2224一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系H

1、 數(shù)學就是這樣一種東西：她要求我數(shù)學就是這樣一種東西：她要求我們扎扎實實地學習，勤勤懇懇地探索。們扎扎實實地學習，勤勤懇懇地探索。她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發(fā)她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命；她喚起心神，澄清智現(xiàn)的真理以生命；她喚起心神，澄清智能；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡能；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知；并賜予你我們有生以來的蒙昧與無知；并賜予你能力去解決你遇到的問題。能力去解決你遇到的問題。22.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？一元二次方程

2、的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42沒有實數(shù)根兩個相等的實數(shù)根兩個不相等的實數(shù)根000) 04(2422acbaacbbx填寫下表：填寫下表：方程方程兩個根兩個根兩根之兩根之和和兩根之兩根之積積0432xx0652xx01322 xx2x1x21xx 12xxabac41343423565621123212321Pq2121212+ =0+=_=_.xpx qxxxxxx如果一元二次方程的兩個根是 、 ，則有，12:_(1).xx以 、 為兩個根的一元二次方程可以寫成二次項系數(shù)為2121 2( + )0 xx x

3、xx x2121212+ =0(a0)+=_=_.xbx cxxxxxx如果一元二次方程a的兩個根是 、 ，則有，aca2222+ =0(a0)4422xbx cbbacbbacxxaa 由求根公式得，一元二次方程a的兩根為，2212+44+ =+22bbacbbacx xaa 2=2ba=ba2212+44=22 bbacbbacxxaa2222()(4)=4bbaca24=4aca=caaacbbacbb2442222244aacbb21212120(0)+=.axbxcaxxbcxxxxaa， 如果一元二次方程的兩個根分別是 和 則有，小結(jié)小結(jié)： 這這就是一元二次方程就是一元二次方程根與

4、系根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)的關(guān)系，也叫也叫韋達定理韋達定理.前提條件前提條件b24ac0韋達（法國數(shù)學家）韋達（法國數(shù)學家）韋達簡介：韋達，韋達簡介：韋達，15401540年生于法國的年生于法國的普瓦圖，普瓦圖，16031603年年1212月月1313日卒于巴黎。日卒于巴黎。年青時學習法律當過律師，后從事政年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知

5、數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，所以人們把敘述一元數(shù)之間的關(guān)系，所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理韋達定理”。韋達是法國十六世紀。韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一，在歐洲被尊最有影響的數(shù)學家之一，在歐洲被尊稱為稱為“代數(shù)學之父代數(shù)學之父”。1、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，說出下列各方程的兩根、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：之和與兩根之積：(1) x2

6、 - 2x - 1=0（3）2x2 - 6x =0（4)4) 3x2 = 4(2）2x2 - 3x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=0 x1+x2=23x1x2=41x1x24=30122 xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx_21xx_21xx02 qpxx21213126.以以2和和3為根的一元二次方程是為根的一元二次方程是_.5.已知兩個數(shù)的和是已知兩個數(shù)的和是7,積是積是12，則這兩個數(shù)，則這兩個數(shù)是是_.和2+6=0 xx例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個的一個根是根是2 ,求它的另一個根及

7、求它的另一個根及k的值的值.解法一：設(shè)方程的另一個根為解法一：設(shè)方程的另一個根為x1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1 2= k+12x1 = 3k解這個方程組，得解這個方程組，得x1 =3 k =2答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.解法二：設(shè)方程的另一個根為解法二：設(shè)方程的另一個根為x1.把把x=2代入方程，得代入方程，得 42(k+1)+3k=0解這方程，得解這方程，得 k=2由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x13k即即2x16 x13答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.212222212122112122

8、11122241 011(1)+ (2)+ (3)+ (4)( +1)( +1)(5)+ (6)xxxxxxx xx xxxxxxxxxxx 例 、已知 、 是一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：12121+=2=.2xxxx解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：，222212121212+=+22xxxxx xx x212122 =( +)21 =22 ()=52xxx x12121211(2)+=+xxxxx x2212121212 (6)= () = ( +)xxxxxxx x42212211212(3)+=( +)x xx xx x xx121212+1)(+1)=+ +4

9、)1(+(xxx xxx2221211212(5)+=+xxxxxxx x1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一個根是的一個根是1，求它的，求它的另一個根及另一個根及m的值的值.3、設(shè)、設(shè)x1,x2是方程是方程2x24x3=0的兩個根，求的兩個根，求 (x1x2)2 x13x2x1x23 的值的值.m= 3，x= 16 2、若關(guān)于、若關(guān)于x的方程的方程x2kx60的一個根是的一個根是2，求它的另一個根及求它的另一個根及k的值的值. 4.4.方程方程 的兩根互為倒數(shù)，的兩根互為倒數(shù)，求求k的值的值.01232kkxx1kk=1，x = 3 21212 =( +)4=10 xxx x212

10、1212=( +)2=14x xxxx x24 (m+1) +=0、已知關(guān)于 的方程1xxx m若兩根和為若兩根和為3，則，則m=_.若兩根互為相反數(shù)，則若兩根互為相反數(shù)，則m=_.若兩根互為倒數(shù)，則若兩根互為倒數(shù)，則m=_.若兩根積為若兩根積為0，則，則m=_.21325.5.已知方程已知方程 的兩根的兩根為為 、 ， 且滿足且滿足 ，求，求k的值的值.02) 12(2kxkkx1x2x32221 xx2.2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時, ,特特別注意別注意: :把方程化成一般形式把方程化成一般形式. . 1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+

11、 +bx+c=0(a0)bx+c=0(a0)根與系根與系 數(shù)的關(guān)系數(shù)的關(guān)系2240bac（ ）（1 1）若兩根互為相反數(shù)）若兩根互為相反數(shù), ,則則b 0;（2 2）若兩根互為倒數(shù)）若兩根互為倒數(shù), ,則則a c;（3 3）若一根為）若一根為0, ,則則c 0 ; ;（4 4）若一根為）若一根為1,1,則則a b c 0 ; ;（5 5）若一根為）若一根為 1, ,則則a b c 0;（6 6）若）若a、c異號異號, ,方程一定有兩個實數(shù)根方程一定有兩個實數(shù)根. .拓展：拓展：一元二次方程一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0，0)解解: :設(shè)方程的兩實數(shù)根為設(shè)方程的兩實數(shù)根為x1、x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得則由根與系數(shù)的關(guān)系得 x x1 1+x+x2 2=m=m 1 1，x x1 1x x2 2 =2m=2m 1 1， (m(m 1)1)2 2 4(2m4(2m 1)1) m m2 2 6m6m 5 5兩根互為相反數(shù)兩根互為相反數(shù) x x1 1+x+x2 2= =0,即即m10, m1,當m1時m m2 2 6m6m 5=125=120 m1時時, ,方程的兩根互為相反數(shù)方程的兩根互為相反數(shù).