第1章 網(wǎng)絡(luò)圖論與網(wǎng)絡(luò)方程

1、§ 電路的線(xiàn)圖 電網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)基本定律是基爾霍夫電流定律（簡(jiǎn)稱(chēng)KCL）和基爾霍夫電壓定律（簡(jiǎn)稱(chēng)KVL）。對(duì)某一具體電網(wǎng)絡(luò)，通常可以列出許多KCL和KVL方程。但是所有這些方程并不都是獨(dú)立的。本節(jié)及下一節(jié)利用圖論(graph theory)的有關(guān)概念和方法來(lái)解決如何列寫(xiě)?yīng)毩⒌幕鶢柣舴蚨煞匠虇?wèn)題。圖論是一門(mén)數(shù)學(xué)，研究由“點(diǎn)”和“線(xiàn)”構(gòu)成的線(xiàn)圖(linear graph) 簡(jiǎn)稱(chēng)圖(graph)?；鶢柣舴蚨墒蔷W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)電流、電壓的約束，與元件性質(zhì)無(wú)關(guān)。因此在列寫(xiě)基爾霍夫定律方程時(shí)，可以不用考慮元件，從而將電路抽象成由“點(diǎn)”和“線(xiàn)”組成的線(xiàn)圖。在本書(shū)中將“點(diǎn)”統(tǒng)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，將“線(xiàn)”統(tǒng)稱(chēng)為支路(

2、branch)。1 元件的線(xiàn)圖二端元件有一個(gè)獨(dú)立的端子電流和一個(gè)端對(duì)電壓，可用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和一條支路來(lái)表示，如圖1.1所示。支路中的電流和兩點(diǎn)間的電壓分別稱(chēng)為支路電流和支路電壓，并且電壓電流取相同參考方向，稱(chēng)為關(guān)聯(lián)參考方向，在支路上用一個(gè)箭頭表示。三端元件有3個(gè)端子電流和3個(gè)端對(duì)電壓，如圖1.2(a)。電流電壓分別受KCL和KVL約束，即 圖1.1 二端元件的線(xiàn)圖 圖1.2 三端元件的線(xiàn)圖因此可以用兩條支路和三個(gè)節(jié)點(diǎn)的線(xiàn)圖來(lái)表示。對(duì)圖1.2(a)，取任意兩個(gè)端子電流為獨(dú)立電流變量，例如端子和的電流、，同時(shí)取這兩個(gè)端子與端子的電壓、為獨(dú)立的電壓變量。對(duì)應(yīng)的線(xiàn)圖如圖1.2(b)所示。依此類(lèi)推，對(duì)n端元

3、件，如果存在m個(gè)獨(dú)立的端子電流或m個(gè)獨(dú)立的端對(duì)電壓，則可抽象成m條支路n個(gè)節(jié)點(diǎn)的線(xiàn)圖。2 電路的線(xiàn)圖有了元件的線(xiàn)圖便可用以建立電路的線(xiàn)圖。圖1.3是一示例。將圖(a)中的元件一一抽象成線(xiàn)圖，再按照原來(lái)的關(guān)系聯(lián)結(jié)起來(lái)，便得到圖(b)所示的電路線(xiàn)圖。其實(shí)電路圖和電路線(xiàn)圖都是實(shí)際電路的抽象，不過(guò)后者更突出了電路的結(jié)構(gòu)特征。 (a) (b)圖1.3 電路圖和相應(yīng)的電路線(xiàn)圖從圖論的觀(guān)點(diǎn)，圖是由節(jié)點(diǎn)和支路的組成的集合，其中每條支路的兩端都聯(lián)到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。圖的一部分(即上述集合的子集)稱(chēng)為子圖(subgraph)。圖可分為聯(lián)通圖(joint graph)與非聯(lián)通圖(disjoint graph)。前者的任

