九年級圓的基礎(chǔ)知識點、經(jīng)典例題與課后習(xí)題

1、圓一：【知識梳理】 1.圓的有關(guān)概念和性質(zhì) (1) 圓的有關(guān)概念 圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓，其中定點為圓心，定長為半徑弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 （2）圓的有關(guān)性質(zhì) 圓是軸對稱圖形；其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦

2、所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論?；　雸A、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等 推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是直角；90”的圓周角所對的弦是直徑等圓：能

3、夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3）對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長） 2.與圓有關(guān)的角 （1）圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù) （2）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半 （3）圓心角與圓周角的關(guān)系： 同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 （4）圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四

4、邊形，叫圓內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形對角互補，它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角3. 點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點在圓上 <=> d=r;點在圓內(nèi) <=> d<r;點在圓外 <=> d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。4. 確定圓的條件:1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過三點作圓要

5、分兩種情況:(1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.5. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓

6、有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；d<r <=> 直線L和O相交.d=r <=> 直線L和O相切.d>r <=> 直線L和O相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條

7、件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.6. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且

8、每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 <=> d>R+r(2)兩圓外

9、切 <=> d=R+r(3)兩圓相交 <=> R-r<d<R+r (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 <=> d=R-r (R>r)(5)兩圓內(nèi)含 <=> d<R-r (R>r)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.7. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.8. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式:

10、 圓周長C=2R (R表示圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))弓形的面積公式:(如圖5)圖5(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時, (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時, 二、例題解析【例題1】如圖1，是的外接圓，是直徑，若，則等于（ ） A60&

11、#186; B50º C40º D30º 圖1 圖2 圖3【例題2】如圖2，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，若大圓半徑為10cm，小圓半徑為6cm，則弦AB的長為 cm【例題3】如圖3，ABC內(nèi)接于O，AB=BC，ABC=120°，AD為O的直徑，AD6，那么BD_【例題4】如圖4已知O的兩條弦AC，BD相交于點E，A=70o，c=50o，那么sinAEB的值為（） A. B. C. D. 圖4PBCEA（圖8）【例題5】如圖5，半圓的直徑，點C在半圓上，（1）求弦的長；（2）若P為AB的中點，交于點E，求的長 三、課堂練習(xí) 1、

12、如圖6，在O中，ABC=40°，則AOC 度CABS1S2BCAO 圖6 圖7 圖82、如圖7，AB是O的直徑，AC是弦，若ACO = 32°，則COB的度數(shù)等于 3、已知O的直徑AB=8cm，C為O上的一點，BAC=30º，則BC=_cm.4、如圖8，已知在中，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則+的值等于 5、如圖9，O的半徑OA10cm，P為AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離為_cm。 圖96、如圖10，在O中，ACB=BDC=60°，AC=，（1）求BAC的度數(shù)； （2）求O的周長7、已知：如圖11，O的直徑AB與弦CD相交于，弧BC弧BD

13、，O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F(1)求證:CDBF(2)連結(jié)BC,若O的半徑為4,cosBCD=,求線段AD、CD的長 8、如圖12，在ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O與AC交于點D，過D作DFBC，交AB的延長線于E，垂足為F(1)求證：直線DE是O的切線；(2)當(dāng)AB=5，AC=8時，求cosE的值 圖12 四、經(jīng)典考題解析 1.如圖13，在O中，已知A CBCDB60 ，AC3，則ABC的周長是_. 圖13 圖14 圖152.“圓材埋壁”是我國古代九章算術(shù)中的問題：“今有圓材，埋在壁沖，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何”用數(shù)學(xué)語言可表述為如圖14，CD為O

14、的直徑，弦ABCD于點E，CE1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3.如圖15，已知AB是半圓O的直徑，弦AD和BC相交于點P，那么等于（ ） AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O的半徑是5，AB、CD為O的兩條弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB與CD之間的距離5.如圖16，在M中，弧AB所對的圓心角為1200，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點C是y軸與弧AB的交點。（1）求圓心M的坐標(biāo)；（2）若點D是弦AB所對優(yōu)弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積 圖16 五、課后訓(xùn)練 1.如圖1

15、7，在O中，弦AB=1.8cm，圓周角ACB=30 ，則 O的直徑等于_cm 圖17 圖18 圖192.如圖18，C是O上一點，O是圓心若C=35°，則AOB的度數(shù)為（ ） A35 B70 C105 D150 3.如圖19，O內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，則圖中和1相等的角有_ 4.在半徑為1的圓中，弦AB、AC分別是和，則 BAC的度數(shù)為多少？5.如圖20，弦AB的長等于O的半徑，點C在O上，則C的度數(shù)是_. 圖20 圖21 圖22 6.如圖21，四邊形 ABCD內(nèi)接于O，若BOD=100°，則DAB的度數(shù)為（ ） A50° B80° C100&#

16、176; D130°7.如圖22，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，點E在CD的延長線上，如果BOD=120°，那么BCE等于（ ） A30° B60° C90° D120°8.如圖，O的直徑AB=10，DEAB于點H，AH=2 （1）求DE的長； （2）延長ED到P，過P作O的切線，切點為C，若PC=22，求PD的長九年級數(shù)學(xué)圓練習(xí)題一、 填空題：（21分）1、 如圖，在O中，弦ABOC，則=_2、如圖，在O中，AB是直徑，則=_3、如圖，點O是的外心，已知，則=_BCOA（1題圖） （2題圖） （3題圖） （4題圖）4、如圖，AB是

17、O的直徑，弧BC=弧BD，則 （5題圖） （6題圖） （7題圖） 5、如圖，O的直徑為8，弦CD垂直平分半徑OA，則弦CD 6、已知O的半徑為2cm，弦AB2cm，P點為弦AB上一動點，則線段OP的范圍是 7、如圖，在O中，B=50º，C=20º，則BOC的=_二、解答題（70分）BD1、如圖，AB是O的直徑.若ODAC，與 的大小有什么關(guān)系？為什么？2、已知：如圖，在O中，弦AB=CD.求證：弧AC=弧BD；AOC=BOD3、如圖，已知：O中，AB、CB為弦，OC交AB于D，求證：（1）ODB>OBD，（2）ODB>OBC；4、已知如圖，AB、AC為弦，OMA

18、B于M，ONAC于N，MN是ABC的中位線嗎？5、已知如圖，AB、CD是O的直徑，DF、BE是弦，且DF=BE，求證：D=B6、已知如圖，AB是O的直徑，C是O上的一點，CDAB于D，CE平分DCO，交O于E，求證：弧AE=弧EB 7、如圖，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90°，以點C為圓心作C，半徑為r.(1)當(dāng)r取什么值時，點A、B在C外.(2)當(dāng)r在什么范圍時，點A在C內(nèi)，點B在C外.(2)當(dāng)r在什么范圍時，C與線段AB相切。三、計算下列各題：（40分） 1、如圖，已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC交AC于D，OD =，求BC的長；ABCDE2、如圖，在RtABC中，C90°，AC3，BC4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E，求AB、AD的長3、如圖，O的直徑AB和弦CD相交于點E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60°，求CD的長。4、如圖，在直徑為100 mm的半圓鐵片上切去一塊高為20 mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長. 5、如圖所示，已知矩形ABCD的邊。（1）以點A為圓心，4cm為半徑作A，則點B、C、D與A的位置關(guān)