留數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、摘要：留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)理論的一個(gè)重要定理,它與解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系. 應(yīng)用留數(shù)定理可以求解某些較難的積分運(yùn)算問題, 所以它可以起到采用不同方法,相互檢驗(yàn)所得結(jié)果的作用.具體的物理問題中遇到的一些積分在數(shù)學(xué)分析中沒有對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，留數(shù)定理往往是求解這些積分的有效工具。本文介紹留數(shù)概念，留數(shù)定理，對(duì)留數(shù)定理進(jìn)行一定的拓展，以及留數(shù)理論在電磁學(xué)中安培環(huán)路定理、高斯定理公式推導(dǎo)，以及在阻尼振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、光的衍射等問題中積分計(jì)算上的的一些應(yīng)用，大大簡化了計(jì)算過程。關(guān)鍵詞：留數(shù)定理、安培環(huán)路定理、高斯定理、阻尼振動(dòng)、熱傳導(dǎo)目錄第1章 留數(shù).3 1.1 引言

2、1.2 留數(shù)的定義1.3 留數(shù)定理 1.4 留數(shù)定理的計(jì)算規(guī)則 1.5 留數(shù)定理的拓展第2章 留數(shù)定理在電磁學(xué)中的應(yīng)用.6 2.1 安培定理及其與留數(shù)定理的區(qū)別2.2 應(yīng)用留數(shù)定理對(duì)安培環(huán)路定理的推導(dǎo) 2.3 留數(shù)定理在靜電學(xué)中的應(yīng)用2.4 留數(shù)在電磁學(xué)中一類積分中的應(yīng)用第3章 留數(shù)定理在物理學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用.153.1 留數(shù)在有阻尼的振動(dòng)的狄利克雷型積分中的 3.2 留數(shù)定理在研究光的衍射時(shí)需要計(jì)算的菲涅爾積分中的應(yīng)用3.3 留數(shù)定理在用傅里葉變化法求解熱傳導(dǎo)問題的偏微分方程時(shí)將遇到的積分中的應(yīng)用第4章 結(jié)語.18參考文獻(xiàn).19第一章 留數(shù)1.1 引言留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解

3、析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系. 留數(shù)定理是留數(shù)理論的基礎(chǔ)，也是復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，需要正確理解孤立奇點(diǎn)的概念與孤立奇點(diǎn)的分類和函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念.掌握留數(shù)的計(jì)算法，特別是極點(diǎn)處留數(shù)的求法，實(shí)際中會(huì)用留數(shù)求一些實(shí)積分.現(xiàn)在研究的留數(shù)理論就是柯西積分理論的繼續(xù)，中間插入的泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)是研究解析函數(shù)的有力工具.留數(shù)在復(fù)變函數(shù)論本身及實(shí)際應(yīng)用中都是很重要的它和計(jì)算周線積分（或歸結(jié)為考察周線積分）的問題有密切關(guān)系.此外應(yīng)用留數(shù)理論，我們已有條件去解決“大范圍”的積分計(jì)算問題，還可以考察

4、區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)分布狀況.1.2 留數(shù)的定義如果函數(shù)在的鄰域內(nèi)是解析的，則根據(jù)柯西-古薩基本定理 （1）其中C為鄰域內(nèi)的任意一條簡單閉合曲線.但是如果是的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，且周線C 全在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，并包圍點(diǎn)，則積分的值，一般說來，不再為零并且利用洛朗級(jí)數(shù)公式很容易計(jì)算出它的值來 （2）我們把（留下的）這個(gè)積分值除以2后所得的數(shù)為在的留數(shù),記作Res，即 Res= （3）從而有 Res= （4）此處的是函數(shù)通過洛朗級(jí)數(shù)展開的第負(fù)一次項(xiàng)系數(shù).1.3 留數(shù)定理定理一 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇，.，外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那么=2 （5）利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C

5、的積分，就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).定理二 如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那么在所有各奇點(diǎn)（包括點(diǎn)）的留數(shù)的總和必等于零.1.4 留數(shù)求法及一般規(guī)則I 如果是的可去奇點(diǎn)，那么 Res=0，以為此時(shí)在的展開式是泰勒展開式，所以=0II 如果是本性奇點(diǎn)，那就往往只能把在展開成洛朗級(jí)數(shù)的方法來求.III 在是極點(diǎn)情形，有以下三種特殊情況下的規(guī)則 規(guī)則一 如果為的一級(jí)極點(diǎn)，那么 Res=（z-） （6） 規(guī)則二 如果為的m級(jí)極點(diǎn)，那么 Res= （7） 規(guī)則三 設(shè)=，P(z)及Q(z)在都解析，如果P(z)0，Q（z）=0，Q(z)0，那么為的一級(jí)極點(diǎn)，而 Res= （8

