空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一章 空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體. 旋轉(zhuǎn)體把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。用一個(gè)平行于底面的平

2、面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái).用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。正視圖；側(cè)視圖；俯視圖；是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。4.斜二測(cè)法：在坐標(biāo)系中畫(huà)直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段

3、長(zhǎng)度減半。 重點(diǎn)記憶：直觀圖面積=原圖形面積(三)空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和圓柱的表面積 圓錐的表面積圓臺(tái)的表面積球的表面積扇形的面積公式（其中表示弧長(zhǎng)，表示半徑）2、空間幾何體的體積柱體的體積 錐體的體積 臺(tái)體的體積 球體的體積DCBA第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫(huà)法及表示（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

4、或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)A·ALBL => L ABC·B·A·公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =>=L，且PLP·L公理3作用：判定

5、兩個(gè)平面是否相交的依據(jù) 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，

6、為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，可用a 來(lái)表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線與平面平行的判定1、直線

7、與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a b =>aab 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線

8、間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：直線與直線的位置關(guān)系= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 L p2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”

9、互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.2.、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系第三章 直線與方程一、公式：，則直線的斜率=。的直線的斜率為：，則=；若兩直線，則=-1；4.直線的點(diǎn)

10、斜式方程：5.直線的斜截式方程：6.直線的兩點(diǎn)式方程：7.直線的截距式方程：8.直線的一般式方程：，此時(shí)，斜率為，截距為.和（1）若，兩直線相交；（2）若，兩直線平行或重合；（3）若，若兩直線垂直。，則：二、基本注意點(diǎn)：，且平行于軸的直線方程是：；，且平行于軸的直線方程是：；三、典型習(xí)題：，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。解：截距不為0時(shí)，設(shè)兩軸上的截距都為,則有直線方程為：， 將帶入上式可得：，所以直線方程為：，即：；兩軸上的截距都為0時(shí)，則直線過(guò)原點(diǎn)，由兩點(diǎn)式可得：，即：綜上所述：滿(mǎn)足條件的直線方程為：或.（注：做本題時(shí)要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設(shè)為，因?yàn)橛迷摲匠?/p>

11、時(shí)，要求截距不為0。），求滿(mǎn)足下列條件的m值：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），即： 解得:（2），即： 解得：（3）（4）,即： 解得:檢驗(yàn)：此時(shí)，兩直線平行，所以， 此時(shí)，兩直線重合綜上所示：時(shí)兩直線平行；時(shí)兩直線重合.第四章 圓與方程圓與方程2、1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2、2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r： (1)點(diǎn)在圓上d=r； (2)點(diǎn)在圓外dr； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)dr 2.給定點(diǎn)及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外2、3 圓的一般方程：.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示

12、一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱(chēng)虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：已知2、4 直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有三種（1）若，；（2）； （3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒(méi)有公共解時(shí)（直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓心C到直線的距離為d,則直線與圓的 位置關(guān)系滿(mǎn)足以下關(guān)系：相切d=r0（2）相交d<r>0； （3）相離d>r<0。2、5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