0910東大DSPFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、第六章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。但它也有明顯的缺點(diǎn)：相位的非線性將引起頻率的色散，即不同頻率成分有不同延時因子，這在時域上不利于信號波形的保持。若需線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜，成本高。現(xiàn)代通信技術(shù)，如語音處理、圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線性相位，任意幅度。而FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，同時可以具有任意的幅度特性。除此而外，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器還有以下特點(diǎn)： （1）FIR數(shù)字濾波器的h(n)是有限長的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。 （2）只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果

2、的有限長序列都變成因果的有限長序列，因而總能用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)。 （3）FIR濾波器由于h(n)是有限長的，因而可利用FFT算法來實現(xiàn)過濾信號，可以大大提高運(yùn)算效率。FIR濾波器的設(shè)計方法是選擇有限長度的h(n)，使系統(tǒng)頻響滿足要求。本章分析的邏輯思路是：線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)；FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法；FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計法。1.線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)1.1 數(shù)字濾波器的頻率特性線性相位是DF的一種頻率特性，為了討論它，需先簡要復(fù)習(xí)DF的頻率特性，并做進(jìn)一步的深入。所謂DF的頻率特性，即：系統(tǒng)頻響，其定義為 式中，稱為頻率特性（系統(tǒng)頻響）；稱為幅頻特性；稱為相頻特性，它

3、們均是的函數(shù)。在討論FIR DF的頻率特性時，我們還定義了它的另一種形式，即 式中，稱為幅度特性（函數(shù)）；稱為相位特性（函數(shù)）。要注意這兩種定義的區(qū)別，即 （1），它可正可負(fù)，故稱為幅度特性。 （2）作為相位特性，其相頻曲線是連貫的，沒有作為相頻特性時的相位突變。所謂線性相位的FIR DF就是指相位特性是的線性函數(shù)，即 或 式中，為常數(shù)；是起始相位（初相位），也為常數(shù)，由以上兩種情況可知（1）群時延的定義為，所以以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即：。（2）相時延的定義為，所以以上兩種情況的相時延是：（常數(shù)）或（不是常數(shù)）。（3）綜合（1）和（2），因為和均為常數(shù)，所以線性相位的FIR DF

4、必有恒群時延特性，但只有的FIR DF才有恒相時延特性。1.2 線性相位條件并非所有的FIR DF都是線性相位的，只有它滿足一定條件時才具有線性相位。使FIR DF成為線性相位的充要條件是 （1）為實數(shù)； （2 滿足以為中心偶對稱：；或奇對稱：。滿足偶對稱為第一類線性相位，滿足奇對稱為第二類線性相位。又由于的長度N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，因而可以有4種類型，如P.176圖6-1和圖6-2所示，對應(yīng)于4種線性相位FIR DF，即 下面給出線性相位條件的推導(dǎo)與證明。 （1）偶對稱的情況設(shè)長度為N的實序列滿足偶對稱，即以為中心，有：。此時，N可以為奇數(shù)或偶數(shù)。這種情況下，按Z變換定義可以寫成： 也

5、可以寫成：對上式進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)變換可得的另一種表達(dá)形式： 在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步將寫成： 濾波器的頻率響應(yīng)為 由上式可知：a. 如令，則 （1） （2） b. 式（1）的幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負(fù)值和零，而且是的偶函數(shù)和周期函數(shù)。 c. 式（2）的相位函數(shù)具有嚴(yán)格的線性相位，如P.179圖6-3所示。由于，所以此時的線性相位不僅恒群時延，而且恒相時延。d. 不僅表示群時延為常數(shù)，還表示此時的FIR DF有的延時，即有一個等于長度N一半的延時量。（2）奇對稱的情況設(shè)長度為N的實序列滿足奇對稱，即以為中心，有：。此時，N可以為奇數(shù)或偶數(shù)。這種情況下，按Z變換定義可以寫成： 也可以寫成：對上式

