有限區(qū)間上含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題一課的教學策略研究

1、“有限區(qū)間上含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題”一課的教學策略研究 上海市桐柏高級中學 劉國友一、本課例教學策略的設(shè)計背景（一）以往課堂教學的弊病我國的課堂教學長期以來形成的特點是：以教師的教為本位，教師講，學生練，學生圍繞教師轉(zhuǎn)，學生失去了學習過程中的自主性和主動性；以書本知識為本位，學生死記數(shù)學定理、公式，機械地模仿教科書上解決問題的方法，忽視了師生之間、生生之間應(yīng)有的合作學習與情感交流，喪失了學習過程中的情感性和發(fā)展性；以靜態(tài)教案為本位，教師對教材、教案的認識過程代替了學生對學習內(nèi)容的認知過程，學生只能被動適應(yīng)，喪失了學習過程中的能動性和創(chuàng)造性。（二）時代對教師教學理念轉(zhuǎn)變的要求心理學、教育學、社

2、會學、時代的發(fā)展，要求數(shù)學教育注重讓學習者根據(jù)自己的經(jīng)驗基礎(chǔ)進行建構(gòu)來學習數(shù)學。同樣，數(shù)學教師不但要向?qū)W習者傳授正規(guī)的外在知識，更重要的是激發(fā)學生主動學習，更應(yīng)該為學生設(shè)計一種動態(tài)的、能夠探索的、實驗和體驗的數(shù)學情境。我們的原則應(yīng)該是：第一，我們必須非常細心的對待研究中的結(jié)論，不要隨意跳過結(jié)論對學生學習過程和結(jié)果作錯誤的推斷。第二，我們應(yīng)該精心設(shè)計教學內(nèi)容，為學生真正理解或應(yīng)用這些內(nèi)容提供豐富的平臺。我們應(yīng)該認識到，不存在任何內(nèi)容能保證學生將知識或能力，從一種情境遷移到另一種情境，學生必須有效的積累那些知識或能力。上海二期課改不斷深入，新課程標準提出“以人為本，以學生發(fā)展為本”的教學理念，突出

3、了學生學習的自主性、創(chuàng)新精神、實踐能力以及終身學習的能力的培養(yǎng)。身處改革大潮的我們急需轉(zhuǎn)變自己的教學理念，要為學生今天的學習服務(wù)，又要為學生明天的可持續(xù)發(fā)展奠基。（三）按照“三個階段、兩次反思”的“行動教育”模式開展課堂教學策略研究 我們在日常教學實踐中往往會遇到各種各樣的問題或困惑，尤其是新理念與學生實際之間的差距。我們迫切需要更加廣泛的、深入的溝通與交流，需要對課堂教學進行現(xiàn)場指導(dǎo)和幫助，需要通過具體的教學設(shè)計案例，讓專家、教研員與我們共同參與校本教研。按照“三個階段、兩次反思”的“行動教育”模式開展課堂教學策略研究，從課程目標的確定、教學內(nèi)容的組織、教學策略的選擇、教學情景的設(shè)計、學生自

4、主學習設(shè)計以及教學評價應(yīng)用等構(gòu)成教學設(shè)計的基本環(huán)節(jié)著手，進行系統(tǒng)的教學設(shè)計。通過以課例為載體，以理念學習、情景設(shè)計、行為反思為平臺，強調(diào)專業(yè)引領(lǐng)和行為跟進的操作系統(tǒng)來促進我們的專業(yè)水平的發(fā)展。本課例就是在特級教師何維安老師和區(qū)數(shù)學教研員及本校數(shù)學教師的全程指導(dǎo)和幫助下，按照“三個階段、兩次反思”的“行動教育”模式開展的課堂教學策略研究。（四）本堂課教學設(shè)計的知識背景 高中數(shù)學教學中，分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的運用是學生學習的能力要求的重點和難點，而這一類問題在二次函數(shù)的最值問題研究中尤其突出。教學內(nèi)容方面，鑒于學生的實際水平，選擇了三類問題研究：函數(shù)的定義域區(qū)間中含有參數(shù)的問題，和函數(shù)解析

