221直線的參數(shù)方程

1、2.2.1直線的參數(shù)方程(1)主備：馮宗明 喻浩 徐洪燕 審核：牟必繼有計(jì)劃就去做，不要總找借口一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：知識(shí)與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義 過(guò)程與方法過(guò)程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫(xiě)出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義情感、態(tài)度與價(jià)值觀情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。 二重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)二重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程. 三、教學(xué)方法：三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).（1）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

2、標(biāo)x 、y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即的函數(shù)，即并且對(duì)于并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由上述方程組所確定的的每一個(gè)允許值，由上述方程組所確定的點(diǎn)點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程 ，聯(lián)系，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)之間關(guān)系的變數(shù)叫做叫做參變數(shù)參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯意義的物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯意義的變數(shù)。變數(shù)。( )( )xf tyg t（2） 相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)

3、說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程普通方程。1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧注意：注意：(1)、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。(2)、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在x與與y直接關(guān)系很難或不可直接關(guān)系很難或不可能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。(3)同一曲線選取參數(shù)不同同一曲

4、線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣;(4)在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍.2、求曲線的參數(shù)方程一般步驟、求曲線的參數(shù)方程一般步驟: （1）建立直角坐標(biāo)系）建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)曲線上任一點(diǎn)設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為 (x,y) ；（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)t;（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義物理意義, 建立點(diǎn)建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程;請(qǐng)同學(xué)們回憶:我們學(xué)過(guò)的直線的普通方程

5、都有哪些?兩點(diǎn)式:112121yyxxyyxx點(diǎn)斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？4、向量的數(shù)量是怎樣的？、向量的數(shù)量是怎樣的？2、直線的參數(shù)方程有許多形式，但我們主要學(xué)習(xí)、直線的參數(shù)方程有許多形式，但我們主要學(xué)習(xí)其中的兩種基本的形式：其中的兩種基本的形式：二、新課講解：二、新課講解：1、引出問(wèn)題引出問(wèn)題:直線的參數(shù)方程是怎樣的？今天我們直線的參數(shù)方程是怎樣的？今天我們來(lái)研究來(lái)研究直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程，t （1 1）一條直線）一條直線L L的傾斜角是的傾斜角

6、是30300 0，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），如何描述直線），如何描述直線L上任意點(diǎn)的位置呢？上任意點(diǎn)的位置呢？3 3、教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：、教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：OxylP00 x=2+tcos30y=3+tsin30所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)為參數(shù))M(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點(diǎn)一點(diǎn).其中其中參數(shù)參數(shù)t的幾何意義的幾何意義是是叢點(diǎn)叢點(diǎn)P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM=t的數(shù)量表示。的數(shù)量表示。 M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)QPM=t 3 3、教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：、

7、教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直線那么又如何描述直線L上任意點(diǎn)的位置呢？上任意點(diǎn)的位置呢？OxylPQ1+4x=1+1+3y=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點(diǎn)的幾何意義是點(diǎn)M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比。的數(shù)量比。t( 為參數(shù)為參數(shù)) M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)BNAQMQM= =，MPMP令令0(1)(2)leeMM如何利用傾斜角寫(xiě)出直線 的單位方向向量 ？如何用 和的坐標(biāo)表示直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)？)sin,(cos)1(

8、e),(),(),()2(00000yyxxyxyxMM eMM/0又又etMMRt 0，使使得得存存在在惟惟一一實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：23t注:(1)直線的參數(shù)方程中哪些是變量？哪些是常量？ （ ）參數(shù) 的取值范圍是什么？ （ ）該參數(shù)方程形式上有什么特點(diǎn)？00000.tttMMM MetM MetMMt 直線的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義是：表示參數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離。當(dāng)與 同向時(shí)， 取正數(shù)；當(dāng)與 異向時(shí)， 取負(fù)數(shù)；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，也即是從點(diǎn)也即是從點(diǎn)P到到M的位移，可以用有向線段的位移，可以用有向線段PM的的數(shù)量表示。數(shù)量表示。抽象概括一般的

9、直線的參數(shù)方程：抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點(diǎn)的幾何意義是點(diǎn)M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)QMMP o當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，M M為內(nèi)分點(diǎn)；為內(nèi)分點(diǎn)； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M M與與Q Q重合。重合。o1o 當(dāng)當(dāng) 且且 時(shí)，時(shí)，M M為外分點(diǎn)；為外分點(diǎn)；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 t (1)(1)一條直線一條直線L L的傾斜角是的傾斜