6、進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)變換可得的另一種表達(dá)形式：在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步將寫成： 濾波器的頻率響應(yīng)為 由上式可知：a. 如令，則 （3） （4）b. 式（3）的幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負(fù)值和零，而且是的奇函數(shù)和周期函數(shù)。c. 式（4）的相位函數(shù)具有嚴(yán)格的線性相位，如P.180圖6-4所示。由于，所以此時的線性相位僅恒群時延。d. 不僅表示群時延為常數(shù)，還表示此時的FIR DF有的延時，即有一個等于長度N一半的延時量。備注：如式（3）表示成下式則式（4）可表示為1.3幅度函數(shù)的特點(diǎn)由于的長度N取奇數(shù)或偶數(shù)時對的特性有影響，因此，對于兩類線性相位，下面分4種情況討論其幅度特性的特點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)指出幅度特性的

7、特點(diǎn)反映了FIR DF的濾波性。 （1）偶對稱，N為奇數(shù)從偶對稱的幅度函數(shù)式（1）可以看出，不但對于呈偶對稱，也對于呈偶對稱，即 因此，可以將內(nèi)兩兩相等的項合并，即項與項合并，項與項合并，依次類推。但是由于N是奇數(shù)，兩兩合并的結(jié)果必然余下中間一項，即項是單項，無法和其他項合并，這樣幅度函數(shù)可以表示為 上式是由的前個樣值點(diǎn)表示的，它當(dāng)然可用后個樣值點(diǎn)來表示，即 對上式進(jìn)行換元，即令，則上式又可改寫為 經(jīng)整理，幅度特性為 由于對，是偶對稱的，因此對，也是偶對稱的。因此這種情況可用來設(shè)計各種濾波器。（2）偶對稱，N為偶數(shù)由于偶對稱，則，幅度特性為 當(dāng)時，而且對呈奇對稱，因此，即在處必然有一個零點(diǎn)，而

8、且對呈奇對稱。因此這種情況不能用來設(shè)計時的濾波器，如高通、帶阻濾波器。 （3）奇對稱，N為奇數(shù)。由于奇對稱，則，幅度特性為 由于在，處都為零，并對這些點(diǎn)呈奇對稱，因此在，處為零，也即在都有零點(diǎn)，并對，呈奇對稱。因此這種情況不能用來設(shè)計和的濾波器，如低通、高通濾波器。 （4）奇對稱，N為偶數(shù)。由于奇對稱，則，幅度特性為 由于在，處為零，所以在，處為零，即在上有零點(diǎn)，并對，呈奇對稱。所以不能作低通濾波器，但在處有極值，所以可以作高通濾波器。備注：本講義中的表示中取的是后一半的值，而教材中，取的是前一半的值。1.4 線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性由于線性相位FIR DF的單位脈沖響應(yīng)具有對稱性，即，

9、則因此，如是的零點(diǎn)，則也一定是的零點(diǎn)。又由于是實數(shù)，的零點(diǎn)必須共軛成對地出現(xiàn)，所以也必定是零點(diǎn)。的零點(diǎn)位置有四種可能的情況： （1）既不在實軸上，又不在單位圓上，則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對，如P.184圖6-5(a)所示。 （2）不在實軸上，但在單位圓上，則共軛對的倒數(shù)是它們本身，此時零點(diǎn)是一組共軛對，如P.184圖6-5(b)所示。 （3）在實軸上，但不在單位圓上，則只有倒數(shù)部分，無復(fù)共軛部分，零點(diǎn)對如P.184圖6-5(c)所示。 （4）既在實軸上，又在單位圓上，則此時只有一個零點(diǎn)，有兩種可能，或位于，或位于，如P.184圖6-5(d)(e)所示。由以上零點(diǎn)位置的討論可以有以下幾點(diǎn)結(jié)論：

10、 （1）在不在實軸上、在不在單位圓上將影響到由可能產(chǎn)生多少個相關(guān)零點(diǎn)（至少1個、最多4個）。 （2）因為FIR DF的系統(tǒng)函數(shù) 所以的零極點(diǎn)總數(shù)為：零點(diǎn)個，極點(diǎn)在處有重極點(diǎn)，由此保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）零點(diǎn)位置既在實軸上又在單位圓上，此時（相關(guān)零點(diǎn)）只有一個零點(diǎn)或，即零點(diǎn)位置第四種情況，可推出：當(dāng)偶對稱、N為偶數(shù)的線性相位濾波器，故必有單根；當(dāng)奇對稱，N為偶數(shù)時，故必有單根；當(dāng)奇對稱，N為奇數(shù)時，故及都為零點(diǎn)。了解了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，便可根據(jù)實際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時設(shè)計時需遵循有關(guān)的約束條件。如為實數(shù)且以為中心偶或奇對稱是線性相位的約束條件。如對相位函數(shù)的討論（可見

