17反比例函數(shù)總結(jié)

1、反比例函數(shù)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)l. 反比例函數(shù)的概念重點(diǎn)：掌握反比例函數(shù)的概念 難點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成或y=kx-1（k為常數(shù)，）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點(diǎn)：（1）k是常數(shù)，且k不為零；（2）中分母x的指數(shù)為1，如不是反比例函數(shù)。（3）自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù).（4）自變量y的取值范圍是一切實(shí)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)2. 反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)重點(diǎn)：掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì) 難點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限。它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、反比例函數(shù)

2、的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)要注意的問題：（1）畫反比例函數(shù)圖象的方法是描點(diǎn)法；（2）畫反比例函數(shù)圖象要注意自變量的取值范圍是，因此不能把兩個(gè)分支連接起來。（3）由于在反比例函數(shù)中，x和y的值都不能為0，所以畫出的雙曲線的兩個(gè)分支要分別體現(xiàn)出無限的接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不能達(dá)到x軸和y軸的變化趨勢。反比例函數(shù)的性質(zhì)的變形形式為（常數(shù)）所以：（1）其圖象的位置是：當(dāng)時(shí)，x、y同號(hào)，圖象在第一、三象限；當(dāng)時(shí)，x、y異號(hào)，圖象在第二、四象限。（2）若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（-m,-n）也在此圖象上，故反比例函數(shù)

3、的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（3）當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；知識(shí)點(diǎn)3. 反比例函數(shù)解析式的確定。重點(diǎn)：掌握反比例函數(shù)解析式的確定 難點(diǎn)：由條件來確定反比例函數(shù)解析式（1）反比例函數(shù)關(guān)系式的確定方法：待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)關(guān)系式中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)，因此只需給出一組x、y的對(duì)應(yīng)值或圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中即可求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式。（2）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：設(shè)所求的反比例函數(shù)為：（）； 根據(jù)已知條件，列出含k的方程；解出待定系數(shù)k的值； 把k值代入函數(shù)關(guān)系式中。知識(shí)點(diǎn)4

4、. 用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題反比例函數(shù)的應(yīng)用須注意以下幾點(diǎn)：反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。針對(duì)一系列相關(guān)數(shù)據(jù)探究函數(shù)自變量與因變量近似滿足的函數(shù)關(guān)系。列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)5.反比例函數(shù)綜合與一次函數(shù)的綜合與圖形的綜合反比例函數(shù)的應(yīng)用考查目標(biāo)一.反比例函數(shù)的基本題例1在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）。A、x0 B、x2 C、x2 D、x2例2反比例函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是。（2011江蘇揚(yáng)州，6,3分）某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,6），則下列各點(diǎn)中，此函數(shù)圖象也經(jīng)過的點(diǎn)是（ ） A. （-3

5、,2） B. （3,2） C. （2，3） D. （6,1）（2011廣東東莞，6，4分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，2）則 （2011山東濱州，18，4分）若點(diǎn)A(m，2)在反比例函數(shù)的圖像上，則當(dāng)函數(shù)值y2時(shí)，自變量x的取值范圍是_.9. （2011湖南常德，5，3分）如圖1所示的曲線是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一支，點(diǎn)A在此曲線上，則該反比例函數(shù)的解析式為_.y 1 O A x 3 圖1（2011上海，11，4分）如果反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，那么這個(gè)函數(shù)的解析式是_（2011湖南常德，3，3分）函數(shù)中自變量的取值范圍是_.考查目標(biāo)二. 反比例函數(shù)的圖象（2011湖

6、北黃石，3，3分）若雙曲線y=的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是A.k B. k C. k= D. 不存在已知反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)A(，)，B(，)，且，則的值是 （ ）A 、正數(shù) B、 負(fù)數(shù) C 、非正數(shù) D 、不能確定（2011江蘇淮安分）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-2).則當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是（ ）A.y1 B.0y1 C. y2 D.0 y2 10. （2011貴州貴陽，10，3分）如圖，反比例函數(shù)y1=和正比例函數(shù)y2=k2x 的圖象交于A（-1，-3）、B（1，3）兩點(diǎn)，若k2x，則x的取值范圍是（第10題圖） （A）-1x0 （B）-1x1（C）x