4、意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑；后者則某些節(jié)點(diǎn)之間并無(wú)路徑相通，整個(gè)線(xiàn)圖分成幾個(gè)孤立的部分。如果圖中所有支路都指定了方向，則稱(chēng)為有向圖(directed graph)。圖論中，樹(shù)(tree)是一個(gè)重要的基本概念。連通圖的樹(shù)是一個(gè)包含全部節(jié)點(diǎn)而不形成回路的連通子圖。屬于樹(shù)的支路稱(chēng)為樹(shù)支(tree branch)，其余支路稱(chēng)為連支(link branch)。圖1.4畫(huà)出一個(gè)4節(jié)點(diǎn)的連通圖及其中的8個(gè)樹(shù)(該圖共有16個(gè)樹(shù))。每個(gè)樹(shù)的樹(shù)支數(shù)都是3?？梢赃@樣來(lái)理解：首先畫(huà)出4個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后用一條支路將兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連。之后，依次連入每個(gè)節(jié)點(diǎn)，只需增加一條支路。這樣，用3條支路就可將全部節(jié)點(diǎn)連成樹(shù)。推廣之：一個(gè)

5、具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖，其每個(gè)樹(shù)的樹(shù)支數(shù)都是n-1。如果分別用、表示支路數(shù)、樹(shù)支數(shù)和連支數(shù)，則有圖1.4 連通圖及其部分樹(shù)§獨(dú)立的基爾霍夫定律方程1 獨(dú)立的基爾霍夫電流定律方程基爾霍夫電流定律可以用于閉合面，即流出閉合面的支路電流代數(shù)和恒等于零。從圖論觀(guān)點(diǎn)看，穿過(guò)閉合面的支路集合稱(chēng)為割集(cut-set)。其定義為：連通圖的割集是一組支路集合，并且滿(mǎn)足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路，則此圖變成兩個(gè)分離的部分；(2)如果留下該集合中的任一支路，則剩下的圖仍是連通的。在圖1.5(a)中，支路集合1,2,4、1,3,4,6是割集，其中前者是與節(jié)點(diǎn)相聯(lián)的支路集合。而2,3,5、3,4

6、,5,6則不是割集。有了割集的概念，基爾霍夫電流定律便可表述成：集中參數(shù)電路中，流入任意割集各支路電流的代數(shù)和恒等于零。一個(gè)圖存在許多不同的割集，每個(gè)割集都對(duì)應(yīng)一個(gè)KCL方程，但并不是所有這些KCL方程都是獨(dú)立的。如果對(duì)一組割集所列KCL方程是獨(dú)立的，則這些割集稱(chēng)為獨(dú)立割集。下面借助樹(shù)討論獨(dú)立割集即KCL方程的獨(dú)立性問(wèn)題(a) (b) (c) (d)圖1.5 基本割集一個(gè)電路作出其線(xiàn)圖并任選一樹(shù)，取一樹(shù)支和若干連支只能做出一個(gè)單樹(shù)支割集，否則將出現(xiàn)僅由連支組成的割集。這是不可能的，因?yàn)闃?shù)是連通的，每一個(gè)割集至少要包括一條樹(shù)支。每取一個(gè)樹(shù)支做一個(gè)單樹(shù)支割集，稱(chēng)為基本割集(fundamental

7、cut-set)?；靖罴姆较蛞?guī)定為所含樹(shù)支的方向。以圖1.5為例研究基本割集的性質(zhì)。圖中可見(jiàn)有3個(gè)基本割集，分別對(duì)應(yīng)樹(shù)支1、2、3，見(jiàn)圖1.5(b)1.5 (d)中與閉合虛線(xiàn)相交的支路。寫(xiě)出這3個(gè)基本割集的KCL方程 割集：(1.1a) 割集：(1.1b) 割集：(1.1c)這三個(gè)方程是相互獨(dú)立的，因?yàn)槊恳粋€(gè)方程中分別含有一個(gè)不同的樹(shù)支電流，其中任一方程不可能通過(guò)其它方程線(xiàn)性組合而得。其它割集，例如支路1、2、4，其KCL方程：就可通過(guò)(1.1b)式減(1.1a)式得出，因而是不獨(dú)立的。推廣為一般情況：基本割集的基爾霍夫電流定律方程是一組獨(dú)立方程，方程的數(shù)目等于樹(shù)支數(shù)，基本割集是一組獨(dú)立割

