6113植樹問題一教師版

1、5-1-3.植樹問題（一）教學(xué)目標(biāo)1封閉與非封閉植樹路線的講解及生活運(yùn)用。2掌握空心方陣和實心方陣的變化規(guī)律3幾何圖形的設(shè)計與構(gòu)造知識點撥一、植樹問題分兩種情況：（一）不封閉的植樹路線. 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長株距全長株距(棵數(shù))株距全長(棵數(shù)) 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長株距棵數(shù)；棵數(shù)段數(shù)全長株距；株距全長棵數(shù). 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還少1棵. 全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長株距.株距全長(

2、棵數(shù)).全長株距(棵數(shù)+1)（二）封閉的植樹路線.在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù).全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)周長株距.二、解植樹問題的三要素（1）總路線長（2）間距（棵距）長（3）棵數(shù)，只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個三、方陣問題（1）明確空心方陣和實心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個數(shù)總數(shù)÷”；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少； （4）掌握計算層數(shù)、每層個數(shù)、總個數(shù)的方法，及每層個數(shù)的變化規(guī)律。例題精講【例 1】 大頭兒子的學(xué)校旁邊的一條路長400米，在路的一邊從頭到尾每隔4米種一棵樹，一

3、共能種幾棵樹？【考點】直線上的植樹問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 從圖上可以看出，每隔4米種一棵樹，如果20米長的路的一邊共種了6棵樹，這是因為我們首先要在這條路的一端種上一棵，就是說種樹的棵樹要比間距的個數(shù)多1，所以列式為：400÷4+1101（棵）.【答案】棵【鞏固】 在一條長240米的水渠邊上植樹，每隔3米植1棵。兩端都植，共植樹多少棵？【考點】直線上的植樹問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 （棵）【答案】棵【例 2】 一條馬路長200米，在馬路兩側(cè)每隔4米種一棵樹，則一共要種樹_棵?！究键c】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，

4、1試【解析】 考察植樹問題，200÷4=50（段），（50+1）×2=102【答案】【例 3】 一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹91棵，每兩棵之間的距離是5米，求公路長是多少米？【考點】直線上的植樹問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 根據(jù)植樹問題得到：（米）【答案】米【例 4】 貝貝要去外婆家，他家門口有一根路燈桿，從這根桿開始，他邊走邊數(shù)，每50步有一根路燈桿，數(shù)到第10根時剛好到外婆家，他一共走了_步【考點】直線上的植樹問題 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽【解析】 他從家門口的電線桿開始走，到第10根電線桿的時候剛好走了9段，每段需要走50

5、步，所以共走的步子為：（步）【答案】步【例 5】 校門口放著一排花，共盆從左往右數(shù)茉莉花擺在第，從右往左數(shù)，月季花擺在第， 一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間算一算，一串紅花一共有多少盆？【考點】直線上的植樹問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 從左往右數(shù)茉莉花擺在第，那么從右往左數(shù)茉莉花就是第：（盆）花，從右往左數(shù)，月季花擺在第，從左往右數(shù)月季花就是第：（盆）花，一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間，一串紅花一共有：（盆）【答案】盆【例 6】 從小熊家到小豬家有一條小路，每隔45米種一棵樹，加上兩端共種53棵；現(xiàn)在改成每隔60米種一棵樹求可余下多少棵樹?【考點】直線上的植樹問題 【難度

6、】2星 【題型】解答【解析】 該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系.從小熊家到小豬家的距離是：45×(53-1)=2340(米)，間隔距離變化后，兩地之間種樹：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下樹： 53-40=13(棵) ， 綜合算式為：53-45×(53-1)÷60+1=13(棵).【答案】棵【鞏固】 從甲地到乙地每隔40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根；現(xiàn)在改成每隔60米安裝一根電線桿求還需要多少根電線桿?【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系. 解：從甲地到乙地距離多少米?(米

7、) 間隔距離變化后，甲乙兩地之間安裝多少根電線桿?(根)，（根） 還需要下多少根電線桿?(根) 綜合算式：(根)【答案】根【例 7】 馬路的一邊，相隔8米有一棵楊樹，小強(qiáng)乘汽車從學(xué)?；丶?，從看到第一棵樹到第153棵樹共花了4分鐘，小強(qiáng)從家到學(xué)校共坐了半小時的汽車，問：小強(qiáng)的家距離學(xué)校多遠(yuǎn)？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 第一棵樹到第153棵樹中間共有（個）間隔，每個間隔長8米，所以第一棵樹到第153棵樹的距離是：（米），汽車經(jīng)過1216米用了4分鐘，1分鐘汽車經(jīng)過：（米）,半小時汽車經(jīng)過：（米），即小明的家距離學(xué)校米.【答案】米【鞏固】 馬路的一邊每相隔9米栽有一

