地，當(dāng) x- y = /2時(shí)，有 1202202yyxxEEEE長(zhǎng)短軸與坐標(biāo)軸一致的正橢圓。 由上述討論可知，無(wú)論何種極化波，都可以由兩個(gè)極化方向相互垂直、具有恒定相差的線極化波疊加而成。 判斷旋向的簡(jiǎn)單方法：右手的四指從相位超前的分量以小于 的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向相位落后的分量，若拇指的指向與波的傳播方向一致，則為右旋，反之為左旋。 22221xyab第五章第五章 平面電磁波平面電磁波例5.5.1 判斷下列電磁波的極化形式：ykzxzkyxzkyxEEEj0j0j0e)j3()3(e)j2j()2(e)j() 1 (eeEeeEeeE解：(1) zkyxzkyxEEj2jj0j0e )ee(e )j(eeeeE 電磁波沿 z 方向傳播，且 Ex 、Ey 相等，x-y = /2，所以為右旋圓極化波。zkyxzkyxEEj2j2j0j0e )