10、角是 ,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylP00 x=x +tcosy=y +tsin所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)為參數(shù))M(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點(diǎn)一點(diǎn).其中參數(shù)其中參數(shù)t的幾何意義是的幾何意義是叢點(diǎn)叢點(diǎn)P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM的數(shù)量表示。的數(shù)量表示。4 4、抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：、抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為

11、：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點(diǎn)的幾何意義是點(diǎn)M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)QMMP o當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，M M為內(nèi)分點(diǎn)；為內(nèi)分點(diǎn)； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M M與與Q Q重合。重合。o1o 當(dāng)當(dāng) 且且 時(shí)，時(shí)，M M為外分點(diǎn)；為外分點(diǎn)；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 即即，QMMP ” 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M在線段在線段QP上時(shí)上時(shí),取取“+”;當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)M在線段在線段QP的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),取取“-”號(hào)。號(hào)。 三、例題講解三、例題講解。的的一一個(gè)個(gè)參

12、參數(shù)數(shù)方方程程是是）直直線線（）為為參參數(shù)數(shù)）的的傾傾斜斜角角是是（）直直線線（012160.110.70.20.20cos20sin31000000 yxDCBAttytx練習(xí)：練習(xí)：B為為參參數(shù)數(shù)）（ttytx 222213、P32 練習(xí)練習(xí)1,2,3 如果在學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程之前,你會(huì)怎樣求解本題呢？(*)010122 xxxyyx得：得：解：由解：由112121 xxxx，由韋達(dá)定理得：由韋達(dá)定理得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解得：解得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐標(biāo)坐標(biāo)記直線與拋物線的交點(diǎn)記

13、直線與拋物線的交點(diǎn)2222)2532()2511()2532()2511( MBMA則則245353 的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？）如何寫(xiě)出直線）如何寫(xiě)出直線（l1?221ttBA，所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)，）如如何何求求出出交交點(diǎn)點(diǎn)（有有什什么么關(guān)關(guān)系系？，與與、）（213ttMBMAAB 21211ttMM ）（2221ttt ）（2 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)0cos1.(sinttyytaA012x=x直線為參數(shù)）上有參數(shù)分別為t 和t 對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn) 和B,則A,B兩點(diǎn)的距離為2t1A.t12.B tt12.C tt12.D tt22cos2(4sin,xa ttbacyb tt 2。在參數(shù)方

14、程為參數(shù)）所表示的曲線上有B,C兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t、 則線段BC的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是（ ）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12|.2ttD1123.(3520,xttyt 一條直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），另一條直線的方程是x-y-2 3則兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)（1，-5）間的距離是4 3124:44022043120lxylxylxy。求直線與 ：及直線：所得兩交點(diǎn)間的距離。9 1714 四、課堂小結(jié)四、課堂小結(jié)知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)：學(xué)習(xí)后要把握以下幾個(gè)學(xué)習(xí)后要把握以下幾個(gè)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的參數(shù)方程的推導(dǎo)直線的參數(shù)方程的推導(dǎo)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了

15、的聯(lián)系；的聯(lián)系；通方程通方程）直線的參數(shù)方程與普）直線的參數(shù)方程與普（)(tan100 xxyy 量量知知識(shí)識(shí)的的聯(lián)聯(lián)系系；）直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程與與向向（2的的幾幾何何意意義義；）參參數(shù)數(shù)（t3.4tt長(zhǎng)長(zhǎng)，與與中中點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)線線被被曲曲線線所所截截得得的的弦弦的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離、直直表表示示點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)、直直線線上上）應(yīng)應(yīng)用用：用用參參數(shù)數(shù)（2.2.1直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程(2) (1)(1)一條直線一條直線L L的傾斜角是的傾斜角是 ,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylP00 x=x +tcosy

16、=y +tsin|PM|=t.即(t為參數(shù)為參數(shù))tM(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點(diǎn)一點(diǎn).其中參數(shù)其中參數(shù)t的幾何意義是叢點(diǎn)的幾何意義是叢點(diǎn)P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM的數(shù)量表示的數(shù)量表示1 1、復(fù)習(xí)回顧：直線的參數(shù)方程：、復(fù)習(xí)回顧：直線的參數(shù)方程：M(標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 )當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0，y0)的上方時(shí)，的上方時(shí)，t0；當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0，y0)的下方時(shí)，的下方時(shí)，t0；當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)與點(diǎn)(x0，y0)重合時(shí)，重合時(shí)，t=0. 以上反之亦然以上反之亦然00 x=x tcosy=ytsi-n-注意： (t是參數(shù)是