5、式的系數(shù)中含有參數(shù)分別導(dǎo)致二次函數(shù)對稱軸不固定與開口方向不固定兩類問題。本教學課題的教學目的就在于如何讓學生自己體會分類討論的目的和原則，體會運用數(shù)形結(jié)合思想方法的必要性和優(yōu)越性，培養(yǎng)他們自覺運用這兩種思想方法的能力，以凸現(xiàn)數(shù)學學習的本質(zhì)，注重學生對數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟。（五）現(xiàn)代信息技術(shù)所提供的硬件背景 現(xiàn)代信息技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，對數(shù)學課堂教學產(chǎn)生了重大影響?，F(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用對于改善數(shù)學課堂教學過程，幫助學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)和提高數(shù)學應(yīng)用能力，改進學習方式起到了重要作用。本堂課充分使用多媒體技術(shù)來展示相應(yīng)函數(shù)圖像的變化，以運動的觀念來揭示問題的本質(zhì)，使數(shù)學抽象的內(nèi)容直觀化。二、本課

6、例的實施與教學研究（一）“有限區(qū)間上含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題”一課的教學設(shè)計教學目標：1掌握定義在變化區(qū)間上的一元二次函數(shù)最值的求解方法； 2掌握系數(shù)含參數(shù)的一元二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的求解方法； 3加深學生運用分類討論和數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的體驗； 4通過學生自己的探索解決問題，增強其學習數(shù)學的興趣和信心。教學重點：含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值問題的求解；加深學生運用分類討論與數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的體驗。教學難點：分類討論與數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的運用。教學過程：教學內(nèi)容教師活動學生活動一 復(fù)習一元二次函數(shù)最值的求法。1 沒有限定區(qū)間的情況。2 有限定區(qū)間的情況。提問一：我們已復(fù)習了哪些一元二

7、次函數(shù)求最值問題？請同學指出類型和求解方法。 回答一：兩種情況，分別為沒有限定區(qū)間的情況和有限定區(qū)間的情況。前者用配方法即可，后者先配方，再借助圖像來觀察函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值。二 研究定義在變化區(qū)間上的一元二次函數(shù)最值問題的求解。例1 已知函數(shù) ，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，求函數(shù)的最值；（3）若，求函數(shù)的最小值；（4），求函數(shù)的最大值。 給出例1。借助（1）（2）復(fù)習，請同學口頭回答解法。提問二：此（3）題與（1）（2）題有什么聯(lián)系和區(qū)別？提示后請同學們完成（3）題。允許討論。其中請兩位同學在黑板上分別完成（3）（4）題的解答。教師巡視，若多數(shù)同學感到困難，則

8、再提示要不要通過圖像來研究。學生完成后講評。提問三：請同學指出分類討論的依據(jù)，并對問題類型歸納。讀題后思考（1）（2）題，口頭回答解法?；卮鸲憾际且辉魏瘮?shù)求最值的問題，但（3）題中函數(shù)的定義域（區(qū)間）是變化的。區(qū)間變化，函數(shù)的最值相應(yīng)變化。故要進行分類討論。先獨立思考，有困難再討論，最后完成解答?；卮鹑鹤钚≈担簩Υ藚^(qū)間是否有函數(shù)的對稱軸穿過進行討論；最大值對此區(qū)間的兩個端點離對稱軸的遠近討論。三 研究系數(shù)中含有參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上最值問題的求解。例2 已知，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。例3 已知，求函數(shù)的最值。當，；當，；當，。給出例2和例3。提示同學們注意這兩道題和例1的聯(lián)系與區(qū)別。

9、請同學們探索解答。請兩位同學在黑板上分別完成例2和例3解答。 教師巡視指導(dǎo)。學生完成后，教師利用課件講評。提問四：請同學指出分類討論的劃分依據(jù)；請同學思考分類討論的層次；請同學對問題類型作出歸納。請同學體會函數(shù)圖像在解題過程中的作用。思考題目的特點和上題的區(qū)別獨自探索與小組討論相結(jié)合完成例題解答。回答四：參數(shù)取值導(dǎo)致函數(shù)類型不同。對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系不同導(dǎo)致函數(shù)單調(diào)性及最值情況的不同。系數(shù)中含有參數(shù)。數(shù)形結(jié)合四 總結(jié)。本堂課主要研究了兩類一元二次函數(shù)求最值問題。數(shù)學思想方法： 提問五：請同學們總結(jié)，我們本堂課研究了哪些問題的求解？用到了哪些數(shù)學思想方法？回答五：一是在變化區(qū)間上的一元二次函數(shù)最