6、） 規(guī)則四 （9）1.5 留數(shù)定理的拓展對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分，無論留數(shù)定理還是柯西定理、柯西公式及高階導(dǎo)數(shù)公式都只能處理解析函數(shù)沿內(nèi)部有有限個(gè)極點(diǎn)的閉曲線的復(fù)積分問題，對(duì)于積分區(qū)線上有極點(diǎn)的情況沒有提及 如果用極限的方法，不但相當(dāng)復(fù)雜且不能保證最終求出 當(dāng)被積函數(shù)滿足一定的條件，即區(qū)域D 的境界線為C，函數(shù) 在D 內(nèi)解析且在C 上連續(xù)并滿足Hölder 條件: ，(01 ) ，其中K 、 都是實(shí)常數(shù)，、為C 上任意兩點(diǎn)，此時(shí)可以推導(dǎo)出一個(gè)該積分的“積分主值”的計(jì)算公式: (10)鑒于留數(shù)定理和柯西公式之間的關(guān)系，可以將積分曲線上有限個(gè)極點(diǎn)的情況推廣到留數(shù)定理上 函數(shù) 在閉曲線 所圍的區(qū)域

7、上除具有有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的，此時(shí)，留數(shù)定理的結(jié)論可改寫為 （11）經(jīng)過這樣的推廣后，直接可以用到積分區(qū)間上有極點(diǎn)的實(shí)變函數(shù)無窮積分上，無需針對(duì)實(shí)軸上的極點(diǎn)取輔助曲線，使得這類積分的求解過程得以簡化 第二章 留數(shù)定理在電磁學(xué)中的應(yīng)用2.1 安培環(huán)路定理及其與留數(shù)定理的區(qū)別電磁學(xué)中安培環(huán)路定理的表述：磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任何閉合琦璐L的線積分，等于穿過這環(huán)路所有電流強(qiáng)度的代數(shù)和的 倍.即 （12）其中電流I的正負(fù)規(guī)定如下；當(dāng)穿過回路L的電流方向與回路L的環(huán)路方向服從右手法則時(shí)，I>O，反之，I<O.該定理與留數(shù)定理雖然是屬于不同領(lǐng)域中的定理但是它們?cè)跀?shù)學(xué)形式上有著極其相似的形式.(12)式

8、和(5)式的左邊都是沿著某一閉合回路的線積分，面其右邊又都是表示某些標(biāo)量的代數(shù)和而這些量都直接同方程左邊的函數(shù)有著某種內(nèi)在的聯(lián)系.從以上的分析我們能否得出；直接利用復(fù)變函數(shù)的方法導(dǎo)出電磁學(xué)中的安培環(huán)路定理而不要直接計(jì)算線積分？ 回答是肯定的.2.2 應(yīng)用留數(shù)定理對(duì)安培環(huán)路定理的推導(dǎo)我們知道留數(shù)定理是適用于復(fù)數(shù)領(lǐng)域，而安培環(huán)路定理中的磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，因此不能直接將留數(shù)定理應(yīng)用于電磁學(xué)中的安培環(huán)路定理，必須重新構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)場才能應(yīng)用.為此我們考慮一無限長截流導(dǎo)線周圍空間的磁場分布，如圖1所示. 圖1 無限長截流導(dǎo)線周圍空間的磁場分布設(shè)無限長載流導(dǎo)體中的電流為I，電流的方向指向紙面的外部由電磁學(xué)知

9、，空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （13）其中 為極徑。在直角坐標(biāo)系中B可以寫成分量形式，如下： （14）其中和分別為軸和軸的單位矢量.我們可以構(gòu)造一個(gè)下面的復(fù)變量來代替（14）式. （15）函數(shù)和為滿足柯希 里曼方程的解析函數(shù)于是可以改寫成如下形式： （16）設(shè)回路中有個(gè)電流源通過.如圖2所示,在C內(nèi)除去點(diǎn)外的所有區(qū)域上是解析的.對(duì)于這個(gè)個(gè)點(diǎn)分別用回路包圍，則按照按照柯希 里曼定理有； （17）圖2 回路C中有個(gè)電流源而根據(jù)留數(shù)定理有 (18)又 （19）考慮到(17)式和（18 )式，則可得 （20）和 （21）以上是我們討論回路中只有一個(gè)電流源的情況，下面我們將導(dǎo)出回路中包含有個(gè)電流源的情況：于是

