第七章線性變換總結(jié)篇(高等代數(shù))

1、第 7章 線性變換7.1知識(shí)點(diǎn)歸納與要點(diǎn)解析一線性變換的概念與判別1.線性變換的定義數(shù)域上的線性空間的一個(gè)變換稱為線性變換，如果對(duì)中任意的元素和數(shù)域中的任意數(shù)，都有：，。注：的線性變換就是其保持向量的加法與數(shù)量乘法的變換。2.線性變換的判別設(shè)為數(shù)域上線性空間的一個(gè)變換，那么：為的線性變換3.線性變換的性質(zhì) 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，為的線性變換，。性質(zhì)1. ;性質(zhì)2. 若線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)。性質(zhì)3. 設(shè)線性變換為單射，如果線性無(wú)關(guān)，那么 也線性無(wú)關(guān)。注：設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是中的兩個(gè)向量組，如果：記：于是，若，是的一組基，是的線性變換， 是中任意一組向量，如果： 記：那么：設(shè)，是矩陣的列向

2、量組，如果是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，那么就是 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，因此向量組的秩等于秩。4. 線性變換舉例（1）設(shè)是數(shù)域上的任一線性空間。零變換： ； 恒等變換：。 冪零線性變換：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，如果存在正整數(shù)，使得，就稱為冪零變換。 冪等變換：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，如果，就稱為冪等變換。（2）,任意取定數(shù)域上的一個(gè)級(jí)方陣 ，令：。（3），。（4），是中一固定矩陣，。二線性變換的運(yùn)算、矩陣1. 加法、乘法、數(shù)量乘法（1） 定義： 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的兩個(gè)線性變換，定義它們的和、乘積分別為：對(duì)任意的 ，任取，定義數(shù)量乘積為：對(duì)任意的的負(fù)變換為：對(duì)任意的則、與都是的

3、線性變換。（2）=為的線性變換，按線性變換的加法和數(shù)乘運(yùn)算做成數(shù)域上的維線性空間。2. 線性變換的矩陣（1）定義：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的線性變換，是的一組基，如果：那么稱矩陣為線性變換在基下的矩陣。此時(shí)： （2）線性變換的和、乘積、數(shù)量乘積、逆變換、負(fù)變換及線性變換多項(xiàng)式的矩陣：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的一組基，設(shè)它們?cè)谙碌木仃嚪謩e為。1）， 是數(shù)域上的線性空間到數(shù)域上的線性空間的同構(gòu)映射，因此。 2）可逆可逆3）、與在基下的矩陣分別為與； 任取，在基下的矩陣為； 若為可逆線性變換，則在基下的矩陣為； 設(shè)為數(shù)域上的任一多項(xiàng)式，那么（為的恒等變換）在基下的矩陣為：。三特征值、特征向量與對(duì)角矩

4、陣1. 矩陣的特征值與特征向量（1）矩陣的特征多項(xiàng)式：設(shè)為級(jí)復(fù)方陣，將多項(xiàng)式稱為的特征多項(xiàng)式。注： 1）若，則：2) 將稱為矩陣的特征矩陣，稱為矩陣的特征方程。（2） 定義：級(jí)方陣的特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的所有根都叫做其特征值（根），設(shè)是的特征值，齊次線性方程組的每個(gè)非零解都叫做矩陣的屬于其特征值的特征向量。（3）求法：1）求在復(fù)數(shù)域上的所有根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）；2）對(duì)解齊次線性方程組，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系（秩），則矩陣的屬于特征值的全部特征向量為，其中為不全為零的任意常數(shù)（復(fù)數(shù)）。（4） 重要結(jié)論：1）設(shè)是的特征值，是的屬于其特征值的特征向量，為一復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式。 為的特征值，為的屬于特征值的特征向

5、量； 如果還是可逆矩陣，那么與分別為和的特征值，為的屬于特征值的特征向量，為的屬于特征值的特征向量， 若是矩陣的全部特征值，那么就是的全部特征值，如果還是可逆矩陣，則為的全部特征值，為的全部特征值；2）若是矩陣的全部特征值，那么，。2. 線性變換的特征值與特征向量（1）定義：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，若存在，使得，就稱為的一個(gè)特征值，為的一個(gè)屬于特征值的特征向量。（2）線性變換的特征多項(xiàng)式設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，任取的一組基，設(shè) 在該基下的矩陣為，稱矩陣為的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式，記為，即線性變換的特征多項(xiàng)式為其在任意基下矩陣的特征多項(xiàng)式。（3）求法：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的