10、值問題，二是系數(shù)中含有參數(shù)的一元二次函數(shù)最值問題。有分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法五思考題。1 函數(shù)的最值。2 求函數(shù)的最小值。3 已知，若函數(shù)在上的最大值為，最小值為，又已知函數(shù)，（1）求的表達式；（2）指出的單調(diào)區(qū)間，并求出的最大值和最小值。（二）課堂教學理念的轉(zhuǎn)變1課堂教學內(nèi)容重點的轉(zhuǎn)變 在以往的教學中，我們往往關(guān)注教師對知識的傳授和學生對知識的與獲得。例如，在本堂課的教學中，會把學生是否掌握“有限區(qū)間上含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題”這一知識問題作為教學是否成功的唯一標準。在一開始教學設(shè)計時對教學目標的設(shè)計就是如此。但學生知識的獲得，必須經(jīng)過其主動的探究，體會探究過程的每個環(huán)節(jié)，才能對問題有深刻

11、地認識，只有充分的調(diào)動學生的認知準備，特別是對數(shù)學思想方法的學習，更需要學生自己在探究過程中深刻體會，以學生的親身體驗主動建構(gòu)新知識，才能使其使用這一思想方法成為一種自覺的行為，這種學習才是有效的。所以，本堂課的能力目標改為加深學生運用分類討論和數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的體驗，情感目標改為通過學生自己的探索解決問題，增強其學習數(shù)學的興趣和信心，并在課堂教學中予以重點關(guān)注。2教學任務(wù)與問題情境創(chuàng)設(shè)的要求課堂教學總是圍繞某些問題（任務(wù)）展開的，而教學任務(wù)和問題情境的創(chuàng)設(shè)，對學生來說必須合適的。問題情境創(chuàng)設(shè)的難度，應(yīng)使學生經(jīng)過努力而能夠達到。實驗表明，問題具有能被學生“跳一跳，摘得到”的難度，最能激起學

12、生的思維，形成所謂的“憤悱”狀態(tài)，這時學生躍躍欲試。創(chuàng)設(shè)問題情境深層次的目的，是激發(fā)學生的潛在力。本堂課一開始的教學設(shè)計，是讓學生直接嘗試例1（3）（4）題的解答，后來為改善問題的難易梯度，增設(shè)了例1（1）（2），以便充分的調(diào)動學生的認知準備，使學生將新知識與原有的知識建立有效的實質(zhì)性聯(lián)系，讓學生能有效地開展新知識的學習。例2例3的計算難度也有所降低，以凸現(xiàn)運用數(shù)學方法的教學目標。課堂教學實踐表明，這是必要的，也是有效的。3教學總結(jié)的靈活處理 課堂教學要把握好因材施教的教學原則與集體教學模式的和諧關(guān)系，我們應(yīng)當關(guān)注不同層次的學生在教學中的獲得。讓層次高一點的同學得到更多，使其在能力方面有所提升

13、，而層次低一些的同學也要能掌握主要的知識，達到基本的學習目標。在第一次的課堂教學中，對分類討論的原因目的、依據(jù)標準和原則的教學總結(jié)是放在了教學結(jié)束時。后經(jīng)過評課討論，決定提前到例1的解答完成后即通過教師點撥，讓學生討論進行知識和方法的總結(jié)，使學生經(jīng)過探究后對問題的認識能夠得到提升，對運用分類討論方法的體會更加深刻。在課堂教學的實踐中，及時的總結(jié)使得學生對例2例3的解答相對順利，說明這一教學設(shè)計改變是有效的。同時也說明在學生的主動探究學習過程中，教師的講評（講解）在于引導(dǎo)和提升學生對問題的認識，講還是不講，選擇什么時機講，講什么，講多少，這是我們所應(yīng)該重視的問題。4充分重視現(xiàn)代信息技術(shù)的作用 基