11、P.183表6-1）可知第III、IV種情況，對于任何頻率都有固定的相移，一般微分器及相移器采用這兩種情況。如對幅度函數(shù)的討論（可見P.183表6-1）可知第I、II種情況，大多數(shù)選頻濾波器采用這兩種情況，特別是I型適合構(gòu)成各種濾波器。P.185例6-13。2.FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計在于尋找一個頻率響應(yīng)去逼近。有兩種逼近方法：一種是從時域入手的窗口設(shè)計法；另一種是從頻域入手的頻率采樣設(shè)計法。為了將窗口設(shè)計法闡述清楚，本節(jié)先介紹該方法的基本思想；而后討論該方法的有效性和常用窗函數(shù)；最后給出該方法的設(shè)計步驟。2.1窗口設(shè)計法的基本

12、思想在第五章中已介紹過數(shù)字濾波器的一般設(shè)計思想，即：在給定技術(shù)指標(biāo)（理想濾波器的頻響）的情況下，求滿足（逼近）這一指標(biāo)的濾波器傳輸函數(shù)或單位抽樣響應(yīng)，對于線性相位的FIR DF，最直接的方法是先求，即：時域設(shè)計。如何進(jìn)行時域設(shè)計，我們要考慮兩個方面的因素：（1）和有如下關(guān)系： 即和是一對傅里葉變換的關(guān)系。所以時域設(shè)計須利用給定的技術(shù)指標(biāo)（理想濾波器的頻響）先確定一個理想濾波器的單位抽樣響應(yīng)。 （2）一般總是一個非因果、無限長序列，而FIR DF的目標(biāo)應(yīng)該是有限長、且滿足線性相位的充要條件。所以時域設(shè)計還須對截短，即：“加窗”處理。綜合以上概念，我們可以用流程來表示窗口設(shè)計法的基本思想 逼近（合

13、格則設(shè)計完成，不合格則修改窗）從以上流程我們可以看出窗口設(shè)計法的基本思想是：時域設(shè)計、頻域檢驗。但要注意：這種時域設(shè)計、頻域檢驗的方法要反復(fù)多次，而不像IIR DF設(shè)計能一次成功。2.2窗口設(shè)計法的有效性由以上的設(shè)計原理可以看出，采用加窗處理得到的僅僅是的近似，而不是準(zhǔn)確的，因而對應(yīng)的頻響當(dāng)然也不同于理想濾波器的頻響。所謂窗口設(shè)計法的有效性，是指加窗處理使變成后，與之間有哪些不同。 我們通過一個實例來說明這個問題： 例如，要求設(shè)計一個理想的FIR低通濾波器，其截止頻率為 ，其相位特性為線性相位，即 按設(shè)計流程，由經(jīng)IDTFT得： 這是一個以為中心的、偶對稱的、無限長非因果序列，如P187圖6-

14、8（a）所示。 按設(shè)計流程，由經(jīng)截短乘得： 由圖6-8（a）可見，這種直接截取的辦法可以形象地想象為，好比是通過一個“窗口”所看到的一段，因此也可以表達(dá)為和一個“窗口函數(shù)”的乘積，即： 式中為窗口函數(shù)，本例。至此完成了“時域設(shè)計”。 按設(shè)計流程，由經(jīng)DTFT得： （利用了傅氏變換的復(fù)卷積性質(zhì)）式中： 代入和有： 按設(shè)計流程，比較和，即完成“頻域檢驗”：重新寫出和，并做比較如下： 的相位函數(shù)的相位函數(shù)是一樣的，因為它們的單位抽樣響應(yīng)和均是關(guān)于為中心的偶對稱實序列。的幅度函數(shù)是由卷積運(yùn)算得出的，結(jié)合P188圖6-9，可說明該卷積過程，從而與的幅度函數(shù)比較： 圖6-9（a）表示它不過是將頻率改用表示

