函數(shù)最值-從配方法到求導(dǎo)法

1、函數(shù)最值 從配方法到求導(dǎo)法前言 函數(shù)最值 追根到初三一位初三老師，在總結(jié)函數(shù)性質(zhì)時說:“我們學(xué)過正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)，其中，二次函數(shù)很特殊，二次函數(shù)有最值，而其他3個函數(shù)沒有最值，大家清楚吧！”“清楚！”回聲雖然響亮，但還有幾個學(xué)生沒有應(yīng)聲.一個學(xué)生問：“反比例函數(shù)也有最值吧？”另一個學(xué)生問：“一次函數(shù)為什么沒有最值呢？”老師回答：“這四個函數(shù)，只有二次函數(shù)有最值，其他3個函數(shù)沒有最值，至于為什么，那要到高中數(shù)學(xué)中去學(xué)習(xí)！”這位初三老師有點偷懶，其實他是完全可以講清楚這個問題的既然他沒有講，那么我們的高中學(xué)生，包括高三的學(xué)生，還真的得從這個問題研究起一、二次函數(shù)最值尋根初

2、中生研究二次函數(shù)的最值，是從配方法開始的.設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c=初三學(xué)生已知，二次函數(shù)f(x)，在a>0時，有最小值；a<0時，有最大值.到了高中，學(xué)生更關(guān)心二次函數(shù)得到最值的條件，即上述不等式中等號成立的條件：.這個條件自變量x的取值，稱作二次函數(shù)最值對應(yīng)的“最值點”（以下簡稱“最點”），俗稱函數(shù)“最值的根”.對于高一學(xué)生，老師把二次函數(shù)的“最值”與二次函數(shù)的“單調(diào)區(qū)間”相捆綁，要求用比較法探索“最點”.【例1】 已知a>0，探索二次函數(shù)y = ax2+bx+c的單調(diào)區(qū)間.并指出函數(shù)的最值點.【解答】 任取 x1<x2，x1，x2R.則有 y1

3、y2 = f (x1) f (x2) = ()（1）當(dāng)x1，x2-時，有由式()得 y1 y2 =a函數(shù)f (x)在上為減函數(shù).（2）當(dāng)x1，x2-時，有由式（）得 y1 y2 =a即函數(shù)f (x)在上為增函數(shù).綜合（1）、（2）可知，二次函數(shù)y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有減區(qū)間和增區(qū)間.顯然，二次函數(shù)的最值點為，函數(shù)有最小值.【評說】 從這里看到，二次函數(shù)的最點，就是兩個“異性”單調(diào)區(qū)間的交接點.【練1】 試研究一次函數(shù)沒有最點，從而沒有最值.【解】 任取，則有（1）時，函數(shù)在R上為增函數(shù).時，;時，.（2）時，函數(shù)在R上為減函數(shù).時，;時，.所以，一次函數(shù)在R上沒有最點，

4、從而一次函數(shù)無最值（既無最大值，也無最小值）.【說明】 一次函數(shù)定義在R上，定義域內(nèi)找不到這樣的“點”，使得該點兩邊鄰域是異性的兩個單調(diào)區(qū)間.本例從反面看到：最點是單調(diào)區(qū)間的“變性”的“轉(zhuǎn)折點”.二、從到高中生將“最點”變形為，并由此得到一個一次函數(shù).精明的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個一次函數(shù)與對應(yīng)的二次函數(shù)有某種“關(guān)系”，甚至有學(xué)生在偷偷地利用這種“關(guān)系”.這種“關(guān)系”到了高三才徹底解決：函數(shù)正是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即.函數(shù)求“最根”的問題，正好是的導(dǎo)函數(shù)的“求根”問題.導(dǎo)函數(shù)的根，就是的駐點.很清楚，二次函數(shù)的駐點就是二次函數(shù)的最點.問題變得這么明朗：求的最點，就是求的根.俗說中“最根”，真的與“根”字巧合了

5、.【例2】 設(shè)，在同一坐標(biāo)系中，分別作得和的圖象（如右）.試說明的正負(fù)性與單調(diào)性的對應(yīng)關(guān)系.【解析】 與相交于.（1）時，,遞減；（2）時，,遞增；（3）時，,得到最小值.故對應(yīng)關(guān)系為：（1）負(fù)區(qū)與的減區(qū)對應(yīng)； （2）正區(qū)與的增區(qū)對應(yīng)； （3）零點與的最值對應(yīng).【練2】 已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如右圖的直線，則有（1）=（ ），增區(qū)間為（ ），減區(qū)間為（ ）；（2）的最（ ）值為（ ）；（3）若，求的解析式.【解答】 從右圖上看到（1）的根為，故有=1；（2）時，>0，故的增區(qū)間為； 時，<0，故的減區(qū)間為；（3）有最大值，最大值為.（4）令，圖上知；令，得.故有.【說明】 注意與

6、并非一一對應(yīng)，每一個這樣的都對應(yīng)著一個確定的，反過來，每一個這樣的卻對應(yīng)著無窮個，它們只是相差一個常數(shù)c.這就是本題中，為什么已經(jīng)知道了的圖象后，還要給出時才能確定的解析式.三、三次函數(shù)的駐點、極點和最點一次函數(shù)沒有駐點，自然沒有最點.二次函數(shù)有一個駐點，這個駐點就是二次函數(shù)的最點.三次函數(shù)呢？三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，這個二次函數(shù)根的情況有3種：（1）有2個相異的根，（2）有2個相同的根；（3）無根.如果三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無根，則無駐點，自然也無最點，也無最值.如果有根呢？自然一定有駐點.那么，這些駐點是否為其最點呢？【例3】 研究函數(shù)的駐點、極點和最點.【解析】 令，得，為的2個駐點.（1

