三角變形中角的轉(zhuǎn)換

1、五大思路實(shí)現(xiàn)三角變形中角的轉(zhuǎn)換作者：常州市第四中學(xué)王宏榮在三角式的變形中，常常需要從多角度來(lái)綜合考慮，其中一個(gè)重要的方法就是從角的角度來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即以角之間的相互關(guān)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，化異為同。進(jìn)一步利用其它方法或工具解決問題。下面舉例說(shuō)明如何從角的角度來(lái)建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。1 利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化例1 已知cos（75°+）= ，是第三象限角,則cos（15°-）+sin（-15°）= .解析：本題中涉及三個(gè)角，其中15°-與-15°是互為相反數(shù)，容易轉(zhuǎn)化；觀察-15°與75°+，兩角和為90°，可以借助誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)

2、化。詳解：cos（75°+）= cos90°-（15°-）sin（15°-）= ,又是第三象限角，15°-是第二象限角或第三象限角，由sin（15°-）= 0, 15°-是第二象限角cos（15°-）=- , sin（-15°）= - sin（15°-）= ，cos（15°-）+sin（-15°）=- 。2 利用和差公式轉(zhuǎn)化例2 在ABC中cos（ +A）=；求cos2A.解析：在解決本題時(shí)，常有同學(xué)把cos（ +A）用兩角和差的余弦公式展開，再結(jié)合平方和關(guān)系進(jìn)行求解，這種方

3、法也能解決，決但計(jì)算相對(duì)煩瑣。而常常是利用（ +A），求出（ +A）的正弦與余弦，然后利用和角公式進(jìn)行求解。詳解：cos（ +A）=， +A為第一象限角，sin（ +A）=，sinsin（ +A）= sin（ +A）coscos（ +A）sin =,cos2A=2sin2A=.例3 (2006江蘇)cot20°cos10°+ sin10°tan70°-2cos40°= .解析：本題中有個(gè)不同的角，其中20°和70°互余，能夠轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后能夠發(fā)現(xiàn)有因式cos10°+ sin10°，該式提取然后利用和差公式可

4、以轉(zhuǎn)化為sin40°，40°是20°的倍角，所以可以進(jìn)一步根據(jù)倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。詳解：cot20°cos10°+ sin10°tan70°-2cos40°cot20°（cos10°+ sin10°）-2cos40°cot20°（ cos10°+ sin10°）-2cos40°cot20°sin40°-2cos40°·2sin20°cos20°·-2(2cos220&#

5、176;-1)例4 已知sincos,求cossin的取值范圍.解析：本題常有同學(xué)想用兩角和差公式來(lái)解，但往往得有到正確的范圍，該解法如下：sincos+cossin=sin(+), 1sin(+) 1，cossin，又cos，sin，cossin，由得cossin。當(dāng)然用這種方法也能解出正確答案，只要再用sincoscossin=sin()，可得出cossin，由得cossin。解咯。3 利用倍角公式轉(zhuǎn)化例中（ +A）的兩倍是（ +A），要求cos2A，只要先求sin（ +A）.詳解：cos（ +A）=， +A為第一象限角，sin（ +A）=，cos2Asin（ +A）sin（ +A）cos

6、（ +A）··。又例中對(duì)于sincos與cossin除了可以相加減外，還能相乘，而兩者相乘能夠較快的得到答案。詳解：sincoscossinsin2,由sin2，sincoscossin，即cossin，cossin。例5 求值：cos20°cos40°cos80°.解析：觀察三個(gè)角之間存在倍角關(guān)系，且都是余弦，只要添上一個(gè)sin20°,就可以連續(xù)運(yùn)用倍角公式。詳解：cos20°cos40°cos80°.4 利用特殊角轉(zhuǎn)化例6 求的值.解析：本題在兩角是倍半角關(guān)系，但用倍角公式卻不能解決。另一方面20&#

7、176;與10°的和是特殊角30°，所以我們可以利用30°來(lái)進(jìn)行三角變形。詳解：5 利用換元思想實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化利用換元法來(lái)轉(zhuǎn)化有時(shí)是把三角式進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為其它非三角問題來(lái)解；有時(shí)是把其它表面上與三角無(wú)關(guān)的問題換成三角問題，進(jìn)而利用三角工具來(lái)解決問題。有時(shí)也稱“三角代換”。換元過(guò)程中要注意角的范圍。例7 (2006年全國(guó)卷)的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)， cosA2cos取得最大值，并求出這個(gè)最大值。 詳解：cosA2coscosA2cos()cosA2sin12sin22sin記t= sin（）則原問題等價(jià)于求f(t)t2t在（0，1上的最大值當(dāng)t時(shí)，即時(shí)，f(t)取得最大值.例8 已知f(x).求證：f(x)；確定f(x)的單調(diào)區(qū)間。解析：本題是無(wú)理根式的形式，但由于x，且x(1x)，故可將x、1x與sin2、cos2聯(lián)系，化無(wú)理式為三角函數(shù)式。詳解：令x=sin2, 0, ,則f(x)sincossin() 由0, 知，,得sin(),1,故值域?yàn)椋? 由正弦函數(shù)的單