8、集。 (1.1a)(1.1c)三式還可得到(1.2a)(1.2b)(1.2c)可見(jiàn)，樹(shù)支電流可以表達(dá)成連支電流的線(xiàn)性組合。另一方面，因?yàn)闃?shù)是連通的，僅由連支不能形成割集。所以任一連支電流不能僅通過(guò)KCL而表達(dá)成其它連支電流的線(xiàn)性組合。于是得出結(jié)論：在全部支路電流中，連支電流是一組獨(dú)立變量，個(gè)數(shù)等于連支數(shù)。 必須指出按基本割集列出(n-1)個(gè)KCL方程只是保證獨(dú)立的充分條件，而非必要條件。其實(shí)，隨意選取(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程便是獨(dú)立的，所選取的(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)(independent nodes)。例如圖1.5(a)中共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，列出每一節(jié)點(diǎn)上的KCL方程節(jié)點(diǎn)：(1.3a)

9、節(jié)點(diǎn)：(1.3b)節(jié)點(diǎn)：(1.3c)節(jié)點(diǎn)：(1.3d)綜觀(guān)這4個(gè)方程，可見(jiàn)每一支路電流都出現(xiàn)兩次，一次帶“”號(hào)，一次帶“”號(hào)。如果將此4個(gè)方程相加，等號(hào)左側(cè)電流全部相消，所以其中至少有一式相對(duì)不獨(dú)立。任意除去一個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程，在剩下的3個(gè)方程中，與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的電流均只出現(xiàn)一次。這3個(gè)方程左邊的任意線(xiàn)性組合均不可能使電流全部相消，因而是獨(dú)立的。所去掉節(jié)點(diǎn)的KCL方程可以由其它節(jié)點(diǎn)的KCL方程的線(xiàn)性組合而得。例如將方程(1.3a)(1.3c)相加后再取負(fù)號(hào)即得方程(1.3d)。顯然，對(duì)(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程要比對(duì)(n-1)個(gè)基本割集列寫(xiě)KCL方程方便。在一般情況下常用節(jié)點(diǎn)上的KCL方程，

10、只是在某些特殊場(chǎng)合，不得不借助樹(shù)的概念列寫(xiě)割集電流方程。2 獨(dú)立的基爾霍夫電壓定律方程對(duì)一個(gè)電路作出其線(xiàn)圖并取一樹(shù)。取一條連支和若干樹(shù)支只能形成一個(gè)回路，否則將出現(xiàn)僅由樹(shù)支組成的回路。這是不可能的，因?yàn)闃?shù)不含回路，每一個(gè)回路中至少要包括一條連支。每一個(gè)連支對(duì)應(yīng)一個(gè)單連支回路，稱(chēng)為基本回路(fundamental loop)。基本回路的方向規(guī)定為所含連支的方向。以圖1.6為例研究基本回路的性質(zhì)。圖中有3個(gè)基本回路，分別對(duì)應(yīng)連支4、5、6。這三個(gè)基本回路上的KVL方程為回路432： (1.4a)回路5123：(1.4b)回路621： (1.4c)這三個(gè)方程是獨(dú)立的，因?yàn)槊總€(gè)方程都包含一個(gè)不同的連支

11、電壓。對(duì)基本回路以外的回路列出的KVL方程都可由基本回路上的KVL方程通過(guò)線(xiàn)性組合而得，因而是不獨(dú)立的。例如對(duì)連支4、5與樹(shù)支1組成的回路列出的KVL方程是此式其實(shí)就是含的式(1.4a)與含的式(1.4b)相加的結(jié)果。這相當(dāng)于把兩個(gè)基本回路重合在一起，而把公共支路電壓消去。其它回路的KVL方程都可以類(lèi)似獲得，讀者可以通過(guò)繪制一些不同的線(xiàn)圖來(lái)驗(yàn)證。推廣到一般情況：在基本回路上列寫(xiě)的基爾霍夫電壓定律方程是一組獨(dú)立方程，方程的數(shù)目等于連支數(shù)，基本回路是一組獨(dú)立回路。 由(1.4a)(1.4c)還可得到(1.5a)(1.5b)(1.5c)說(shuō)明連支電壓可以用樹(shù)支電壓的線(xiàn)性組合來(lái)表示。但是任一樹(shù)支電壓不能