14、于學生的實際學習探究狀況，精心制作和恰當?shù)氖褂枚嗝襟w課件，來展現(xiàn)思維的過程，而不是僅僅展現(xiàn)思維的成果。在一開始的的教學設(shè)計中并沒有考慮制作使用多媒體課件。但當教案基本確定之時，發(fā)現(xiàn)如何讓學生能更好的體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，使用優(yōu)良的課件是必要的，它的直觀性、準確性和簡潔省時的特點，使教師的粉筆所無法比擬的。課件的制作一開始只表現(xiàn)知識目標，即只呈現(xiàn)知識內(nèi)容和驗證結(jié)論，在不斷的改進中，才將課件的作用確定為展現(xiàn)思維的過程。為展現(xiàn)思維的過程，依據(jù)參數(shù)的變化對函數(shù)圖像影響制作動態(tài)的函數(shù)圖像變化的課件。例1的課件制作凸現(xiàn)區(qū)間的動態(tài)變化，導(dǎo)致的相應(yīng)函數(shù)圖像的變化。例2例3的課件制作凸現(xiàn)系數(shù)中參數(shù)的變化導(dǎo)

15、致的函數(shù)圖像的變化過程。以運動的觀點來體現(xiàn)思維的過程。例1與例2的設(shè)計（區(qū)間的運動和函數(shù)對稱軸的運動是相對的）還可以讓學生體會二者的不同的聯(lián)系，體會運動是相對的哲學觀點。（三）課堂教學行為的變化在課堂教學實施的過程中，教師特別關(guān)注以下幾個環(huán)節(jié)：1教學的能力目標和情感目標的達成和成功教育氛圍的創(chuàng)設(shè)教師要有意識的營造使學生不斷取得思維成功的環(huán)境，讓學生不斷在思維成功中取得良性循環(huán)。發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新是一種樂趣，通過研究性學習及教師及時的評價，表揚或肯定學生的思考成果，能夠引起學生的興趣，并激發(fā)其學習動力。對于如何對待研究過程中學生出現(xiàn)的錯誤，是我們教師應(yīng)注意靈活處理的問題。教師應(yīng)盡量避免依據(jù)自己的思維習慣

16、來評價學生的學習，而應(yīng)站在學生的角度上來分析學習的可能過程和出現(xiàn)的錯誤。對于學生出現(xiàn)的錯誤，不應(yīng)作為失誤的指標，而應(yīng)作為每個學習過程所伴隨的現(xiàn)象，如果教師對錯誤的原因進行分析，就能更好的理解學生的想法。對于學生而言，他需要在教師或同學的幫助下設(shè)法修正自己的錯誤，而不要某人直接給他一個“正確答案”。教師需要努力發(fā)現(xiàn)不正確回答中閃光的部分，給予表揚和安慰。如例1的解答中，學生剛開始的回答運用分類討論的方法，但在具體討論時，對分類討論的原因和標準回答不夠準確，但仍得到教師的肯定和表揚，并引導(dǎo)學生再深入研究討論。一學生在黑板上解答例2的板演中，雖然有些錯誤，但教師首先肯定他主要的思路和過程的正確性，然

17、后再與他平等交流不足的地方（與的區(qū)別），教師提示，盡量讓他自己來改進，并引發(fā)全體同學的討論和評價。另一同學在例3的解答中，首先討論參數(shù)是否為0，表現(xiàn)了他對問題認識的深刻，教師從數(shù)學思維的嚴謹性方面給予大力表揚，并引起同學的對這一問題的關(guān)注。2基于學生已有的認知情況，循序漸進的提出問題上課開始，提問：我們已復(fù)習了哪些一元二次函數(shù)求最值問題？請同學指出類型和求解方法。給出例1，借助例1（1）（2）復(fù)習，請同學口頭回答解法。之后提出新的問題（3）（4），為啟發(fā)學生思考，再提問二：此（3）題與（1）（2）題有什么聯(lián)系和區(qū)別？請學生明確問題的關(guān)鍵變化，以便于確定思考的方向。教師巡視，若多數(shù)同學感到困難，

