復變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)ppt課件

1、出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁第第2 2章章 解析函數(shù)解析函數(shù)出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁解析函數(shù)是具有某種特性的復變函數(shù)，它是復分析研討的主要對象之一，本章首先給出復變函數(shù)導數(shù)的定義，然后引入解析函數(shù)的概念及判別函數(shù)解析的方法，最后討論初等解析函數(shù)及其性質(zhì)出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁 2.1解析函數(shù)的概念2.1.1復變函數(shù)的導數(shù)與微分(1)復變函數(shù)的導數(shù)把一元實變函數(shù)的導數(shù)概念方式推行到復變函數(shù)中來，就得到復變函數(shù)導數(shù)的概念.定義2.1設w=f(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復變函數(shù)，z0,z0+zD，假設極限存在，那么稱f(z)在點z0可導，這個極限值稱為f(z)在z0的導數(shù)

2、，記作出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁即式2.1意味著 0，=()0，使得當0|z|0，使得當0|zz0|0時，有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.1試證 在 內(nèi)可導證 ，由于故所以 可導，且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.2討論函數(shù) 的可導性解z0 ，由于當z=x+iy沿虛軸方向趨于z0=x0+iy0，即x=x0,yy時，由上式得當z=x+iy沿實軸方向趨于z0=x0+iy0，即y=y0,xx0時,所以f(z)=z在z0不可導，由z0的恣意性可知 在 上處處不可導.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2復變函數(shù)的微分下面將一元實變函數(shù)的微分概念推行到復變函數(shù)，得到定義2

3、.2設函數(shù)w=f(z)在點z0的某鄰域 內(nèi)有定義，A是一個復常數(shù)假設在N(z0)內(nèi)有其中 是關于z的高階無窮小，即 ， 那么稱函數(shù)w=f(z)在點z0可微，w的線性部分Az稱為函數(shù)w在點z0的微分，記為出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁特別是當w=z時，dz=z，于是式(2.2)可表示為容易證明，假設函數(shù)w=f(z)在點z0可導，那么一定在該點可微，反之亦然，并且微分與導數(shù)有如下關系：因此,導數(shù)也稱為微商出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁下面我們列出復變函數(shù)導數(shù)的運算法那么，其證明方法與微積分中方法類似.假設函數(shù)f(z)，g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導，那么在對恣意zD有設函數(shù)=g(z)在區(qū)域D內(nèi)

4、可導，w=f()在區(qū)域G內(nèi)可導，且對于D內(nèi)每一點z，函數(shù)值=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，那么對恣意zD有設w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導且f(z)0，G為w=f(z)的值域，假設z=(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上延續(xù)，那么z=(w)在G上可導，且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.1.2解析函數(shù)在很多實際和實踐問題中，需求研討的是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，下面給出定義.定義2.3假設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導，那么稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析；假設存在區(qū)域G，使得閉區(qū)域 ，且f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，那么稱f(z)在閉區(qū)域D上解析；假設函數(shù)w=f(z)在點 的某個鄰域內(nèi)解析，那么稱f(z)在點 處

5、解析顯然，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是它在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁假設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)或D內(nèi)的正那么函數(shù)，特別地，在全平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).函數(shù)w=f(z)的不解析點，稱為f(z)的奇點由例2.1知，函數(shù) 在 上可導，因此在 上的解析，從而是一個整函數(shù)由例2.2可知，函數(shù) 在 上處處不可導，因此,z在 上處處不解析，即 上一切點都是z的奇點.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.3調(diào)查函數(shù) 的可導性與解析性解由例2.1、例2.2知 在C 上可導， 在 上處處不可導，從而由導數(shù)的運算法那么

6、知，函數(shù)f(z)= 在z0時不可導.當z=0時,可得即 在z=0處可導綜上所述，函數(shù)f(z)= 僅在z=0可導，故在全平面C上處處不解析由復變函數(shù)的求導法可推出解析函數(shù)的以下性質(zhì):出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁定理2.1解析函數(shù)的和、差、積、商分母不為零仍是解析函數(shù).設函數(shù)=g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，w=f()在區(qū)域G內(nèi)解析，且 zD，函數(shù)值=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，那么fg(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.設w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)0，G為w=f(z)的值域，假設z=(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上延續(xù)，那么z=(w)在G上解析.由此可知，多項式是全平面上的解析函數(shù)；有理分式函數(shù)