6、線性變換。1）取定的一組基，求出在該基下的矩陣；2）求在中的所有根（，重根按重?cái)?shù)計(jì)算，且表示無(wú)特征值）。3）若，對(duì)解齊次線性方程組，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系（秩），則線性變換的屬于特征值的全部特征向量為，其中為中不全為零的任意常數(shù)。3. 矩陣相似（1）定義：設(shè)是數(shù)域上的兩個(gè)級(jí)方陣，如果存在數(shù)域上的級(jí)可逆矩陣，使得，就稱矩陣相似于矩陣，記為。（2）性質(zhì)：1）矩陣相似是等價(jià)關(guān)系，即：設(shè)都是級(jí)方陣，那么：； 若，那么； 若且，則。2）若，那么，因此矩陣與矩陣 有相同的特征值，相同的跡（），相同的行列式（）。3）兩個(gè)實(shí)對(duì)稱陣相似它們有相同的特征值。（3）有限維線性空間上的線性變換在不同基底下的矩陣彼此相似。（

7、4）若，那么。4. 線性變換與矩陣可對(duì)角化（1）矩陣可對(duì)角化1）設(shè)是級(jí)方陣，如果存在級(jí)可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，則稱可對(duì)角化。2）級(jí)方陣可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。3）如果級(jí)方陣有個(gè)不同的特征值，則可對(duì)角化。4）設(shè)是級(jí)方陣的所有不同的特征值，稱為的代數(shù)重?cái)?shù)；稱秩為的幾何重?cái)?shù)；級(jí)方陣可對(duì)角化對(duì)都有的代數(shù)重?cái)?shù)=的幾何重?cái)?shù)。注：1. 設(shè)齊次線性方程組的解空間為，則2. 稱為級(jí)方陣的屬于特征值的特征子空間，那么（2）線性變換可對(duì)角化1） 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，如果存在的一組基，使得 在該基下的矩陣為對(duì)角陣，就稱可對(duì)角化。 2）數(shù)域上的維線性空間的線性變換可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。3）設(shè)

8、是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，如果有個(gè)不同的特征值，則可對(duì)角化。 4）設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，在的一組基下的矩陣為， 設(shè)是級(jí)方陣的所有不同的特征值。 若，那么： 可對(duì)角化對(duì)都有的代數(shù)重?cái)?shù)=的幾何重?cái)?shù)。 若不全在數(shù)域中，則不可對(duì)角化。注：的幾何重?cái)?shù) =，其中為的屬于特征值 的特征子空間。四線性變換的值域與核 1.定義：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，將，分別稱為線性變換的核與值域（與也分別記為與）。2.線性變換的秩與零度： 與都是的子空間，將 與分別稱為的秩和零度。3. 有限維線性空間的線性變換的值域與核設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的線性變換，為的一組基， 在該基下的矩陣為，秩，。1）

9、是齊次線性方程組的解。 2）若是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么（其中）就是的一組基，于是： 因此的秩和零度為。 3）于是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組就是的一組基，而的秩等于秩=，所以，即的秩為秩=。4）。3. 求法：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的線性變換。1）的求法： 取定的一組基，求出在該基下的矩陣； 解齊次線性方程組，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系（秩）； 令，得的一組基， 2）的求法： 取定的一組基，求出在該基下的矩陣； 設(shè)矩陣的列向量組為，求出的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組就得到的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，就是的一組基。 五不變子空間1. 定義：設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，是的子空間，如果對(duì)，都有（即），就稱是的不變子空間，也稱-

10、子空間。2. 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，那么與都是的任一線性變換的不變子空間。3. 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，是的任意一個(gè)特征值，那么的特征子空間都是的不變子空間。4. 線性變換的循環(huán)子空間：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，任取，必存在正整數(shù)，使得線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，令，則是的不變子空間，稱為的循環(huán)子空間。5. 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的線性變換，是的不變子空間， ，取的一組基，將其擴(kuò)充為的一組基，那么在該基下的矩陣為，其中為在的基下的矩陣。六若爾當(dāng) (Jordan) 標(biāo)準(zhǔn)形 1.若爾當(dāng)塊與若爾當(dāng)形矩陣：1）若爾當(dāng)塊：形式為 的矩陣稱為若爾當(dāng)塊，其中為復(fù)數(shù)。 2）若爾當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角陣稱為若爾