17、參數(shù))，這雖然不是標(biāo)準(zhǔn)形式，但，這雖然不是標(biāo)準(zhǔn)形式，但仍表示過(guò)仍表示過(guò)P(x0,y0)且傾斜角且傾斜角 為的直線，參數(shù)為的直線，參數(shù)t與標(biāo)準(zhǔn)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的的t是互為相反數(shù)。是互為相反數(shù)。(2, - 1)110BD (2)直線的參數(shù)方程的直線的參數(shù)方程的一般形式一般形式： (t為參數(shù)為參數(shù))其中其中(x0，y0)表示該直線上的一點(diǎn)表示該直線上的一點(diǎn), 表示直線的斜率當(dāng)表示直線的斜率當(dāng)a，b分別表示點(diǎn)分別表示點(diǎn)M(x，y)在在x軸正方向與軸正方向與y軸正方向的分速度軸正方向的分速度時(shí)時(shí),t就具有物理意義就具有物理意義時(shí)間時(shí)間,相應(yīng)的相應(yīng)的at，bt則表示點(diǎn)則表示點(diǎn)M(x，y)在在x軸正方向、軸正

18、方向、y軸正方向上相對(duì)軸正方向上相對(duì)(x0，y0)的位移的位移00 xxatyybtba解：由題意知?jiǎng)t直線解：由題意知?jiǎng)t直線PQ的方程是的方程是 (時(shí)間時(shí)間t 是參數(shù)是參數(shù))將將t=3s代入得代入得Q（8，14）。）。1 324xtyt 例一個(gè)小蟲(chóng)從例一個(gè)小蟲(chóng)從P（1，2）出發(fā)）出發(fā),已知它在已知它在 x軸方向的分速軸方向的分速度是度是3,在在y軸方向的分速度是軸方向的分速度是4,問(wèn)小蟲(chóng)問(wèn)小蟲(chóng)3s后的位置后的位置Q。說(shuō)明：說(shuō)明：(1)標(biāo)準(zhǔn)形式是一般形式的特殊情況。標(biāo)準(zhǔn)形式是一般形式的特殊情況。一般式中當(dāng)一般式中當(dāng)a2+b2=1且且b0就是標(biāo)準(zhǔn)形式。就是標(biāo)準(zhǔn)形式。(2)當(dāng)當(dāng)a2+b21，可以把一

19、般形式轉(zhuǎn)化為可以把一般形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形式。過(guò)程形式。過(guò)程 如下：如下：22= ,ab t t令2202222022()()axxab tabbyyab tab0220(1)x xataby ybt一 般 形 式 ：022022axxtabbyytab022022axxtabbyytab一般仍一般仍寫(xiě)成寫(xiě)成轉(zhuǎn)化之后仍表示同一條曲線。轉(zhuǎn)化之后仍表示同一條曲線。如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點(diǎn)的幾何意義是點(diǎn)M分有向線段分有

20、向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點(diǎn)設(shè)直線上的任意一點(diǎn)M(x,y)QMMP o當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，M M為內(nèi)分點(diǎn)；為內(nèi)分點(diǎn)； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)M M與與Q Q重合。重合。o1o 當(dāng)當(dāng) 且且 時(shí)，時(shí)，M M為外分點(diǎn)；為外分點(diǎn)；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 即即，QMMP ” 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M在線段在線段QP上時(shí)上時(shí),取取“+”;當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)M在線段在線段QP的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),取取“-”號(hào)。號(hào)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí). .點(diǎn)點(diǎn)M M是線段是線段QPQP的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。o1說(shuō)明說(shuō)明：1、由曲線的參數(shù)方程知道，每個(gè)參數(shù)值對(duì)、由曲線的參數(shù)方程知道，每個(gè)參數(shù)值對(duì)應(yīng)曲線上的一個(gè)點(diǎn)，所以要

21、求曲線上的一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)曲線上的一個(gè)點(diǎn)，所以要求曲線上的一個(gè)點(diǎn)，可先求這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的那個(gè)可先求這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的那個(gè) 參數(shù)的值。參數(shù)的值。)t (sintyycostxx00為參數(shù)2、直線的、直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的的應(yīng)用應(yīng)用： (1)參數(shù)參數(shù)t的幾何意義是定點(diǎn)的幾何意義是定點(diǎn)P(x0,y0) 到到M(x,y) 的有的有向線段的數(shù)量向線段的數(shù)量,1 1即即 P PA A = = t t1212AB = t -tAB = t -t.即即PMPMt (2)設(shè)直線上的三點(diǎn)設(shè)直線上的三點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2 t3,則有則有過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)且傾斜角且傾