12、僅由KVL表達(dá)成其它樹(shù)支電壓的線(xiàn)性組合，這是因?yàn)閮H由樹(shù)支不能形成回路。可見(jiàn)在全部支路電壓中，樹(shù)支電壓是一組獨(dú)立變量。還需說(shuō)明，取基本回路只是列寫(xiě)?yīng)毩⒌幕鶢柣舴螂妷憾煞匠痰囊粋€(gè)充分條件而非必要條件。實(shí)際上，如果每取一個(gè)回路都至少包含一條新支路，所有b-(n-1)個(gè)回路的KVL方程便是獨(dú)立的。對(duì)于一個(gè)平面電路，也可以取網(wǎng)孔來(lái)列寫(xiě)?yīng)毩⒌腒VL方程。以圖1.7為例，對(duì)應(yīng)各內(nèi)網(wǎng)孔的KVL方程分別為網(wǎng)孔1的方程不能由網(wǎng)孔2、3、4組合而成，因?yàn)榫W(wǎng)孔1的外側(cè)支路不出現(xiàn)在網(wǎng)孔2、3、4中。同理可以分析網(wǎng)孔2、3。至于網(wǎng)孔4的支路雖在網(wǎng)孔1、2、3中都出現(xiàn)了，但是網(wǎng)孔1、2、3的方程中分別有一個(gè)支路電壓不能被

13、消去而得網(wǎng)孔4的電壓定律方程。由此證明了網(wǎng)孔電壓方程是獨(dú)立的，獨(dú)立的KVL方程數(shù)等于網(wǎng)孔數(shù)，且與連支數(shù)b-(n-1)一致。而網(wǎng)孔以外的回路電壓方程都將是網(wǎng)孔電壓方程的線(xiàn)性組合。例如對(duì)外網(wǎng)孔有：它是前4個(gè)方程之和。 練習(xí)題1.2.1 給出圖中所示的網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖，問(wèn)下列支路集合哪些是割集？哪些不是割集？為什么？(1)1、3、5；（2）2、3、4、7、8；(3）4、5、6；（4）6；（5）4、7、9； (6)1、3、4、7。 練習(xí)題1.2.2 圖示電路，任選一樹(shù)，指出全部的基本回路的支路集合和全部基本割集的支路集合。練習(xí)題1.2.3網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖如圖所示。(1）任選一組獨(dú)立的支路電壓，并用以表達(dá)其它支路電壓；

14、(2)任選一組獨(dú)立的支路電流，并用以表達(dá)其它支路電流。練習(xí)題1.2.4 試探討在怎樣的線(xiàn)圖里，樹(shù)的結(jié)構(gòu)使節(jié)點(diǎn)電流方程與基本割集電流方程剛好一致？練習(xí)題1.2.5 試列寫(xiě)圖1.2.2所示電路的網(wǎng)孔電壓方程。能否選擇一樹(shù)，使得基本回路的電壓方程與網(wǎng)孔電壓方程一致？ § 特勒根定理本節(jié)介紹由基爾霍夫定律導(dǎo)出的一個(gè)集中參數(shù)電路普遍定理特勒根定理(Tellegen's theorem)：定理1：在任一集中參數(shù)電路中，設(shè)其支路電壓列矢量，支路電流列矢量，各電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則有(1.6)從（1.16）式可見(jiàn)，定理1的物理意義是電路中各支路吸收功率的代數(shù)和恒等于零，表明電路中功率是