10、即 （22）到此為止，我們利用復(fù)變函數(shù)的方法推導(dǎo)出了電磁學(xué)中的安培環(huán)路定理，其方法比較簡便，避免了一些教材中的復(fù)雜推導(dǎo).從以上的推導(dǎo)過程我們可以看出只要選擇合適的復(fù)數(shù)來表示電磁學(xué)中的電學(xué)量和磁學(xué)量，便可以利用留數(shù)定理推導(dǎo)出電磁學(xué)中的一些有用結(jié)論.在前面的推導(dǎo)過程中，利用復(fù)數(shù)和留數(shù)定理得到方程(20)式和(21)式.(21)式即為安培環(huán)路定理.但方程(21)式我們還沒有給出它們的物理意義.方程(20)式可以改寫成=0對(duì)于二維情況表示的是一個(gè)“二維通量 ”，即表示通過長度的磁通量。因此方程(20)式可以看作磁學(xué)中的磁高斯定理，它表示通過環(huán)路C的總“二維磁通量”為零 這表明B線應(yīng)該是閉合環(huán)線，這也就

11、是我們通常所說的磁場為渦旋場。2.3 留數(shù)定理在靜電學(xué)中的應(yīng)用同磁學(xué)中的討論方法相同，現(xiàn)在我們考慮二維平面靜電場問題，這里選擇線電荷分布其電荷線密度為（>0）.考慮線電荷在空間產(chǎn)生電場的軸對(duì)稱性選取線電荷沿z軸分布，它所產(chǎn)生的電場E在平面內(nèi)成徑向分布，如圖四所示.由電磁學(xué)知: (23)在直角坐標(biāo)系中分量形式為現(xiàn)在我們構(gòu)造一個(gè)復(fù)函數(shù)=那么除z=0外在空問各點(diǎn)都處處解析在z=0處，由留數(shù)定理有 （24）又 （25）由(24)式和(25)式可得即 （26）和 （27）有以上推導(dǎo)可知，利用復(fù)數(shù) 和留數(shù)定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即為電磁學(xué)中的靜電場環(huán)路定理，它表明靜電場是保守場

12、，且靜電場中電力線不可能是閉合線。(27)式與電磁學(xué)中的靜電場高斯定理相對(duì)應(yīng)，只不過這里是二維情況，因此，我們僅需利用一個(gè)復(fù)數(shù)便可以導(dǎo)出靜電學(xué)中的兩個(gè)基本方程。2.4 留數(shù)在電磁學(xué)中一類積分中的應(yīng)用應(yīng)用留數(shù)定理求解定積分問題時(shí), 一般先進(jìn)行解析延拓。解析延拓主要有兩種方法:(1 ) 將原來的積分區(qū)間變換為新復(fù)數(shù)平面的一條閉合回路(+) , (2) 選擇另一段積分與原積分區(qū)間, 構(gòu)成復(fù)數(shù)平面的閉合回路(+) , 如圖l所示 圖3 積分區(qū)間變換圖即： （28）利用留數(shù)定理求出(1) 式左邊的值及右邊的第二項(xiàng)復(fù)變函數(shù)積分, 則即可求得待求積分的值.下面結(jié)合電磁學(xué)中的間題,利用留數(shù)定理進(jìn)行求解,問題如

13、下:如圖4 所示, 一無限長載流直導(dǎo)線與一半徑為R 的圓電流處于同一平面內(nèi), 它們的電流強(qiáng)度分別為與 , 直導(dǎo)線與圓心相距為a , 求作用在圓電流上的磁力。分析: 這是有關(guān)載流導(dǎo)線在不均勻磁場中受力的電動(dòng)力學(xué)問題. 利用安培定律和畢奧薩伐爾定律, 可求得載流圓線圈所受磁場力在x 軸和y 軸上的分量分別為=（29）= （30）= 經(jīng)計(jì)算得： =0= （31）在的表示式中出現(xiàn)定積分, 此積分的被積函數(shù)為三角函數(shù)形式, 在以往求解這類積分時(shí),采用的方法為先進(jìn)行三角函數(shù)式的萬能變換, 然后進(jìn)行積分, 而這種方法在計(jì)算此類積分時(shí)顯得非常麻煩,不易求出正確答案。為了避免這種情況, 這里我們將用留數(shù)定理來計(jì)

14、算此積分, 計(jì)算方法如下: 先作變換使定積分的積分區(qū)間變?yōu)閺?fù)平面上的閉合回路, 即這里采用第一種變換方法, 作變換為: Z= 取值在之間, 對(duì)應(yīng)的復(fù)變數(shù)z 取值在=1范圍內(nèi), 所以有關(guān)系：cos=（z+） sin=(z-) (32) d=dz 圖4 直導(dǎo)線與圓導(dǎo)線通電后受力分析圖當(dāng)變量從0變至2時(shí), z從z=1 沿復(fù)平面上的單位圓 =1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈回到z=1 , 此時(shí)定積分化為復(fù)變函數(shù)回路積分= = = (33)(33) 式中參數(shù)=, (33) 式中的被積復(fù)變函數(shù)形式為= 判斷的極點(diǎn)有三個(gè)，=0，=，=，且三個(gè)極點(diǎn)都是一階極點(diǎn), 其中在、在=1的單位圓內(nèi)。應(yīng)用留數(shù)定理可求得 （34）所以 =