7、其分子與分母是互質(zhì)多項式在分母不為零的點處是解析的出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.2C.-R.條件有例子闡明，即使u(x,y),v(x,y)在點(x,y)可微，甚至有延續(xù)偏導數(shù)也不能保證f(z)的可導性，比如函數(shù)f(z)= 的實部u(x,y)=x,虛部v(x,y)=y,它們在恣意一點(x,y)處都有恣意階延續(xù)偏導數(shù)，但由本章例2.2可知，復函數(shù)f(z)= 在恣意一點z=x+iy處都不可導.當函數(shù)f(z)可導時，它的實部與虛部并不是獨立的，而是有一定的依賴關系，由此可得到下述定理：出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁定理2.2f(z)=u(x,y)+i(x,y)在某點z=x+iy可導的充

8、分必要條件是u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微；在點(x,y)處有此時f(z)的導數(shù)為稱式(2.3)為柯西黎曼Cauch-Riemann方程，或簡稱為C.-R.條件出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁證必要性記z=x+iy，f(z+z)f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，假設f(z)在點z=x+iy可微，那么有其中 ，且 根據(jù)復數(shù)相等的意義，得出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁由此闡明u(x,y)與v(x,y)在點z=x+iy可微，并且在點z=x+iy有即滿足C.-R.條件式(2.3)充分性由于u(x,y)與v(x,y)在點z處可微，所以有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁

9、由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有將上式兩端同除以z，并讓z0，即得因此,函數(shù)f(z)在點z處可導且式2.4成立.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁下面例子闡明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處存在偏導數(shù)且滿足C.-R.條件，那么不能保證f(z)存在例2.4證明 的實部、虛部在點(0,0)處偏導數(shù)存在且滿足C.-R.條件，但f(z)在點z=0處不可導現(xiàn)實上，此時 v(x,y)=0，所以在點z=0處有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁即函數(shù) 在點z=0處滿足C.-R.條件式(2.3).但由于不存在，所以 在點z=0處是不可導由定義2.3及定理2.2，便可

10、得到復變函數(shù)f(z)解析的等價描寫出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)處處可微，且在D內(nèi)處處滿足C.-R.條件式(2.3)定理2.4假設u(x,y)與v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有延續(xù)偏導數(shù)，且在D內(nèi)滿足C.-R.條件式(2.3)，那么f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析例2.5判別以下函數(shù)的可導性與解析性，并在可導點處求出導數(shù).出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁解設w=u(x,y)+iv(x,y),此時u(x,y)=x,v(x,y)=y，故它們在C上處處不滿足C.-R.條件，

11、故w= 在C上處處不可導，處處不解析由于 在平面上處處可微且于是在直線 上 從而 在直線 上恣意一點 處可導，其導數(shù)為但 在C上處處不解析.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁當z0時， 都是可微函數(shù)且即滿足C.-R.條件，因此, 在區(qū)域C 0內(nèi)處處可導，從而在C 0內(nèi)處處解析，其導數(shù)為 出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.6設f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z)|等于常數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)也為常數(shù).證明設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iyD，由知|f(z)|=C(zD,C為常數(shù))，即有上式中兩端分別對x，y求偏導可得出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁由

12、于f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么在D內(nèi)有由式(2.5)、式(2.6)得留意出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁那么C=0時，即在D內(nèi)有 ，于是在D內(nèi)有u0,v0，故在D內(nèi)f(z)0；當C0時，那么齊次線性方程組(2.7)只需零解，即在D內(nèi)由C.-R.條件，在D內(nèi)也有從而在D內(nèi)u(x,y)，v(x,y)均為常數(shù)，所以在D內(nèi)f(z)是常數(shù)出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁 2.3初等函數(shù)本節(jié)討論復數(shù)域上的初等函數(shù)，它們是微積分中根本初等函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)的延拓特別要留意的是，復變初等函數(shù)與相應的實變函數(shù)在性質(zhì)上會有所不同，如指數(shù)函數(shù)ez具有周期性，正弦函數(shù)sin z和余弦函數(shù)cos z在定義域內(nèi)