22、斜角 的直線的參數(shù)方程為：的直線的參數(shù)方程為：120.= =tt1212PA PB = t tPA PB = t t1232= =ttt如點(diǎn)如點(diǎn)C是線段是線段AB的中點(diǎn)，則有的中點(diǎn)，則有特殊地，點(diǎn)特殊地，點(diǎn)P是線段是線段AB的中點(diǎn)，則有的中點(diǎn)，則有例例 1 已已知知直直線線 L 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) M0（ 4，0） ，傾傾斜斜角角為為 6 (3)若若 L 與與直直線線 y=x +34交交與與點(diǎn)點(diǎn) M， 求求 M0M （3）解一 由34) 4(33xyxy 得交點(diǎn) M（4(3+1),4） 82) 04(2) 4434(|0|MM 解二 將( 1 )代入y=x+43得: 8| 8434)2321( 3423

23、4210tMMtttt 例2 已知直線L過(guò)點(diǎn)P（1，2） ，傾斜角為450,橢圓C：x2+2y2=8 B o A y x C P 21.:10l xyyx 例 已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積。例1ABM(-1,2)xyO解:因?yàn)榘腰c(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程后,符合直線方程,所以點(diǎn)M在直線上.(2sintyt3x=-1+tcos4為參數(shù)）34所以直線的參數(shù)方程可以寫(xiě)成易知直線的傾斜角為34212(222xttyt 即為參數(shù)）把它代入拋物線y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由參數(shù) 的幾何意義得1210ttAB121

24、22MAMBttt tABM(-1,2)xyO直線參數(shù)方程的應(yīng)用（標(biāo)準(zhǔn)形式）直線參數(shù)方程的應(yīng)用（標(biāo)準(zhǔn)形式）1） 求一端點(diǎn)是求一端點(diǎn)是M0(x0,y0)的線段長(zhǎng)的線段長(zhǎng) 3） 求一端點(diǎn)是求一端點(diǎn)是M0(x0,y0)的兩線段的兩線段 長(zhǎng)長(zhǎng) 的和與積的和與積2) 求弦長(zhǎng)求弦長(zhǎng)222()13xttxyyt 求直線為參數(shù)被雙曲線所截得的弦長(zhǎng)例3 、2222212121221212122()-132- ( )12- 4- 3032-2-()- 43 2 2 - 4( -)1 0 .2xttxyytttttttttt tttttt t把為 參 數(shù)代 入，整 理 得， 即，設(shè) 其 兩 根 為， 則，從 而 弦

25、 長(zhǎng)錯(cuò)解：錯(cuò)解：錯(cuò)誤分析：錯(cuò)誤分析：直線的參數(shù)方程必須先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才可直線的參數(shù)方程必須先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才可運(yùn)用，即要理解直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義運(yùn)用，即要理解直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義2222212121 2212121 2122()32131(2)()122460.46()4 424(6)40210.xttytxyttttttttt tttttt t 把 直 線 參 數(shù) 方 程 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 參 數(shù) 方 程為 參 數(shù) ，代 入， 即，整 理 ， 得設(shè) 其 兩 根 為， 則，從 而 弦 長(zhǎng) 為正解：正解： 12222,111641112|PllxyABCDPA PBP

26、A PBPCPD4過(guò)且兩兩互相垂直的直線 ， 分別交橢圓于 、 與 、 ；求的最值；求證：為定值例 、 112222222222 2cos()1sin1164(cos4sin)(4cos8sin)808cos4sin88cos4sin13sin82.1A Bllxttytxyttt tPA PBPA PB 設(shè)直線 的傾斜角為 ，則 的參數(shù)方程為為參數(shù) ，代入橢圓的方程中，整理得，所以，所以，所以的最大值為 ，解最小值為析： 1212222222222cos()2 ()1sin()21164(sin4cos)4(2cossi2n )80llllllxttytxytt 證明：因?yàn)?，不妨設(shè) 的傾斜角

27、小于 的傾斜角，則 的傾斜角為，因此直線 的參數(shù)方程為為參數(shù)，代入橢圓的方程中，整理得，222813 c o s11|13 s in13 c o s 885 8CDP CP DttP AP BP CP D所 以，所 以， 為 定 值 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：要求要求A、B兩點(diǎn)到兩點(diǎn)到P的距離之和或積，由參數(shù)的幾何的距離之和或積，由參數(shù)的幾何意義，即只要求意義，即只要求|tA|+|tB|或或|tAtB|，求，求|AB|即求出即求出|tA-tB|，運(yùn)用，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的參數(shù)方程中韋達(dá)定理和直線的參數(shù)方程中t的幾何意義即可，是解決的幾何意義即可，是解決直線和二次曲線問(wèn)題常用的方法之一直線和二次曲線問(wèn)題常用的