7、-1或0x1 （D）-1x0或x1 11. （2011廣東茂名，6，3分）若函數(shù)的圖象在其象限內(nèi)的值隨值的增大而增大，則的取值范圍是ABCD（2011山東濟(jì)寧，11，3分）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則m的取值范圍是 考查目標(biāo)三、反比例函數(shù)圖象的面積與k問題例1、反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖1所示，P為該圖象上任一點(diǎn)，PQx軸，設(shè)POQ的面積為S，則S與k之間的關(guān)系是（ ） A B CS=k DSk例2設(shè)P是函數(shù)在第一象限的圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，過P作PA平行于y軸，過P作PA平行于x軸，PA與PA交于A點(diǎn)，則的面積（ ）A 等于2 B等于4C等于8 D隨P

8、點(diǎn)的變化而變化（2011山東東營，10，3分）如圖,直線和雙曲線交于A、B亮點(diǎn),P是線段AB上的點(diǎn)（不與A、B重合）,過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設(shè)AOC面積是S1、BOD面積是S2、POE面積是S3、則（ ）（2011河北，12，3分）根據(jù)圖51所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象，過點(diǎn)M作PQx軸交圖象于點(diǎn)P,Q，連接OP,OQ.則以下結(jié)論x0時(shí)，OPQ的面積為定值，x0時(shí)，y隨x的增大而增大MQ=2PMPOQ可以等于90其中正確的結(jié)論是（ ）A B C D （2011四川南充市，14，3分）過反比例函數(shù)y=(k0)圖象上一點(diǎn)A，分別作x軸，y

9、軸的垂線，垂足分別為B,C，如果ABC的面積為3.則k的值為 .（2011湖北黃岡，4，3分）如圖：點(diǎn)A在雙曲線上，ABx軸于B，且AOB的面積SAOB=2，則k=_ABOxy第4題圖（2011湖北鄂州，4，3分）如圖：點(diǎn)A在雙曲線上，ABx軸于B，且AOB的面積SAOB=2，則k=_ABOxy第4題圖（2010湖北孝感，15，3分） 如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且ABx軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD的面積為矩形，則它的面積為 .考查目標(biāo)四.利用圖象，比較大小例1已知三點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，若，則下列式子正確的是（ ）A BCD考查目標(biāo)五.反比例函數(shù)經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函

10、數(shù)、圓等知識(shí)相聯(lián)系例1如圖，A、B是反比例函數(shù)y的圖象上的兩點(diǎn)。AC、BD都垂直于x軸，垂足分別為C、D。AB的延長線交x軸于點(diǎn)E。若C、D的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），則BDE的面積與ACE的面積的比值是（ ） B D（2011浙江杭州，6，3）如圖，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M(2，m)，N(-1，n)，若，則x的取值范圍是（ ）A BC D（2011湖南永州，7，3分）若點(diǎn)P1(1，m)，P2（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，則m_n(填“”、“”或“=”號(hào)）考察目標(biāo)五.反比例函數(shù)綜合（1）與一次函數(shù)綜合（2011湖北宜昌，15，3分）如圖，直線y=+2與雙曲線y=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)

11、，那么m的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ） 3、如圖，已知反比例函數(shù)y = 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，- 3），一次函數(shù)y = kx + b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C（0，- 4），且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B.試確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2011浙江省舟山，19，6分）如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（，），點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P在反比例函數(shù)（）的圖象上（1）求的值；（2）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）求反比例函數(shù)的解析式（第19題）xyOP2010 山東濟(jì)南）如圖,已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4. （1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交

12、雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（2011安徽，21，12分）如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（1）求函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）觀察圖象，比較當(dāng)時(shí)，與的大小.ABOCxy（2011山東菏澤，17（1），7分）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(，5)試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo) （2008貴州省黔南州，）如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點(diǎn)，軸于B

13、，軸于D，且矩形ABOD的面積為3yDxCOBA（1）求兩函數(shù)的解析式（5分）（2）求兩函數(shù)的交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)（3分）（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（4分）（2008山東省聊城市）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）求這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）在給定的直角坐標(biāo)系（如圖）中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象；（3）當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？O123456654321-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6xy（2011浙江省嘉興，19，8分）如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（，），點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P在反比例函數(shù)（）的圖

14、象上（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求反比例函數(shù)的解析式，并直接寫出當(dāng)y20）的圖象交于點(diǎn)P，PAx軸于點(diǎn)A，PBy軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，且SDBP=27，。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（3）根據(jù)圖象寫出當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？xyAOPBCD（2011四川內(nèi)江，21，10分）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A、B點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，n），BDx軸于點(diǎn)D，且SBDO=4。過點(diǎn)A的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)E（5，0）。（1）求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合圖像，