15、，它的區(qū)間決定了卷積運(yùn)算中的積分區(qū)間為 圖6-9（b）表示，由于這是一個以=0為中心偶對稱的周期函數(shù)，所以它的“反序”的圖形將保持不變。換言之，圖（b）也就是的圖形，因而的圖形可以通過向右移動長度后實現(xiàn)。需要說明的是，的主瓣寬度為，兩側(cè)有許多衰減震蕩的旁瓣。通常主瓣定義為原點(diǎn)兩邊第一個過零點(diǎn)之間的區(qū)域。 圖6-9（f）表示,它可以這樣得到：先將右移到處得的圖形，然后將與相乘，再將乘積在（本例為）的區(qū)間內(nèi)積分，最后除。按此方法，對圖6-9（f）具體分析如下：（1）時的響應(yīng)，即等于在到一段的積分面積。通常實際上近似等于的全部積分面積。（2）時的響應(yīng)剛好與的一半重疊，如圖6-9（c）。因此卷積值剛好

16、是的一半，即，如圖6-9（f）（3）時的響應(yīng)的全部主瓣都在的通帶之內(nèi)，如圖6-9（d）。因此卷積結(jié)果有最大值，即為最大值，頻響出現(xiàn)正尖峰。（4）時的響應(yīng)的全部主瓣都在的通帶之外，如圖6-9（e）。而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最小值，頻響出現(xiàn)負(fù)尖峰。（5）當(dāng)時，隨著的繼續(xù)增大，卷積值將隨著的旁瓣在的通帶內(nèi)面積的變化而變化，將圍繞著零值波動。（6）當(dāng)由向通帶內(nèi)減小時，的右旁瓣進(jìn)入的通帶，使得值圍繞值而波動。 綜上所述，對加窗函數(shù)處理后，與原理想低通差別有以下幾點(diǎn)：（1）將在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗

17、函數(shù)的幅度函數(shù)的主瓣寬度，即正尖峰與負(fù)尖峰的間隔為。窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶也越寬。（2）在截止頻率的兩邊即的地方，出現(xiàn)最大的尖峰值，尖峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取訣于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 以上兩點(diǎn)就是對用矩形窗截斷后在頻域的反應(yīng)，稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能，通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶中的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波動影響阻帶內(nèi)的衰減；過渡帶的存在說明濾波器的截止特性不好，一般希望過渡帶越窄越好。如何減少吉布斯效應(yīng)的影響呢？很顯然窗口設(shè)計法的關(guān)鍵一步是選擇窗函數(shù)，即確定窗的形狀和長度N。 最簡單的窗是矩形窗，通過矩形窗，我們可以分析窗的

18、形狀和長度N對濾波器性能的影響。（1）與的差異是由于加窗引起的，加窗會導(dǎo)致截斷效應(yīng)。對頻率特性的影響表現(xiàn)為： a.使理想頻率特性間斷點(diǎn)處產(chǎn)生過渡帶，且過渡帶的寬度取決于窗函數(shù)的主瓣寬度。主瓣寬度越短，這種影響越小。 b.吉布斯效應(yīng)導(dǎo)致過渡帶兩邊的通帶和阻帶產(chǎn)生波動，其波動幅度和頻率取決于窗函數(shù)旁瓣的相對幅度和波動頻率。（2）減少加矩形窗對頻率特性影響的方法： a.增加窗的長度N可以降低過渡帶的寬度。N越長，過渡帶越窄。但窗長度的增加不能改變波動值。 b.改變窗的形狀可以減低吉布斯效應(yīng)。（3）理想的窗函數(shù)要求： a.窗函數(shù)的主瓣寬度應(yīng)盡量窄，以使設(shè)計出來的濾波器有較窄的過渡帶。 b.窗函數(shù)的最大

19、旁瓣的幅度相對于主瓣應(yīng)盡量小，以使設(shè)計出來的濾波器有較小的波動或較大的阻帶衰減。上述對窗函數(shù)的要求往往是矛盾的。設(shè)計時可先從阻帶指標(biāo)出發(fā)選擇窗函數(shù)，再根據(jù)過渡帶要求選擇窗的長度N。如果窗函數(shù)是關(guān)于N-1/2對稱的，則可以用來設(shè)計線性相位FIR濾波器。2.3常用窗函數(shù)從以上討論看出，窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿足兩項要求： （1）窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過渡帶。 （2）盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度。也就是能量盡量集中在主瓣，這樣使尖峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。但是這兩項要求是不能同時滿足的。實際所選用的窗函數(shù)往往是它們的折中。在保證主瓣寬度達(dá)到一定要求的

