勾股定理競(jìng)賽培訓(xùn)題(含答案)

1、勾股定理競(jìng)賽培訓(xùn)題1、如圖1，ABC和CDE都是等腰直角三角形，C=90°，將CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（0°90°），使點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AD，BE（1）依題意補(bǔ)全圖2；求證：AD=BE，且ADBE；作CMDE，垂足為M，請(qǐng)用等式表示出線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖3，正方形ABCD邊長(zhǎng)為，若點(diǎn)P滿足PD=1，且BPD=90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離2、（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，當(dāng)DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，易證BCEACD則BEC°；線段AD、BE之間的數(shù)量

2、關(guān)系是（2）拓展研究：如圖2，ACB和DCE均為等腰三角形，且ACBDCE90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AE15，DE7，求AB的長(zhǎng)度（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APC150°，且APD30°，AP5，CP4，DP8，求BD的長(zhǎng) 3、如圖1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）試說(shuō)明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC=10cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），若

3、DMN的邊與BC平行，求t的值；若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由4、已知，ABC中，AC=BC，ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，若E在直線AC上任意一點(diǎn)，DFDE，交直線BC于F點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H（1）若E在邊AC上試說(shuō)明DE=DF；試說(shuō)明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5求邊AC的長(zhǎng)5、如圖，在矩形ABCD中，AB5，AD，AEBD，垂足是E.點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)AF，BF.(1)求AE和BE的長(zhǎng)(2)若將ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方

4、向所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度)當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB，AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值(3)如圖，將ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角(0°180°)，記旋轉(zhuǎn)中的ABF為ABF，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)AF所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P，Q兩點(diǎn)，使DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案1、【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特性畫(huà)出圖象；由ACD、BCE均與DCB互余可得出ACD=BCE，由ABC和CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，結(jié)合全等三角形的判定定理SAS即可得出ADCBEC，從而得出AD=BE，再由BCE=AD

5、C=135°，CED=45°即可得出AEB=90°，即證出ADBE；依照題意畫(huà)出圖形，根據(jù)組合圖形的面積為兩個(gè)三角形的面積和可用AE，BE去表示CM；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，比照（1）的結(jié)論，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）依照題意補(bǔ)全圖2，如下圖（一）所示證明：ACD+DCB=ACB=90°，BCE+DCB=DCE=90°，ACD=BCEABC和CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC在ADC和BEC中，有，ADCBEC（SAS），AD=BE，BEC=ADC點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CDE是等腰直角三角形，CDE=CED=45&

6、#176;，ADC=180°CDE=135°，AEB=BECCED=135°45°=90°，ADBE依照題意畫(huà)出圖形，如圖（二）所示SABC+SEBC=SCAE+SEAB，即ACBC+BECM=AE（CM+BE），AC2AEBE=CM（AEBE）CDE為等腰直角三角形，DE=2CM，AEBE=2CM（2）依照題意畫(huà)出圖形（三）其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP=3結(jié)合（1）的結(jié)論可知：AM=1故點(diǎn)A到BP的距離為1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式、角的計(jì)算以及勾股定理，解題的關(guān)鍵：（1）結(jié)

7、合題意畫(huà)出圖形；找出ADCBEC；利用分割法求組合圖形的面積；（2）利用類比法借助（1）的算式求出結(jié)論本題屬于中檔題，（1）難度不大；難度不小，此處用到了分割組合圖形求面積來(lái)找等式，該小問(wèn)處切記線段AC當(dāng)成已知量；（2）利用類比的方法套入（1）的算式即可解決該題型題目時(shí)，畫(huà)出圖形，注意數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵2、解：（1）120°2分，ADBE4分（2）（3）如下圖所示由（2）知BECAPC，BE=AP5，BEC=APC150°，APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，APD=30°，EPC=60°，BED=BEC-PEC=90°，DPC

8、120°又DPEDPCEPC120°60°180°，即D、P、E在同一條直線上DE=DP+PE=8+4=12，BE=5，                        BD的長(zhǎng)為133、【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，根據(jù)勾股定理求出AC根據(jù)等腰三角形的判定定理解答；（2）根據(jù)三

9、角形的面積公式求出三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；（3）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答【解答】解：（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，在RtACD中，AC=5x，又AB=5x，AB=AC，ABC是等腰三角形；（2）SABC=×5x×4x=10cm2，解得，x=1cm，則BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，當(dāng)MNBC時(shí)，AM=AN，即5t=t，t=2.5，當(dāng)DNBC時(shí)，AD=AN，則t=3，故若DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為2.5或3當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0t2時(shí)，MDE為鈍角三角形，但DMDE

10、，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2t5時(shí)，MDE為等腰三角形，有3種可能如果DE=DM，則t2=2.5，t=4.5，如果ED=EM，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，t=5，如果MD=ME=t2，則（t2）2（t3.5）2=22，t=，綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握等腰三角形的判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵4、【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理【分析】（1）連接CD，推出CD=AD，CDF=ADE，A=DCB，證ADECDF即可；連接DG，根據(jù)直

11、角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出GCD=GDC，推出GDH=GHD，推出DG=GH即可；（2）求出EF=5，根據(jù)勾股定理求出EC，即可得出答案【解答】解：（1）連接CD，ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AC=BC，CD=AD=BD，又AC=BC，CDAB，EDA+EDC=90°，DCF=DAE=45°，DFDE，EDF=EDC+CDF=90°，ADE=CDF，在ADE和CDF中ADECDF，DE=DF連接DG，ACB=90°，G為EF的中點(diǎn)，CG=EG=FG，EDF=90°，G為EF的中點(diǎn)，DG=EG=FG，CG=D

12、G，GCD=CDG又CDAB，CDH=90°，GHD+GCD=90°，HDG+GDC=90°，GHD=HDG，GH=GD，CG=GH（2）如圖，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，CG=GH=EG=GF，CH=EF=5，ADECDF，AE=CF=3，在RtECF中，由勾股定理得：，AC=AE+EC=3+4=7；如圖，當(dāng)E在線段CA延長(zhǎng)線時(shí)，AC=ECAE=43=1，綜合上述AC=7或15、解：(1)在RtABD中，AB5，AD，由勾股定理，得BD. SABDBD·AEAB·AD，AE4.  在RtABE中，AB5，AE4，由勾股定理，得BE3. &#

13、160;(第27題圖解)(2)設(shè)平移中的三角形為ABF，如解圖所示由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知，12.由平移性質(zhì)可知，ABAB，451，BFBF3.當(dāng)點(diǎn)F落在AB上時(shí)，ABAB，34，312，BBBF3，即m3；當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，ABAB，62.12，51，56.又易知ABAD，BFD為等腰三角形，BDBF3，BBBDBD3，即m.m3或（對(duì)一個(gè)得2分） (3)存在理由如下：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰DPQ依次有以下4種情形：如解圖所示，點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線上，且PDDQ，易知22Q.(第27題圖解)13Q，12，3Q AQAB5，F(xiàn)QFAAQ459.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ3.(第27題圖解)DQBQBD3.如解圖所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQDQ，易知2P.12，1P，BAPD，則此時(shí)點(diǎn)A落在BC邊上32，31，BQAQ，F(xiàn)QFAAQ4BQ.在RtBQF中，由勾股定理，得BF2FQ2BQ2，即32(4BQ)2BQ2，解得BQ.DQBDBQ.如解圖所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PDDQ，易知34.(第27題圖解)234180°，34，49