13、不再有界等出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.3.1指數(shù)函數(shù)定義2.4設 ，那么由表示的復數(shù)w稱為z的指數(shù)函數(shù)，記為 對于實數(shù)z=x而言， 便是通常的實變數(shù)的指數(shù)函數(shù)；對于純虛數(shù)z=iy而言， ，這便是Euler公式，所以指數(shù)函數(shù)的定義是Euler公式的推行出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁指數(shù)函數(shù)具有以下幾個重要的性質(zhì)： 的定義域為有限復平面 ，且 是C上的解析函數(shù)，且(ez)=ez； ，有 是以2i為周期的周期函數(shù)；函數(shù) (w0,)把z平面上的寬度為2的帶形區(qū)域均映射為w平面上的角形區(qū)域G=C 負實軸及原點出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁證由于 ，故 依定義知：它們在全平面上處處

14、可微且滿足C.-R.條件，故 在 上處處解析，且設 依指數(shù)函數(shù)定義得同理可證第二個等式.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁現(xiàn)實上， 有設z=x+iy， ，那么由 ，可得 于是當y=y0時，有=y0，闡明它將z平面上的程度直線y=y0映射為w平面上的射線=y0；而當x=x0時，有 闡明它將z平面上的直線段“x=x0且y映射為w平面上的圓周 (圖2.1)出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁 圖2.1出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁當z平面上的動直線從y=0掃動到直線y=y0時，對應的像就在w平面上就從射線=0掃動到射線=y0.從而z平面上的帶形區(qū)域z|0Im zy0映射為w平面上的角形區(qū)域w

15、|0arg wy0特別地， 把z平面上的帶形區(qū)域z|Im z0時，主值支ln z=ln x，就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù).出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):對數(shù)函數(shù)w=Ln z的定義域為 0；對數(shù)函數(shù)w=Ln z是一個多值函數(shù)，并且恣意兩個值之間相差2i的整數(shù)倍；對數(shù)函數(shù)w=Ln z的恣意一個單值分支 都在區(qū)域 G= 負實軸及原點內(nèi)解析，且即 為對數(shù)函數(shù)w=Ln z的第k個單值解析分支;出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁證由對數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)、顯然成立.由于z=ew在區(qū)域 內(nèi)解析，且(ew)=ew0，G= 負實軸及原點為函數(shù)z=ew(wDk)的值域見指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，又每個wk=Ln

16、 z)k是z=ew的單值反函數(shù)，且在區(qū)域G內(nèi)延續(xù)，由定理2.1的第條結(jié)論知：wk=Ln z)k在區(qū)域G內(nèi)解析，且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁由對數(shù)函數(shù)的定義知恒等式成立，另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得故于是式2.11的第一個等式得證，同理可證第二個等式成立.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.7求Ln(1)和2 Ln i的值. 解注上例闡明， 普通而言，對恣意非零復數(shù)z及正整數(shù)n，等式不再成立，這是與實變函數(shù)的對數(shù)性質(zhì)不同之處.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.8求Ln z在z=1取值4i的那一支在z=i時的值.解Ln 1=ln|1|+i(arg 1+2k)=2ki(k

17、)，要使Ln 1=4i，即2ki=4i，故k=2，所以出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.3.3冪函數(shù)定義2.6設a 0，由 表示的復數(shù)w稱為復變量z的冪函數(shù).記為 ,即 ，冪函數(shù)的性質(zhì)與a有關，詳述如下： 假設 ，那么 就是函數(shù)z自乘n次得到的函數(shù)，它是 上單值解析函數(shù)，且 假設 ，那么 它是 0上的單值解析函數(shù)，且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁假設 (p,q為互質(zhì)的整數(shù))，那么 是 0上的q值函數(shù)，它在區(qū)域G= 負實軸及原點內(nèi)可分成q個單值解析分支且對每個k有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁特別地，假設 ，那么 就是根式函數(shù) ，它在區(qū)域G= 負實軸及原點內(nèi)有n個單值解析分支