7、）時，>0，函數(shù)遞增；（2）時，<0，函數(shù)遞減；（3）時，>0，函數(shù)遞增.故在有極大值，在上有極小值.故，是的2個極點，前者為極大點，后者為極小點.又時，故函數(shù)既無最大值，也無最小值.從而無最點.【說明】 這是三次函數(shù)有2個駐點，且都為極點的例子.而三次函數(shù)無駐點或有駐點但不是極點的例子如下（練3）.【練3】 研究下列三次函數(shù)的駐點、極點、最點和單調(diào)區(qū)間.（1） （2）【解析】 （1）,函數(shù)無駐點，無極點，無最點. 是上的增函數(shù).（2）,有2個重合的駐點.（1）當(dāng)時，函數(shù)遞增，（2）當(dāng)時，函數(shù)也遞增.因此，駐點不能分出兩個“相異”的單調(diào)區(qū)間，故不是的極點，無極點，當(dāng)然也無最點

8、.是R上的增函數(shù).【說明】 函數(shù)相重合的兩駐點不成為極點，可理解為它們消去了“中間”的一個“相異”的單調(diào)區(qū)間后，將兩邊的“同性”的單調(diào)區(qū)進(jìn)行了鏈接而成為一個單調(diào)區(qū)間.經(jīng)過以上的討論得知，定義在R上的三次函數(shù)，不管它有無駐點或極點，它是不會有最點的.四、極點何時為最點不重合的2個駐點可以分別成為極點.那么，在什么條件下極點成為最點呢？駐點是極點的必要不充分條件，那么極點是最點的什么條件呢？我們研究，極點何時成為最點.【例4】 已知的導(dǎo)函數(shù)，試探究的極點和最點.【解析】 .有3個相異的根：它們都是的極點.易知原函數(shù) （R）易知為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.的4個單調(diào)區(qū)間依次成“減

9、增減增”的順序，使得首、尾兩個區(qū)間的單調(diào)性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（小）點.比較三個極值的大?。旱玫淖钚≈禐?，對應(yīng)兩個最小點和1.【說明】 定義在一個開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)如果有n個極點：x1<x2<<xn.當(dāng)n為奇數(shù)時，有最點存在.最點在依次為奇數(shù)的極點中產(chǎn)生，通過奇數(shù)位上的極值比大小可得.當(dāng)n為偶數(shù)時，函數(shù)無最點.【練4】 求函數(shù)的最值.【解析】 函數(shù)是定義在一個開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),令得的唯一駐點即為最點.時，函數(shù)遞增,時，函數(shù)遞減,故有最大值.【說明】 本函數(shù)是二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用配方法求最值也很簡便.,等號成立條件是.五、最值尋根的導(dǎo)數(shù)判定若定義在一個開區(qū)間

10、上的函數(shù)有導(dǎo)函數(shù)存在，那么是否有最值的問題可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)是否有最根的問題來研究：（1）若導(dǎo)函數(shù)無根，即，則無最值；（2）若導(dǎo)函數(shù)有唯一的根，即，則有最值.此時，導(dǎo)函數(shù)的根即是函數(shù)最根.（3）若導(dǎo)函數(shù)有多個的根，則應(yīng)從多個駐點中依次判定極點、最點的存在性.【例5】 在以下四個函數(shù)中，有最值存在的函數(shù)是A. B. C. D.【解析】 對于A，定義區(qū)間雖有兩個，但都有，無最值；對于B，函數(shù)有重合的兩駐點，無最值；對于C，無最值；對于D，.當(dāng)時，令，得，有最值=1.本題答案為D.【練5】 判斷以下函數(shù)，是否有最值，如果有，求出最值.（1） （2）【解析】 （1），無最值.（2）.當(dāng)時，由，得.有最值

11、，.當(dāng)時，是增函數(shù).當(dāng)時，是減函數(shù).故是的最大值.六、最根與高考題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于高考，一般都在研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值問題，對可導(dǎo)函數(shù)來講，這兩個問題互相捆綁著，于是導(dǎo)數(shù)問題的“根本”則變成“最根”問題.【例6】 已知可導(dǎo)函數(shù)在R上恒有，且不為常數(shù)，試研究的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)最值.【解析】 由可知時，函數(shù)為減函數(shù);時，函數(shù)為增函數(shù);由此可知，是的唯一的根，故為最根.故有減區(qū)間，增區(qū)間，有最大值.【說明】 本題是在研究“抽象函數(shù)”無具體解析式的一類函數(shù)的性質(zhì)，只在滿足性質(zhì)條件下，通過“最根”的判定而確定了的單調(diào)區(qū)間和最值.有些不等式的證明，還可以通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的“最值”而確認(rèn)不等式是否成立.【練6】 已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，證明：.【解析】 （1），故有唯一的最根，故的最大值為.（2），.設(shè)，則.當(dāng)時，因此在內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)時，因此在上為增函數(shù).從而，當(dāng)時，有最小值，因為，所以，即.【說明】 問題（2）的解決，是用“最根”證明不等式.七、余興 荒唐錯誤