15、守恒的。所以有時(shí)把定理1稱(chēng)為功率定理(power theorem)。將特勒根定理用于圖1.16，證明如下。設(shè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，其它節(jié)點(diǎn)相對(duì)該節(jié)點(diǎn)存在確定的節(jié)點(diǎn)電壓，用節(jié)點(diǎn)電壓表達(dá)的支路電壓(或者說(shuō)KVL方程)是各支路電壓、電流乘積之和為 (1.7)(1.7)式括號(hào)分別是與3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)相連的支路電流代數(shù)和，根據(jù)KCL它們應(yīng)等于零。因此得到 在以上表述過(guò)程中，只利用了基爾霍夫定律，并沒(méi)有對(duì)電路元件及電壓、電流的變化規(guī)律作任何限定。因此上述定理可以推廣到兩個(gè)具有相同有向圖的任意集中參數(shù)電路。定理2：設(shè)兩個(gè)集中參數(shù)電路的有向圖相同，其支路電壓列矢量分別為及 支路電流列矢量分別為及則有及 (1.8) 特別

16、地，也可以是同一電路兩個(gè)不同時(shí)刻的電壓、電流。 在形式上，式(1.8)中各項(xiàng)均為電壓、電流之積，具有功率的量綱，故將定理2稱(chēng)為似功率定理(quasi-power theorem)。它給出兩電路中支路電壓與支路電流的數(shù)量關(guān)系，故而具有特殊的普遍意義。 練習(xí)題1.3.1 網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖如圖題1.3.1所示。選1,2,3支路為樹(shù)支，用樹(shù)支電壓表達(dá)支路電壓，驗(yàn)證特勒根定理；用連支電流表達(dá)支路電流，再驗(yàn)證特勒根定理。圖題1.3.1 練習(xí)題1.3.2設(shè)某網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖及其樹(shù)如圖題1.3.1所示。(1）設(shè)連支電流為i4=4A，i5=5A，i6=6A，求出樹(shù)支電流。(2）設(shè)樹(shù)支電壓為u1=1V，u2=2V，u3=3V，求

17、出連支電壓。(3)利用（1）、(2)的結(jié)果驗(yàn)證特勒根定理，對(duì)本題即。§1.4 互易定理 互易定理是體現(xiàn)某類(lèi)線(xiàn)性電路性質(zhì)(互易性)的定理。先做一般分析。 假設(shè)圖1.9的二端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)僅含線(xiàn)性二端電阻，圖(a)和圖(b)在形式上的差異僅在于二端口網(wǎng)絡(luò)以外的支路。因此兩個(gè)電路具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，二者之間可以使用特勒根定理： (1.9) (1.10)式中b表示每個(gè)電路的全部支路數(shù)。上兩式中第三項(xiàng)涉及二端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各電阻支路的電壓與電流，根據(jù)前面對(duì)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的假設(shè)有及。將此關(guān)系分別代入(1.9)和(1.10)兩式得 (1.11) (1.12)(1.11)和(1.12)兩式中求和號(hào)對(duì)應(yīng)的值相等，因此得

18、到兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流的一般關(guān)系 (1.13)當(dāng)端口外接不同元件時(shí)，由上式可以得出不同的結(jié)論。分別討論如下。(1) 令，由(1.13)式得。參見(jiàn)圖1.10。 由此得出：對(duì)于含有一個(gè)獨(dú)立電壓源和若干線(xiàn)性二端電阻的電路，當(dāng)電壓源與短路端口互換位置時(shí)，互換前后兩個(gè)短路端口電流相等。電壓、電流的參考方向見(jiàn)圖1.10。這是互易定理的第一種表述形式。也可簡(jiǎn)記作：電壓源與電流表互換位置，電流表的讀數(shù)不變。(2) 令，由(1.13)式得。參見(jiàn)圖1.11。 由此得出：對(duì)于含有一個(gè)獨(dú)立電流源和若干線(xiàn)性二端電阻的電路，當(dāng)電流源與開(kāi)路端口互換位置時(shí)，互換前后兩個(gè)開(kāi)路端口的電壓相等。電壓、電流的參考方向見(jiàn)圖1.