20、前提下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度以換取相對旁瓣的抑制。以上是從幅度特性的改善對窗函數(shù)提出的要求。實際設(shè)計的FIR濾波器往往要求具有線性相位，也就是說，不但要滿足(n)長度N有限，利用公式。 得到長度為N的，同時長度為N的要以為其對稱中心，即。設(shè)計FIR濾波器常用的窗函數(shù)如下表：常用窗函數(shù)及其定義 窗函數(shù)名稱 定義 MATLAB函數(shù)矩形窗 w = box(N)漢寧窗 w = hamming(N)漢明窗 w = hanning(N) 布萊克曼窗 w = blackman(N) 凱塞窗 w = kaiser(N，bata)2.4窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR濾波器的一般步驟窗函數(shù)法的設(shè)計步驟可歸納如下： （1）

21、給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)。 （2）根據(jù)IDTFT求單位脈沖響應(yīng) 如果很復(fù)雜或不能直接計算積分，則必須用求和代替積分，以便在計算機(jī)上計算，也就是要計算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計算。將積分限分成M段，也就是令采樣頻率為，則有 頻域采樣，造成時域序列周期延拓，延拓周期是M，即 由于有可能是無限長的序列，因此嚴(yán)格說，必須當(dāng)M時，才能等于而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即。實際上，由于隨n的增加衰減很快，故一般只要M足夠大，即MN，近似就足夠了。 （3）由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，可選定窗形狀，并估計窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶近似與窗口長度成反比，A決

22、定于窗口形式。例如，矩形窗，海明窗等，A參數(shù)選擇參考表如下。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。 6種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較窗 函 數(shù) 旁瓣峰值幅度/dB 過渡帶 阻帶最小衰減/dB矩形窗 -13 4/N -21 三角形窗 -25 8/N -25 漢寧窗 -31 8/N -44 海明窗 -41 8/N -53 布萊克曼窗 -57 12/N -74 凱塞窗（ = 7.865） -57 10/N -80 （4）計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 ， 0nN-1 （5）由求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 通常整個設(shè)計過程可利用計算機(jī)編程

23、來實現(xiàn)，可多選擇幾種窗函數(shù)來試探，從而設(shè)計出性能良好的FIR濾波器。P.195例6-4、例6-5。3.FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計法3.1設(shè)計方法 窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，把理想的用一定形狀窗口函數(shù)截取成有限長的，以此來近似理想的，即時域設(shè)計頻域檢驗的思想。 頻率采樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)加以等間隔采樣 然后以此作為實際FIR濾波器頻率特性的采樣值，即令 由于有限長序列和它的DFT是一一對應(yīng)的，因此可以由頻域的這N個采樣值通過IDFT來唯一確定有限長序列，即 式中，為待設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)。由又可得到待設(shè)計濾波器的和。以上就是頻率采用法設(shè)計濾波器的基本原理，該基本原理可由以

24、下設(shè)計流程來表示。 從以上設(shè)計流程可見將有兩種不同的流程其一：，即 其二： ，即 3.2利用頻率采樣法設(shè)計線性相位濾波器的條件 如果要設(shè)計的是線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面討論的4類線性相位濾波器的約束條件，這些條件已歸納在表6-1中。 （1）I型線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對稱，N為奇數(shù)情況。 由表6-1可知，對于I型濾波器 式中 （5） I型線性相位濾波器幅度函數(shù)關(guān)于為偶對稱，即 （6） 如果采樣值也用幅值（純標(biāo)量）與相角表示，即 并在之間等間隔采樣N點(diǎn) ， 則將代入式（5）和式（6）中，并寫成k的函數(shù)，有 上式表明滿足偶對稱要求。 （2）II型線性相位FIR濾波器，即偶對稱，N為偶數(shù)情況。 （3）III型線性相位FIR濾波器，即奇對稱，N為奇數(shù)情況。 （4）IV型線性相位FIR濾波器，即奇對稱，N為偶數(shù)情