18、則再提示要不要通過函數(shù)的圖像來研究。這一環(huán)節(jié)要基于學生的實際情況，若學生研究進展順利，則不必急于使用課件顯示函數(shù)圖像的變化。結(jié)果大多數(shù)學生都能夠畫出函數(shù)的大致圖像，開始研究函數(shù)含參數(shù)的定義域（區(qū)間）變化對于函數(shù)圖像的影響，積極尋求問題的解答。3引導(dǎo)學生主動探究，而不是消極等待教師的講解學生在回顧了一元二次函數(shù)的性質(zhì)（圖像）和給定具體區(qū)間（不含參數(shù)）的最值問題知識之后，獨立思考（或小范圍討論），勇于自己嘗試對含參數(shù)的此類問題的研究解答。有的學生對區(qū)間中含有參數(shù)的意義和作用不能有深刻地認識，不能以運動的觀點來體會參數(shù)值的變化導(dǎo)致區(qū)間的變化，從而引起函數(shù)單調(diào)性的變化，才使得函數(shù)的最值有不同的情況。在

19、以往的教學中，往往老師發(fā)現(xiàn)學生思維困難后急于給學生解惑，使學生沒有自己體驗探究過程的機會，對問題往往知其然而不知其所以然。所以當學生作出一些解答后，一定要有適當?shù)姆磫?，反問學生這樣做的依據(jù)是什么，為什么要這樣做，為什么必須這樣做。本堂課一同學經(jīng)過幾分鐘思索后，發(fā)言指出要依據(jù)參數(shù)值的變化及相應(yīng)的函數(shù)圖像進行分類討論，為大家指明了解決問題的方向。這之后大多數(shù)學生能夠做出一定的討論，但對問題的認識還處在朦朧化的階段，對整個問題的本質(zhì)認識還不夠明晰，這就需要學生通過不斷的實踐、交流和反思來完成。 4重視多媒體課件的恰當運用在使用多媒體課件時，基于課堂教學中學生的探索情況，適時使用課件，不讓其代替學生自

20、己的思考過程，而僅僅是成為學生思考的輔助工具和驗證。在第一次教學時，由于學生的基礎(chǔ)較差，學生對問題的理解普遍感到困難，則使用課件深化學生對問題的認識，再讓學生思考參數(shù)的變化對問題的影響，從而對問題要分類討論。在第二次教學時，由于學生能夠大致把握問題的關(guān)鍵所在，則在學生作出一定的思考后通過可見來展現(xiàn)思維的過程，使對問題的認識更加的明晰深刻。特別是例1完成后，學生對此類問題使用分類討論思想方法有了一定的體會，對例2例3的解答中，大多數(shù)學不需要再借助教師的課件圖像來思考，故只在教師講評時借助課件的直觀性來總結(jié)，使問題的解答更簡潔直觀。從課下的訪談中了解到，學生認為課件的使用對促進他們對問題的認識還是

21、很有幫助的，使抽象的內(nèi)容直觀話，展現(xiàn)了思維的過程，提高了教學目標的達成度。三結(jié)論與討論（一）本堂課教學策略實施的效果在本堂課的教學設(shè)計與實施中，我深切地感受到，這種教學設(shè)計的策略是有效的，可行的，是實施新課程標準所倡導(dǎo)的教學理念的有效嘗試。首先有利于促進學生自主探索、合作交流的研究性學習方式的形成。學生通過自主的探索，有一定的思考成果，通過自主評價和教師評價，獲得成功的體驗，激發(fā)了其學習的動力和積極性，提高了學習能力，增強了其學好數(shù)學的信心。其次優(yōu)化了學生對數(shù)學知識的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學思想方法的教學是提高學生數(shù)學能力的教學，通過學習，學生親身體驗了分類討論和數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的運用原因目的和原則，增強了其自覺運用這些方法的自覺性，提高了其數(shù)學能力。這一切的目的和結(jié)果，是較好的改進了學生的學習質(zhì)量。同時我也認識到，實施這種教學策略需要教師較高的教學能力和豐富的經(jīng)驗，如如何處理好關(guān)鍵知識點的深廣度，如何創(chuàng)設(shè)問題情景來激發(fā)學生的探索積極性，如何處理學生的自主研究與教師的適當適度介入，如何對學生的思考結(jié)果進行恰當?shù)脑u價和有效的點撥引導(dǎo)等，這都是值得我們教師去探討的問題。（二