8、棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹，問汽車每小時走多少千米？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.5分鐘汽車共走了：(米)，汽車每分鐘走：(米)，汽車每小時走：(米)(千米)列綜合式：(千米)【答案】千米【例 8】 一位老爺爺以勻速散步，從家門口走到第11棵樹用了11分鐘，這位老爺爺如果走24分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？（家門口沒有樹）【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 從家門口走到第11棵樹是走了11個間隔，走一個間隔所用時間是：11÷11=

9、1（分鐘），那么走24分鐘應(yīng)該走了：24÷1=24（個）間隔，所以老爺爺應(yīng)該走到了第24棵樹.【答案】棵【例 9】 晶晶上樓，從第一層走到第三層需要走36級臺階如果從第一層走到第六層需要走多少級臺階?(各層樓之間的臺階數(shù)相同)【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 題意的實質(zhì)反映的是一線段上的點數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系線段示意圖如下：每相鄰兩層樓之間有多少級臺階?(級)從第一層走到第六層共多少級臺階?(級)【答案】級【鞏固】 丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯，從一層開始比賽，丁丁到四層時，爸爸到三層，如此算來，丁丁到16層時，爸爸跑到了幾層？【考點】直線上的植樹問題 【難

10、度】2星 【題型】解答【解析】 丁丁實際跑了三層的距離，爸爸跑了兩層的距離，到16層需要跑15層的距離，所以丁丁跑了（個）三層的距離，爸爸同時跑了5個兩層的距離所以爸爸跑到了（層）【答案】層【例 10】 有一座高樓，小紅每上登一層需1.5分鐘，每下走一層需半分鐘，她從上午8：45開始不停地從底層往上走，到了最高層后又立即往下走，中途也不停留，上午9：17第一次返回底層。則這座樓共有_層。【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第12題【解析】 由題意，小紅從開始走到返回底層所用時間為（分鐘），上、下一層需要：（分鐘），所以樓梯數(shù)為（個），這座樓層數(shù)為

11、：（層）?！敬鸢浮繉印纠?11】 元宵節(jié)到了，實驗中學(xué)學(xué)校大門上掛了紅綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了21只，每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，問實驗中學(xué)學(xué)校的大門有多寬？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 一共掛了21只彩燈說明彩燈中間的間距有：21-120（個），每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，說明每個間距的長是：30÷215（分米），所以學(xué)而思學(xué)校的大門寬度為：15×20300（分米）【答案】分米【例 12】 有一個報時鐘，每敲響一下，聲音可持續(xù)3秒如果敲響6下，那么從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲

12、音結(jié)束，一共需要43秒現(xiàn)在敲響12下，從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要多長時間？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 每次敲完以后，聲音持續(xù)3秒，那么從敲完第一下到敲完第6下，一共經(jīng)歷的時間是（秒），而這之間只有（個）間隔，所以每個間隔時間是（秒），現(xiàn)在要敲響12下，所以一共經(jīng)歷的時間是11個間隔和3秒的持續(xù)時間，一共需要時間是：（秒）【答案】秒【例 13】 小明家的小狗喝水時間很規(guī)律，每隔5分鐘喝一次水，第一次喝水的時間是8點整，當(dāng)小狗第20次喝水時，時間是多少？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 第20次喝水與第1次喝水之間有(

13、個)間隔，因為小狗每隔5分鐘喝一次，所以到第20次喝水中間間隔的時間是：(分鐘)，也就是1個小時35分鐘，所以小狗第20次喝水時時間是：9時35分【答案】時分【鞏固】 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，六點時，5秒鐘敲完，那么十二點時，幾秒鐘才能敲完？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 六點時敲6下，中間共有5個間隔，所以每個時間間隔是（秒），十二點要敲12下，中間有11個時間間隔，所以十二點要用：（秒）才能敲完【答案】秒【例 14】 科學(xué)家進(jìn)行一項試驗，每隔5小時做一次記錄，做第12次記錄時，掛鐘時針恰好指向9，問做第一次記錄時，時針指向幾？ 【考點】直線

14、上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們先要弄清楚從第一次記錄到第十二次記錄中間經(jīng)過的時間是多少第1次到第12次有11個間隔：（小時）然后我們要知道55小時，時針發(fā)生了怎樣的變化時針每過12小時就會轉(zhuǎn)一圈回到原來的狀態(tài)，所以時針轉(zhuǎn)了4圈以后，又經(jīng)過了7個小時（小時）而這時時針指向9點，所以原來時針指向2點 【答案】點【例 15】 裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩

15、4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了16米中包含2米的個數(shù)：（個）剪去最后一段所用的天數(shù)：（天），所以裁縫第7天剪去最后一段【答案】天【鞏固】 一根木料在24秒內(nèi)被鋸成了4段，用同樣的速度鋸成5段，需要多少秒？【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 鋸的次數(shù)總比鋸的段數(shù)少1因此，在24秒內(nèi)鋸了4段，實際只鋸了3次，這樣我們就可以求出鋸