19、11。這是互易定理的第二種表述形式。也可簡(jiǎn)記作：電流源與電壓表互換位置，電壓表的讀數(shù)不變。(3)令。由(1.13)式得。如果在量值上與相等，則在量值上也相等。其中、分別取同樣的單位。這就是互易定理的第三種表述形式。參見(jiàn)圖1.12。綜觀(guān)互易定理的三種形式，對(duì)每一種形式，當(dāng)激勵(lì)不作用時(shí)，互易前后的兩個(gè)電路是完全一樣的。在應(yīng)用互易定理時(shí)，必須注意這一點(diǎn)。當(dāng)電路中含有受控源或回轉(zhuǎn)器時(shí)，(1.9)式與(1.10)式中對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部支路的兩個(gè)求和號(hào)所代表的值一般不相等，因此得不出(1.13)所表述的關(guān)系。這種情況下能應(yīng)用互易定理，即不滿(mǎn)足互易性。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)一個(gè)電路列寫(xiě)回路法方程或節(jié)點(diǎn)法方程，如果互阻滿(mǎn)足或

20、互導(dǎo)滿(mǎn)足，即方程的系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣，這樣的電路便滿(mǎn)足互易性，可以應(yīng)用互易定理。其實(shí)互易性只不過(guò)是系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣的電路方程所具有的一種性質(zhì)，利用系數(shù)矩陣的對(duì)稱(chēng)性同樣可以得出互易定理，但不如用特勒根定理來(lái)得簡(jiǎn)單。對(duì)此不再贅述?！纠}1.4.1】圖1.13(a)所示電路，根據(jù)齊性定理和疊加定理可以寫(xiě)出響應(yīng)電流I與各激勵(lì)的關(guān)系：。試用互易定理求各系數(shù)?！窘狻坑深}給表達(dá)式可知，的量值等于相應(yīng)電源以單位量值(例如1V或1A)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流I的量值。對(duì)每個(gè)電源單獨(dú)作用的電路應(yīng)用互易定理進(jìn)行求解。電壓源單獨(dú)作用時(shí)應(yīng)用互易定理的第一種表述形式，電流源單獨(dú)作用時(shí)用第二種表述形式。所得互易后的三個(gè)電路結(jié)

21、構(gòu)和參數(shù)完全相同，只是待求響應(yīng)不同。因此可以將三個(gè)互易后的電路合并成一個(gè)電路，即圖(b)。圖中的量值分別等于的量值。圖(b)為平衡電橋，電阻上無(wú)電壓、電流，故將電阻支路斷開(kāi)不會(huì)影響其它電壓、電流。斷開(kāi)后求得, , 所以題中所求，。§ 基爾霍夫定律方程的矩陣形式1關(guān)聯(lián)矩陣及基爾霍夫定律方程的關(guān)聯(lián)矩陣形式由第一章得知，網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖可以用來(lái)表示電路的結(jié)構(gòu)，即表示電路的節(jié)點(diǎn)、支路及其聯(lián)結(jié)關(guān)系，亦即關(guān)聯(lián)關(guān)系。這種關(guān)聯(lián)關(guān)系也可以用一個(gè)數(shù)表或一個(gè)矩陣來(lái)表示。對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的線(xiàn)圖，定義一個(gè)矩陣，其中行號(hào)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)號(hào)，列號(hào)對(duì)應(yīng)支路號(hào)，矩陣中第i行第j列元素定義為 (1.14)由此寫(xiě)出的矩陣稱(chēng)為線(xiàn)圖的節(jié)

22、點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣(incidence matrix)。例如，對(duì)圖1.14所示的電橋電路線(xiàn)圖，其關(guān)聯(lián)矩陣為 (1.15) 由關(guān)聯(lián)矩陣的定義可知，的每一列有且僅有兩個(gè)非零元素，分別是1和1，每一列元素之和均為零。所以，的任意一行都可由其它n-1行來(lái)確定，只有n-1個(gè)獨(dú)立行。因此，可將的任意一行省略(通常省略參考節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行)，得到一個(gè)降階關(guān)聯(lián)矩陣(reduced incidence matrix)，記為A。例如，對(duì)式(1.15)所示的關(guān)聯(lián)矩陣，除去節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的第4行，則降階關(guān)聯(lián)矩陣為 （1.16）以后常用降階關(guān)聯(lián)矩陣，所以將"降階"兩字省略，簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)聯(lián)矩陣。關(guān)聯(lián)矩陣與網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖一一對(duì)應(yīng)