15、 = (35)將(34) 、(35 ) 式代入(31) 式即可求出:= (36)以上計(jì)算有以下有幾點(diǎn)：（1） 思路清晰（2） 較少涉及到計(jì)算技巧，極易掌握（3） 和其他方法起到互補(bǔ)作用 第三章 留數(shù)定理在物理學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用3.1 留數(shù)在有阻尼的振動(dòng)的狄利克雷型積分中的應(yīng)用.該積分屬于 類型的積分 不妨假設(shè)0，設(shè)由 所唯一確定的解析函數(shù) 在復(fù)平面的上半平面及實(shí)軸上僅有有限個(gè)極點(diǎn) 若滿足當(dāng)z時(shí)0( 一致地趨于零) ，根據(jù)推廣的留數(shù)定理，只需取圖3所示的輔助閉曲線，即得：圖5由實(shí)軸上直線段（-R,R）和所圍的閉曲線 （m>0）屬于在積分路徑上有單極點(diǎn)的實(shí)變函數(shù)積分，即由所唯一確定的解析函數(shù)在

16、整個(gè)平面上僅有實(shí)軸上一個(gè)單極點(diǎn)z = 0，則根據(jù)上式有:3.2 留數(shù)定理在研究光的衍射時(shí)需要計(jì)算的菲涅爾積分中的應(yīng)用設(shè)=，=在研究菲涅爾衍射時(shí)，其光場中某點(diǎn)的振動(dòng)可為下面公式表示: （37）該式稱為菲涅爾衍射公式，一般來說計(jì)算式相當(dāng)復(fù)雜的，但在傍軸近似下，可以利用二項(xiàng)式近似簡化，通過求解菲涅爾積分 圖6閉曲線由實(shí)軸上（0，R）,圓弧z=及z=（r從R變化到0）組成取圖6 所示輔助曲線構(gòu)成復(fù)平面上的閉合曲線，當(dāng)R時(shí)，沿實(shí)軸的積分即待求積分 在此極限下沿圓弧的積分根據(jù)若爾當(dāng)引理其值為零，沿射線的積分可以通過第二類歐拉積分( x) =,由() = ， t = ，可得 則:從而 =3.3 留數(shù)定理在用

17、傅里葉變化法求解熱傳導(dǎo)問題的偏微分方程時(shí)將遇到的積分中的應(yīng)用對(duì)于一維無源導(dǎo)熱問題，各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫度可以用定解問題描述: （38）用傅里葉變換法求解該方程時(shí)， 得到的像函數(shù)的一部分為， 其原函數(shù)需要通過求解積分 得到輔助曲線取矩形，即: 實(shí)軸上(N,N) ，: 平行于虛軸的( N，0 )( N，) ， : 平行于實(shí)軸的( N,)(N，) 及: 平行于虛軸的(N，)( N,0) 四段構(gòu)成閉曲線，如圖5 所示:圖7 矩形閉曲線圖7 矩形閉曲線由于在該閉曲線內(nèi)函數(shù)無奇點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)定理可知函數(shù)沿閉曲線積分的值為零:當(dāng)N時(shí)，可以證明沿， 的積分值為零，沿的積分在h =時(shí)可以借助第二類歐拉積分在=時(shí)的值求出，即，則因此，利用留數(shù)定理求解實(shí)變函數(shù)反常積分，一般要通過取適當(dāng)?shù)妮o助曲線，將實(shí)變函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為求解沿閉曲線的復(fù)變函數(shù)積分這種方法的前提是被積函數(shù)要滿足一定的條件，即并非所有的實(shí)變函數(shù)反常積分都能通過這種方法來求解 對(duì)于物理問題的積分，由于有明確的物理意義，一般是滿足數(shù)學(xué)上求解的條件的第四章 結(jié)語留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論具體應(yīng)用于積分計(jì)算和一些公式推導(dǎo)中的一個(gè)非常有力的工具 本文闡述了留數(shù)的定義，留數(shù)定理及計(jì)算一般規(guī)則，就區(qū)域上及區(qū)域境界線上有極點(diǎn)的情況對(duì)留數(shù)定理進(jìn)行了推廣，并將留數(shù)定理及留數(shù)定理及推廣了的留數(shù)定理應(yīng)用于電磁學(xué)、阻尼振動(dòng)、菲涅爾衍射及熱傳導(dǎo)等具體的物理問題所遇