16、一次所用的時間了，又由于用同樣的速度鋸成5段；實際上鋸了4次，這樣鋸成5段所用的時間就可以求出來了所以鋸一次所用的時間：（秒），鋸5段所用的時間：（秒）【答案】秒【例 16】 有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處需用3分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼?【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 求鋸的次數(shù)屬植樹問題思路一根木料鋸成了3段，只要鋸次，鋸3根木料要次，問題隨之可求 解：一根木料要鋸成3段，共要鋸多少次?(次) 鋸開三根木料要多少次?(次) 鋸三根木料要多少時間?(分鐘) 綜合算式：(分鐘)或(分鐘)【答案】分鐘【例 17】 甲、乙、丙三人鋸?fù)瑯哟旨?xì)的木棍，分別領(lǐng)取

17、8米,10米,6米長的木棍，要求都按2米的規(guī)格鋸開勞動結(jié)束后，甲,乙,丙分別鋸了24, 25, 27段，那么鋸木棍速度最快的比速度最慢的多鋸 次【考點】直線上的植樹問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，3題【解析】 甲每鋸一根出（段）需要鋸（次）甲鋸24段需要鋸（次）乙每鋸一根出（段）需要鋸（次）甲鋸24段需要鋸（次）丙每鋸一根出（段）需要鋸（次）甲鋸24段需要鋸（次） 鋸的速度快的甲和丙比鋸的慢的乙多鋸次【例 18】 有一根 180厘米長的繩子，從一端開始每3厘米作一記號，每4厘米也作一記號，然后將標(biāo)有記號的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？【考點】直線上的植樹問題

18、【難度】3星 【題型】解答【解析】 每3厘米作一記號，共有記號： （個） 每4厘米作一記號，共有記號： （個） 其中重復(fù)的共有： （個） 所以記號共有： （個） 繩子共被剪成了： （段）【答案】段【例 19】 在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔5 厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少根？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個紅點相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個紅點而每隔30厘米可得到2個4厘米的短木棍最后（厘米）也可以得一個短木棍，故共有（根）

19、4厘米的短棍【答案】根【例 20】 甲、乙倆人對一根3米長的木棍涂色，首先甲從木棍端點開始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底然后，乙從木棍同一端點開始留出6厘米不涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底最后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為 厘米【考點】直線上的植樹問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 考慮長的一段木棍中，沒有被涂黑的部分長度總和為（如上圖），所以3米長的木棍中共有長未被涂黑【答案】厘米【例 21】 大頭兒子和小頭爸爸一起攀登一個有300級臺階的山坡，爸爸每步上3級臺階，兒子每步上2級臺階，從起點處開始，父子

20、倆走完這段路共踏了多少級不同的臺階？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 大頭兒子踏過的臺階數(shù)是：（級），小頭爸爸踏過的臺階數(shù)是（級），父子倆每（級）臺階要共同踏1級臺階，共重復(fù)踏了（級），所以父子倆共踏了：（級）【答案】級【例 22】 北京市國慶節(jié)參加游行的總?cè)藬?shù)有60000人，這些人平均分為25隊，每隊又以12人為一排列隊前進(jìn)排與排之間的距離為1米，隊與隊之間的距離是4米，游行隊伍全長多少米？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數(shù)，樹間的距離，求樹列的全長相當(dāng)逆解時要注意段數(shù)比樹的棵數(shù)少1

21、所以，每隊的人數(shù)是： (人) 每隊可以分成的排數(shù)是：(排) 200排的全長米數(shù)是： (米) 25個隊的全長米數(shù)是： (米) 25個隊之間的距離總米數(shù)是：(米) 游行隊伍的全長是： (米)【答案】米【例 23】 學(xué)而思學(xué)校三年級運(yùn)動員參加校運(yùn)動會入場式，組成的方塊隊(即每行每列都是6人)，前后每行間隔為2米他們以每分鐘40米的速度，通過長30米的主席臺，需要多少分鐘？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 運(yùn)用植樹問題的逆解思路，即前后每行間隔長×間隔數(shù)=方塊隊長方塊隊長： (米)，方塊隊通過主席臺行進(jìn)路程總長：(米)，方塊隊通過主席臺需要：(分鐘)，綜合算式：(分鐘)【答案】分鐘【鞏固】 一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共輛，每輛車長米，前后每輛車相隔米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛米，那么這列車隊要通過米長的檢閱場地，需要多少時間？【考點】直線上的植樹問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 車隊間隔共有(個)，每個間隔5米，所以，間隔的總長為(米)，而車身的總長為(米)，故