勾股定理競賽試卷(含解答)

1、八年級數(shù)學(xué)勾股定理競賽試卷（時間：120分鐘，總分：120分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1、ABC周長是24，M是AB的中點(diǎn)MC=MA=5，則ABC的面積是（ ）A12; B16; C24; D302、如圖，在正方形ABCD中，N是CD的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMB=MBC，則AM：AB=（ ）A; B; C; D第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖3、如圖，已知O是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的長為（）A.2; B.2; C.2; D.34、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=PB=10，并且P點(diǎn)到CD邊的距離也等于10，那么，正方形AB

2、CD的面積是（ ）A200; B225; C256; D150+105、如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M，使得BM+MN的值最小，這個最小值為（ ）A12; B10; C16; D20 二、填空題（每小題5分，共25分） 第（5）題圖6、如圖，ABC中，AB=AC=2，BC邊上有10個不同的點(diǎn)，記（i = 1，2，10），那么， =_。第（6）題圖 7、 如圖，設(shè)MPN=20°，A為OM上一點(diǎn)，OA=4，D為ON上一點(diǎn)，OD=8，C為AM上任一點(diǎn)，B是OD上任意一點(diǎn)，那么折線ABCD的長最小為_。 第（7）題圖 第（8）題圖8、如圖，四邊形

3、ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面積=_。9、若x + y = 12，那么的最小值=_。10、已知一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個三角形的三邊長分別為_。三、解答題（共70分）11、（本題10分）如圖ABC三邊長分別是BC=17，CA=18，AB=19，過ABC內(nèi)的點(diǎn)P向ABC三邊分別作垂線PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的長度。12、（本題15分）如圖，在ABC中，AB=2，AC=， A=BCD=45°，求BC的長及BDC的面積。13、（本題15分）設(shè)a,b,c,d都

4、是正數(shù)。求證：14、（本題15分）如圖，四邊形ABCD中， ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5-，CD=6，求AD。15、（本題15分）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長。答案一、選擇題1C2A3B4C5C解答：1MA=MB=MC=5， ACB=90°知周長是24，則AC+BC=14，AC+BC=10，2AC·BC=(AC+BC)-(AC+BC) = 14-10=4×242如圖，延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的中點(diǎn)為O，連TO，則BAMTOBAM：MB=OB：BTMB=2

5、AM·BT （1）令DN=1，CT=MD=k，則AM=2 k 所以BM=BT= 2 + k代入（1），得4 + (2 k )= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 所以AM：AB=：2 = 3如圖，過O作EFAD于E，交BC于F；過O作GHDC于G，交AB于H設(shè)CF=x，F(xiàn)B = y, AH = s, HB = x, 所以O(shè)G=x, DG = s所以O(shè)F=OB- BF=OC-CF 即4- x= 3- y所以x- y= 16 9 =7 （1）同理有OH=1- s= 3- t所以t- s= 3- 1= 8 （2）又因為OH+HB=OB 即y+ t= 9（1）-（2）得(x+

6、s) (y+ t) = 1所以O(shè)D=x+ s= (y+ t) 1 = 9 1 = 8所以O(shè)D=24如圖，過P作EFAB于E，交CD于F，則PFCD所以PF=PA=PB=10，E為AB中點(diǎn)設(shè)PE = x，則AB=AD=10 + x所以AE=AB=(10 + x)在RtPAE中，PA=PE+AE所以10= x+ (10 + x ) 所以x = 6所以正方形ABCD面積=AB=(10 + 6) = 2565如圖，作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，連A B，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N在A B上，這時，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到A B的距離BH，連B與A B和DC的交點(diǎn)P，則=×20&

7、#215;10=100，由對稱知識，PAC=BAC=PCA所以PA=PC， 令PA=x，則PC=x，PD=20 x，在RtADP中，PA=PD+AD所以 x = (20 x ) + 10 所以 x = 12.5因為=PA·BH所以BH=二、填空題140；212；3；413；56，8，10或5，12，13解答：1如圖，作ADBC于D，在RtABD和RtAPD中，AB=AD+BD所以 所以 所以所以1 如圖，作A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A，D關(guān)于OM的對稱點(diǎn)D， 連結(jié)AB，CD，則AB=AB，CD=CD，從而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因為AON=MON=MOD=20°，所以

8、AOD=60°又因為OA=OA=4，OD=OD=8，所以O(shè)D=2OA即ODA為直角三角形，且OAD=90°所以AD=所以，折線ABCD的長的最小值是123如圖，作PMAB于M，PNBC于N，設(shè)AB = m, PM = x, PN = y，則由（2）、（3）分別得， （3） （4）將（1）代入（4）得將（1）代入（5）得把x,y的表達(dá)式分別代入（1）得因為m>0 所以m=5+2所以 AB=所以4如圖，AB=12，AC=2，BD=3，且ABAC，ABBD，P在AB上且PA=x，PB=y，連PC，PD，在RtCAP和RtDBP中如圖，P點(diǎn)在位置時，PC+PD的值最小，為線段

9、CD的長度，而CD=所以的最小值為13。5設(shè)三邊長為a,b,c，其中c是斜邊，則有（2）代入（1）得 即因為ab0 所以ab 4a 4b + 8 = 0所以(a,b為正整數(shù))所以b 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三邊長為6，8，10或5，12，13三、解答題1如圖,連結(jié)PA,PB，PC，設(shè)BD=x，CE=y，AF=z，則DC=17-x，EA=18 y，F(xiàn)B = 19 z在RtPBD和RtPFB中，有同理有：將以上三式相加，得即17x + 18y + 19z = 487又因為x + y + z = 27，所以

10、x = z 1,所以BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 182如圖，作CEAB于E，則CE=AE=所以BE=AB-AE=2 - 又所以BC=再過D作DFBC，交CB延長線于F，并設(shè)DF=CF=x，則BF= x BC = x + 1 - 又RtDFBRtCEB，所以DF：BF=CE：BE，即x：(x + 1 - ) = 所以x = 所以2 如圖，構(gòu)造一個邊長為(a + b)、(c + d)的矩形ABCD，在RtABE中，BE=所以BE=在RtBCF中，BF=在R tDEF中，EF=在BEF中，BE+EF>BF即3 如圖，過A作AEBC交CD于E，則1=45°，2=60°，過B作BFAE于F，作CGAE于G，則RtABF為等腰直角三角形，BCFG為矩形，又因為AB=，BC=5-，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4過D作DMAE延長線于MMED=180°-AED=180°-BCD=180°-120°=60°所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=5如圖，以