18、且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁假設a是無理數(shù)或虛數(shù)時，za是定義域為 0的無窮多值函數(shù)，它在區(qū)域G= 負實軸及原點內(nèi)可以分出無窮多個單值解析分支：且出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁證、的證明類似，我們只證明.現(xiàn)實上，由冪函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)的周期性及運算性質(zhì)有再由導數(shù)的運算法那么及例2.1可知式(2.12)成立.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁由冪函數(shù)的定義它只在k=0,1,，q1時才取不同的值，故式(2.13)成立.由于 在 上解析，Ln z在G= 負實軸及原點內(nèi)可分成單值解析分支Ln z)k，故復合函數(shù)在 負實軸及原點內(nèi)可分成單值解析分支出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁

19、再由復合函數(shù)求導法那么，對每個k(=0,1,q1)有和恣意的zG= 負實軸及原點有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁由于 當a是無理數(shù)或虛數(shù)時， 對于不同的 取不同的值，此時式(2.15)有無窮多個值，再由復合函數(shù)求導法那么得證畢.綜上所述，當a是整數(shù)時， 是單值的；當a是其他情形時， 是多值的.此時我們稱za中對應于Ln z的主值支的那一支 為 的主值支.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁例2.9求 的值解例2.10求 的主值解由于 其主值為出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)定義2.7規(guī)定并分別稱為復變數(shù)z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)顯然，當z=x是實數(shù)時，由Eul

20、er公式知，以上定義的三角函數(shù)與實的三角函數(shù)定義一致.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的根本性質(zhì)：sin z，cos z都是 上單值解析函數(shù)，且有sin z和cos z都是以2為周期的周期函數(shù)，即sin z是奇函數(shù)，cos z是偶函數(shù)，即 有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁在 上成立的三角恒等式在 內(nèi)都成立，如：sin z=0的零點為 cos z=0的零點為在 內(nèi)，|sin z|和|cos z|都是無界的出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁證明由指數(shù)函數(shù)的解析性質(zhì)及解析函數(shù)的運算性質(zhì)知，sin z，cos z都是C上單值解析函數(shù)，且同理可證另一個.由于 都以2i為周期

21、，故 都以2為周期，于是由定義2.7知sin z和cos z都以2為周期.直接由定義2.7容易驗證.在此僅證第一個等式.出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁現(xiàn)實上，由定義由定義2.7，sin z=0的充要條件為 設z=+i，那么 ,故 從而 類似可得cos z=0的零點為出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁現(xiàn)實上， 可見，當|y|無限增大時，|cos z|趨于無窮大同理可證|sin z|也是無界的其他三角函數(shù)如下：它們都在分母不為零處解析，且有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁定義2.8規(guī)定并分別稱為復變數(shù)z的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割、雙曲余割函數(shù)出版社 理工分社復變

22、函數(shù)與積分變換頁由定義2.7，定義2.8知，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)可以互化，例如經(jīng)過計算容易得到 等等，從而由三角函數(shù)的性質(zhì)可以直接得到雙曲函數(shù)的性質(zhì)，例如，由可見sinh z為奇函數(shù)，同理可得cosh z為偶函數(shù)；且都是以2i為周期的周期函數(shù)；并有關系式等，此外，sh z與ch z都是 上的解析函數(shù)，且有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁2.3.5反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù)稱為反三角函數(shù)，雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)我們知道三角函數(shù)與雙曲函數(shù)均是經(jīng)過指數(shù)函數(shù)來表達的，而指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，因此反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)應該可經(jīng)過對數(shù)函數(shù)來表達我們先從反正弦函數(shù)開場假設z=sin w，那么稱w為z的反正弦函數(shù)，記作w=Arcsin z出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁下面來推導Arcsin z的表達式由定義2.7，有即解之得即從而有出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁同理可得，反余弦函數(shù)w=Arccos z的表達式反正切函數(shù)Arctan z的表達式反余切函數(shù)Arccot z的表達式出版社 理工分社復變函數(shù)與積分變換頁類似地，可以推導出一切反雙曲函數(shù)的表達式，詳細地有反雙曲正弦函數(shù)Arcsinh z的表達式 反雙曲余弦函數(shù)Arccosh z的表達式 反雙曲正切函數(shù)Arctanh z的表達式反雙曲余切