28、方法之一 練練習(xí)習(xí)與與作作業(yè)業(yè) 1. 直直線線tytx223222(t 為為參參數(shù)數(shù))上上到到點(diǎn)點(diǎn) M(2, 3)距距離離為為2且且 在在點(diǎn)點(diǎn) M 下下方方的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是_ 2.直直線線tytx 3 2(t 為為參參數(shù)數(shù))被被雙雙曲曲線線 x2 y2=1 截截得得的的弦弦長(zhǎng)長(zhǎng)為為( ) (A) 10 (B) 102 (C) 210 (D) 310 3.過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) P（5， 3） ，且且傾傾斜斜角角 滿滿足足 cos = 53 的的直直線線與與 圓圓 x2+y2=25 交交于于 P1, P2兩兩點(diǎn)點(diǎn),則則| PP1| | PP2| =_ , 弦弦 P1P2中中點(diǎn)點(diǎn) M 的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是_

29、 (3, 4)B9)2533,2544(直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn) 的直線的參數(shù)方程為：的直線的參數(shù)方程為：112212( ,), (,)()Q x yP xyxx121211xxxyyy（ 為參數(shù) ， ） 1 例例2求點(diǎn)求點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線）關(guān)于直線l：2x 3y +1 =0的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。解：由條件，設(shè)直線解：由條件，設(shè)直線AA 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t是參數(shù)是參數(shù))，A到直線到直線l的距離的距離d = ， t = AA = ，代入直線的參數(shù)方程得代入直線的參數(shù)方程得A ( ， )。 21133213xtyt 5131013331

30、3413點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的基本方法是先作垂線，求出交點(diǎn)，點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的基本方法是先作垂線，求出交點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式，而此處則是充分利用了參數(shù)再用中點(diǎn)公式，而此處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。的幾何意義。二、求解中點(diǎn)問(wèn)題二、求解中點(diǎn)問(wèn)題 例例3已知雙曲線已知雙曲線 ，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的）的直線交雙曲線于直線交雙曲線于P1，P2，求線段，求線段P1P2的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的的軌跡方程。軌跡方程。 2212yx 分析：中點(diǎn)問(wèn)題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參分析：中點(diǎn)問(wèn)題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有數(shù)方程，并注意有t1+t2=0。 解：設(shè)解：設(shè)M(x0，y0)為軌

31、跡上任一點(diǎn)，則直線為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2的方程的方程是是 。(t是參數(shù)是參數(shù))，代入雙曲線方程得：，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意由題意t1+t2=0，即，即2x0cosy0sin =0，得，得 。又直線又直線P1P2的斜率的斜率 ，點(diǎn)點(diǎn)P（2，1）在直線）在直線P1P2上，上， ，即即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。為所求的軌跡的方程。00cossinxxtyyt002tanxy00tanyykxx0000122yxxy三、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離三、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離

32、例例4直線直線l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為，其參數(shù)方程為(t是參數(shù)是參數(shù))，直線，直線l與直線與直線 2x +y 2 =0 交于點(diǎn)交于點(diǎn)Q，求求PQ。12xtyt 解：將直線解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 ，代入代入 2x +y 2 =0得得 t = ， PQ = | t| = 。3 223 22212222xtyt 點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。解：直線解：直線l的方程可寫(xiě)成的方程可寫(xiě)成 ，代入圓的方程整，

33、代入圓的方程整理得：理得：t2 + t4=0，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ，t2，則，則t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由，由t1 與與t2的符號(hào)相反的符號(hào)相反知知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = ，PA PB =| t1 t2 | = 4。212222xtyt 222121 2()43 2tttt例例5經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，傾斜角為，傾斜角為 的直線的直線 l與圓與圓 x2 +y2 = 9相交于相交于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求PA +PB和和PA PB的值。的值。4點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫(xiě)點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫(xiě)出

34、直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。解：由條件可設(shè)解：由條件可設(shè)AB的方程為的方程為 (t是參數(shù)是參數(shù))，代入拋物線方程得代入拋物線方程得t2sin22ptcos p2 = 0，由韋達(dá)定理：由韋達(dá)定理： ， AB = |t1 t2| = cos2sinpxtyt12221222 cossinsinpttpt t 2224224cos42sinsinsinppp四、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)四、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)例例6已知拋物線已知拋物線y2 = 2px，過(guò)焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為作傾斜角為的直線交拋物線于的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：兩點(diǎn)，求證：22sinpAB分析：弦長(zhǎng)分析：弦長(zhǎng)AB = |t1 t2|。 例例7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在已知橢圓的中心在