2019天津數(shù)學(xué)理

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）第卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：·如果事件、互斥，那么.·如果事件、相互獨(dú)立，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高.·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合， ， ，則A. 2B. 2，3C. -1，2，3D. 1，2，3，4【答案】D【解析】

2、【分析】先求，再求?！驹斀狻恳?yàn)?，所?故選D?！军c(diǎn)睛】集合的運(yùn)算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運(yùn)算2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】畫出可行域，用截距模型求最值。【詳解】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值。由，得，所以。故選C?！军c(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線

3、的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍即：一畫，二移，三求3.設(shè)，則“”是“”的( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件。4.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步寫出運(yùn)算結(jié)果。【詳解】，結(jié)束循環(huán)，故輸

4、出。故選B?！军c(diǎn)睛】解答本題要注意要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率?！驹斀狻繏佄锞€的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，。故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度。6.已知，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小?！驹斀狻?，故，所以。故選A?！军c(diǎn)睛】本

5、題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，；又，又，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)。8.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立?！驹斀狻?，即，（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若上恒成

6、立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以。當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析。第卷二.填空題：本大題共6小題.9.是虛數(shù)單位，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模。【詳解】?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.10.是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得出通項(xiàng)，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項(xiàng)。【詳解】，由，得，所以的常數(shù)項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，牢記常數(shù)項(xiàng)是由指數(shù)冪為0求得

7、的。11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑?！驹斀狻坑深}意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，故圓柱的高為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為?！军c(diǎn)睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。12.設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)

8、圓的參數(shù)方程確定圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再根據(jù)直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得。【詳解】圓化為普通方程為，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，由直線與圓相切，則有，解得?！军c(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系可以使用判別式法，但一般是根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷。13.設(shè)，則的最小值為_.【答案】【解析】分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值?！驹斀狻浚?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故所求的最小值為。【點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號是否能夠成立。14. 在四邊形中， ， ， ，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則_.【答案】.【解析】【分析】建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別寫出向量而求解。【詳解】

9、建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，。因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，所以。所以【點(diǎn)睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用坐標(biāo)方法更為方便。三.解答題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（）求值；（）求的值. 【答案】() ；() .【解析】【分析】()由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】()在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因?yàn)椋玫剑?由余弦定理可得.()由()可得

10、，從而，.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計(jì)算求解能力.16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（）見解析；（）【解析】【分析】()由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列

11、，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；()由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】()因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.()設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由()知：.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.17.如圖，平面，.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二

12、面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（）見證明；（）（）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系()利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；()分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()首先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計(jì)算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得.設(shè)，則.()依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面. ()依題意，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨

13、令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.()設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意所以，線段的長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可

14、得橢圓方程；()聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】() 設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.()由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的

15、能力.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（）求和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】【分析】()由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；()結(jié)合()中的結(jié)論可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合所得的通項(xiàng)公式對所求的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行等價(jià)變形，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得的值.【詳解】()設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.()(i).所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(ii).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.20.設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，證明；（）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.【答案】（）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（）見證明；（）見證明【解析】【分析】()由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；()構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合()結(jié)果和導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論；()令，結(jié)合()，()的結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的性質(zhì)