NEW匈牙利算法示例

1、.1匈牙利算法示例.2 （二）、解題步驟：（二）、解題步驟： 指派問題是指派問題是0-1 規(guī)劃的特例，也是運(yùn)輸問題的特例，規(guī)劃的特例，也是運(yùn)輸問題的特例，當(dāng)然可用整數(shù)規(guī)劃，當(dāng)然可用整數(shù)規(guī)劃，0-1 規(guī)劃或運(yùn)輸問題的解法去求規(guī)劃或運(yùn)輸問題的解法去求解，這就如同用單純型法求解運(yùn)輸問題一樣是不合算解，這就如同用單純型法求解運(yùn)輸問題一樣是不合算的。利用指派問題的特點(diǎn)可有更簡便的解法，這就是的。利用指派問題的特點(diǎn)可有更簡便的解法，這就是匈牙利法，即匈牙利法，即系數(shù)矩陣中獨(dú)立系數(shù)矩陣中獨(dú)立 0 0 元素的最多個數(shù)等于元素的最多個數(shù)等于能覆蓋所有能覆蓋所有 0 0 元素的最少直線數(shù)。元素的最少直線數(shù)。 第一

2、步：變換指派問題的系數(shù)矩陣（第一步：變換指派問題的系數(shù)矩陣（cij）為）為(bij)，使，使在在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即元素，即 (1) 從（從（cij）的每行元素都減去該行的最小元素；）的每行元素都減去該行的最小元素； (2) 再從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最再從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。小元素。.3 第二步：進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。第二步：進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。 在在(bij)中找盡可能多的獨(dú)立中找盡可能多的獨(dú)立0元素，若能找出元素，若能找出n個獨(dú)個獨(dú)立立0元素，就以這元素，就以這n個獨(dú)立個獨(dú)立0元素對應(yīng)解矩陣元素對應(yīng)解矩

3、陣(xij)中的元中的元素為素為1，其余為，其余為0，這就得到最優(yōu)解。找獨(dú)立，這就得到最優(yōu)解。找獨(dú)立0元素，常元素，常用的步驟為：用的步驟為： (1)從只有一個從只有一個0元素的行元素的行(列列)開始，給這個開始，給這個0元素加元素加圈，記作圈，記作 。然后劃去。然后劃去 所在列所在列(行行)的其它的其它0元素，記元素，記作作 ；這表示這列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮；這表示這列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。別人了。 (2)給只有一個給只有一個0元素的列元素的列(行行)中的中的0元素加圈，記作元素加圈，記作；然后劃去；然后劃去 所在行的所在行的0元素，記作元素，記作 (3)反復(fù)進(jìn)

4、行反復(fù)進(jìn)行(1)，(2)兩步，直到盡可能多的兩步，直到盡可能多的0元素都元素都被圈出和劃掉為止。被圈出和劃掉為止。.4 (4)若仍有沒有劃圈的若仍有沒有劃圈的0元素，且同行元素，且同行(列列)的的0元素至元素至少有兩個，則從剩有少有兩個，則從剩有0元素最少的行元素最少的行(列列)開始，比較這開始，比較這行各行各0元素所在列中元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇元素的數(shù)目，選擇0元素少的那列元素少的那列的這個的這個0元素加圈元素加圈(表示選擇性多的要表示選擇性多的要“禮讓禮讓”選擇性少選擇性少的的)。然后劃掉同行同列的其它。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸?fù)進(jìn)行，直元素。可反復(fù)進(jìn)行，直到所有到所有0

5、元素都已圈出和劃掉為止。元素都已圈出和劃掉為止。 （5）若）若 元素的數(shù)目元素的數(shù)目m 等于矩陣的階數(shù)等于矩陣的階數(shù)n，那么這指，那么這指派問題的最優(yōu)解已得到。若派問題的最優(yōu)解已得到。若m n, 則轉(zhuǎn)入下一步。則轉(zhuǎn)入下一步。 第三步：作最少的直線覆蓋所有第三步：作最少的直線覆蓋所有0元素。元素。 (1)對沒有對沒有的行打的行打號；號； (2)對已打?qū)σ汛蛱柕男兄兴泻柕男兄兴泻?元素的列打元素的列打號；號； (3)再對打有再對打有號的列中含號的列中含 元素的行打元素的行打號；號； .5 (4)重復(fù)重復(fù)(2)，(3)直到得不出新的打直到得不出新的打號的行、列為止；號的行、列為止； (5)對沒