15、求出當(dāng)時(shí)x的取值范圍。（2011四川綿陽，21，12）右圖中曲線是反比例函數(shù)y=的圖像的一支。（1）這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)n的取值范圍是什么？（2）若一次函數(shù)y=的圖像與反比例函數(shù)圖像交于點(diǎn)A，與x交于B，AOB的面積為2，求n的值。（2011廣東肇慶，23，8分）如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（，0），且與反比例函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象在第一象限交于點(diǎn)（1，）求：（1）一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的取值范圍yOABx（2011湖北襄陽，18，5分）已知直線與雙曲線交于點(diǎn)P（1，n）.（1）求m的值；（2）若點(diǎn)，在雙曲線上，且，試比較，的大小.

16、（2011重慶市潼南,23,10分）如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)(k0)的圖象與反比例函數(shù)(m0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)求：（1）根據(jù)圖象寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)并分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值.（2011湖南湘潭市，23，8分）（本題滿分8分）如圖，已知一次函數(shù)的圖像與軸，軸分別交于A（1，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，且又與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于C點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2. 求一次函數(shù)的解析式； 求C點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式.COAB（2010 河北）如圖13，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A

17、，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）過點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若反比例函數(shù)（x0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；（3）若反比例函數(shù)（x0）的圖象與MNB有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍（2） 與圖形的綜合（2011山東濟(jì)寧，20，7分）如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在軸上求一點(diǎn)，使最小

18、. (第20題）). （2011浙江義烏，22，10分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 已知反比例函數(shù)y= （k0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，m)，過點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B，且AOB的面積為 .（1）求k和m的值；（2）點(diǎn)C（x，y）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，求當(dāng)1x3時(shí)函數(shù)值y的取值范圍；（3）過原點(diǎn)O的直線l與反比例函數(shù)y= 的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，試根據(jù)圖象直接寫出線段PQ長度的最小值. BOA（2011四川成都，19,10分） 如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，8），直線經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q(4，) (1)求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式； (2)設(shè)該直線與軸、軸分別相交于A

19、 、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連結(jié)0P、OQ，求OPQ的面積(2010江蘇蘇州) 如圖1，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數(shù)(x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(1)求k的值； (2)將正方形OABC分別沿直線AB、BC翻折，得到正方形MABC、MABC設(shè)線段MC、NA分別與函數(shù)(x0)的圖象交于點(diǎn)E、F，求線段EF所在直線的解析式（2010河南）如圖，直線y=x+6與反比例函數(shù)y=等(x0)的圖象交于A(1,6)，B(a,3)兩點(diǎn). （1）求、的值； (2)直接寫出x +6一 0時(shí)的取值范圍； (3)如圖，等腰梯形OBCD中，BCOD,OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CEOD于E，

20、CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P.當(dāng)梯形OBCD的面積為l2時(shí)，請(qǐng)判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由.（3） 與實(shí)際應(yīng)用（2010浙江嘉興）一輛汽車勻速通過某段公路，所需時(shí)間t（h）與行駛速度v（km/h）滿足函數(shù)關(guān)系：，其圖象為如圖所示的一段曲線，且端點(diǎn)為和（1）求k和m的值；（2）若行駛速度不得超過60（km/h）（第6題），則汽車通過該路段最少需要多少時(shí)間？某汽車的功率P為一定值，汽車行駛時(shí)的速度v（米秒）與它所受的牽引力F（牛）之間的函數(shù)關(guān)系如右圖所示： （1）這輛汽車的功率是多少？請(qǐng)寫出這一函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)它所受牽引力為1200牛時(shí)，汽車的速度為多少千米時(shí)？（3）如果限定汽車的

21、速度不超過30米秒，則F在什么范圍內(nèi)？4、近年來，我國煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4 mg/L，此后濃度呈直線型增加，在第7小時(shí)達(dá)到最高值46 mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降.如圖11，根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問題：（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34 mg/L時(shí)，井下3 km的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4 mg/L及以下時(shí)，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井?（2011郴州）用洗衣粉洗衣物時(shí)，漂洗的次數(shù)與衣物中洗衣粉的殘留量近似地滿足反比例函數(shù)關(guān)系寄宿生小紅、小敏晚飯后用同一種洗衣粉各自洗一件同樣的衣服，漂洗時(shí)，小紅每次用一盆水（約10升），小敏每次用半盆水（約5升），如果她們都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小紅的衣服中殘留的洗衣粉還有1.5克，小敏