高中數(shù)學(xué)典型例題剖析導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、一、知識導(dǎo)學(xué)1.瞬時變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時變化率。2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時，趨近于常數(shù)c?？捎梅枴啊庇涀鳎寒?dāng)時，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

2、：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑難知識導(dǎo)析 ,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪

3、個變量對哪個變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤，如實(shí)際上應(yīng)是。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計算起來就復(fù)雜了。導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動的瞬時速度。對導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識，應(yīng)給予足夠的重視。4.表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。由于

4、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率。（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知,則.錯因：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯解為:.正解：設(shè),則.例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？錯解：。分析：分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo) . 解： f(x)在x=1處不可導(dǎo).注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于

5、0。點(diǎn)評：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).例3求在點(diǎn)和處的切線方程。錯因：直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。分析：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點(diǎn)的方法求切線解：即過點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：點(diǎn)評： 要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法

6、求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)例4求證：函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對函數(shù)求導(dǎo)后，再進(jìn)行論證與求解. 解：（1），即對函數(shù)定義域內(nèi)的任一，其導(dǎo)數(shù)值都小于，于是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1.（2）令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點(diǎn)分別為與，切線方程分別為或。點(diǎn)評：在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點(diǎn)，而切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是的導(dǎo)數(shù)值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

7、求出了切點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實(shí)根，則所求的切線就有多少條. 例5已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點(diǎn)為，求證： ；若，則分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 . 解：（1）切線的方程為即.（2）依題意，切線方程中令y=0得， 由知，例6求拋物線 上的點(diǎn)到直線的最短距離. 分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn)到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時的切點(diǎn)到直線的距離即為本題所求. 解：根據(jù)題意可知，與直線 xy2=0平行

8、的拋物線y=x2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（），那么, 切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy2=0的距離， 拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為.四、典型習(xí)題導(dǎo)練在處不可導(dǎo)，則過點(diǎn)處，曲線的切線（ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù)是_.，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.6若過兩拋物線和的一個交點(diǎn)為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).一、 知識導(dǎo)學(xué)（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且若對附近的

9、所有的點(diǎn)都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲?，稱為極大（?。┲迭c(diǎn).（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)。求方程的根.求方程的根.檢驗(yàn)在方程的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點(diǎn)的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.（2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識導(dǎo)析1.在

10、求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點(diǎn)處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點(diǎn)不是的駐點(diǎn).(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有，即點(diǎn)是的駐點(diǎn)，但從在上為增函數(shù)可知，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實(shí)際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是

11、初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（小）值（如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（小）值。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用上較為簡便，省去了討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求函數(shù)在端點(diǎn)處的值，以及同函數(shù)在極值點(diǎn)處的值進(jìn)行比較等步驟.2.極大（小）值與最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（小）值

12、也不一定是極大（小）值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知曲線及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程.錯解：，過點(diǎn)的切線斜率，過點(diǎn)的曲線的切線方程為.錯因：曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點(diǎn)湊巧在曲線上，求過點(diǎn)的切線方程，卻并非說切點(diǎn)就是點(diǎn)，上述解法對求過點(diǎn)的切線方程和求曲線在點(diǎn)處的切線方程，認(rèn)識不到位，發(fā)生了混淆.正解：設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線斜率，又，。點(diǎn)在曲線上，代入得化簡，得，或.若，則，過點(diǎn)的切線方程為；若，則，過點(diǎn)的切線方程為過點(diǎn)的曲線的切線方程為或例

13、2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.錯解：在上是減函數(shù)，在上恒成立，對一切恒成立，即，.正解:，在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，.例3當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點(diǎn)評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?解 ： 設(shè)BD之

14、間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為為:+,().對該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn).由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運(yùn)費(fèi)最省.點(diǎn)評： 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單.一般情況下,對于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)

15、、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.例5函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對滿足11的一切的值，都有0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線3只有一個公共點(diǎn).解：（1）由題意 令，對，恒有，即 即解得故時，對滿足11的一切的值，都有.（2）當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)當(dāng)時，列表：極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn).當(dāng)時，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是.例6若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動，

16、桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)處有最大的照度，只需求的極值就可以了.解：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為時，點(diǎn)的照度為最大. （0，）+-點(diǎn)評：在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得=0且在該點(diǎn)兩側(cè)，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最大（小）值點(diǎn).四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知函數(shù)，若是的一個極值點(diǎn)，

17、則值為 （ ）A2 B.-2 C.在處有極值為10，則=.3給出下列三對函數(shù)：，；其中有且只有一對函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是，.4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點(diǎn)引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達(dá)式；（2）求的最大值.一、知識導(dǎo)學(xué)1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，（1）中的稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作或.函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間

18、上每點(diǎn)都可微，則稱為在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在.其中叫做的一個原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析1.定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候?yàn)榱私忸}的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對每個小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點(diǎn)或是右端點(diǎn).3）求極限的時候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因?yàn)?3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進(jìn)行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進(jìn)行運(yùn)算。解；設(shè)，則= =由微積分基本定理