6、有打?qū)]有打號的行畫橫線，有打號的行畫橫線，有打號的列畫縱線，號的列畫縱線，這就得到覆蓋所有這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)元素的最少直線數(shù) l 。l 應(yīng)等于應(yīng)等于m，若不相等，說明試指派過程有誤，回到第二步若不相等，說明試指派過程有誤，回到第二步(4)，另，另行試指派；若行試指派；若 lm n，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到以找到n個獨(dú)立的個獨(dú)立的0元素，為此轉(zhuǎn)第四步。元素，為此轉(zhuǎn)第四步。第四步：變換矩陣第四步：變換矩陣(bij)以增加以增加0元素。元素。在沒有被直線覆蓋的所有元素中找出最小元素，然后在沒有被直線覆蓋的所有元素中找出最小元素，然后打打各行都減去這最小

7、元素；打各行都減去這最小元素；打各列都加上這最小元各列都加上這最小元素（以保證系數(shù)矩陣中不出現(xiàn)負(fù)元素）。新系數(shù)矩陣素（以保證系數(shù)矩陣中不出現(xiàn)負(fù)元素）。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第二步。的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第二步。 .6例一：例一： 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119.7 9118713161491514410413152 241047501110062111302497.8 00102350960607130 2410475011100621113042.9 00102350960607130 010000010010

8、1000.10 有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時間如下表所示，問如何分派任務(wù)，可使總時間最少？間如下表所示，問如何分派任務(wù)，可使總時間最少？ 任務(wù)任務(wù)人員人員ABCD甲甲67112乙乙4598丙丙31104丁丁5982例二、例二、.11求解過程如下：求解過程如下：第一步，變換系數(shù)矩陣：第一步，變換系數(shù)矩陣：2142 289541013895421176)( ijc 0

9、673390245100954 01733402401004545第二步，試指派：第二步，試指派：找到找到 3 3 個獨(dú)立零元素個獨(dú)立零元素 但但 m m = 3 3 n = 4.12 第三步，作最少的直線覆蓋所有第三步，作最少的直線覆蓋所有0 0元素：元素：獨(dú)立零元素的個數(shù)獨(dú)立零元素的個數(shù)m等于最少直線數(shù)等于最少直線數(shù)l，即，即lm=3n=4； 第四步，變換矩陣第四步，變換矩陣( (bij) )以增加以增加0 0元素：沒有被直線覆元素：沒有被直線覆蓋的所有元素中的最小元素為蓋的所有元素中的最小元素為1 1，然后打，然后打各行都減去各行都減去

10、1 1；打；打各列都加上各列都加上1 1，得如下矩陣，并轉(zhuǎn)第二步進(jìn)行，得如下矩陣，并轉(zhuǎn)第二步進(jìn)行試指派：試指派： .13 6244251343000 0 00 0100001000011000得到得到4 4個獨(dú)個獨(dú)立零元素，立零元素， 所以最優(yōu)解所以最優(yōu)解矩陣為：矩陣為：06244251343 15 6244251343 .14練習(xí)：練習(xí)：115764戊戊69637丁丁86458丙丙9117129乙乙118957甲甲EDCBA費(fèi)費(fèi) 工作工作 用用人員人員.154347511576469637964589117129118957 71320363045201424052

11、63402-1 -2.16 5032015304310140305242402 5032015304310140305242402 .17 5032015304310140305242402 l =m=4 n=5.18 5032015304310140305242402 5033004203310240306231301.19 5033004203310240306231301 5033004203310240306231301.20 5033004203310240306231301 l =m=4 n=5.21 5033004203310240306231301 6044003202300230206130300.22 6044003202300230206130300 6044003202300230206130300 此問題有多個最優(yōu)解此問題有多個最優(yōu)解28.23 6044003202300230206130300 .24 60440