23、。從它的行可以得知與該行對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)相聯(lián)的支路情況；從它的列可以得知與該列對(duì)應(yīng)支路所聯(lián)結(jié)的節(jié)點(diǎn)情況。關(guān)聯(lián)矩陣是網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖的一種數(shù)學(xué)表示，這種表示便于對(duì)線(xiàn)圖進(jìn)行各種數(shù)學(xué)計(jì)算。關(guān)聯(lián)矩陣可以從已知的線(xiàn)圖根據(jù)定義得到；反過(guò)來(lái)，從已知的關(guān)聯(lián)矩陣，不難畫(huà)出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖。、列KCL方程并表達(dá)成矩陣形式為 (1.17)A。這一結(jié)果不難從關(guān)聯(lián)矩陣的定義來(lái)理解。 推廣到一般情況。將b個(gè)支路電流寫(xiě)成支路電流列矢量，則基爾霍夫電流定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式為 AI0 (1.18)號(hào)節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)， (1.19)A的轉(zhuǎn)置。這一結(jié)論也不難從關(guān)聯(lián)矩陣的定義來(lái)理解。推廣到一般情況，設(shè)網(wǎng)絡(luò)有b條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，第n號(hào)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，支路電壓

24、和節(jié)點(diǎn)電壓列矢量分別記作則基爾霍夫電壓定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式是 (1.20)2 基本回路矩陣及基爾霍夫定律的基本回路矩陣形式在第一章已對(duì)基本回路作了明確定義。對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖G，選定一樹(shù)后，便唯一確定了一組基本回路，回路數(shù)等于連支數(shù)b-(n-1)?；净芈放c支路(包括樹(shù)支和連支)的關(guān)聯(lián)關(guān)系可以用基本回路矩陣(fundamental loop matrix) B來(lái)表示。定義B的行對(duì)應(yīng)基本回路、列對(duì)應(yīng)支路，B是矩陣，其元素為 (1.21) 例如，對(duì)圖1.15所示的基本回路，按基本回路的定義，可寫(xiě)出如下矩陣： (1.22) 基本回路矩陣是基本回路與支路關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示。由線(xiàn)圖及基本回路

25、可以求得基本回路矩陣，反之亦然。如支路的編號(hào)順序按照先樹(shù)支后連支，并且基本回路的編號(hào)順序與連支的編號(hào)順序一致。這樣，在B矩陣的右端必定出現(xiàn)的單位矩陣。下面將基爾霍夫定律表達(dá)成基本回路矩陣形式?；净芈穼?duì)應(yīng)的基爾霍夫電壓定律方程是一組獨(dú)立方程。對(duì)圖1.15所示的基本回路列寫(xiě)KVL方程，并表達(dá)成矩陣形式 (1.23)上述方程的系數(shù)矩陣剛好是圖1.15的基本回路矩陣。此結(jié)論可以從基本回路矩陣的定義去理解。推廣到一般情況，設(shè)U表示支路電壓列矢量，基爾霍夫電壓定律的基本回路矩陣形式為 (1.24) (1.25)再將上述方程擴(kuò)展到全部支路電流，則是 (1.26)上述方程的系數(shù)矩陣剛好是基本回路矩陣B的轉(zhuǎn)置

26、。將此結(jié)論推廣到一般情況。設(shè)連支電流列矢量為，則基爾霍夫電流定律的基本回路矩陣形式為 (1.27)3基爾霍夫定律的基本割集矩陣形式 對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖G，選定一樹(shù)后，便唯一確定了一組基本割集，基本割集數(shù)等于樹(shù)支數(shù)(n-1)。基本割集與支路(包括樹(shù)支和連支)的關(guān)聯(lián)關(guān)系也可以用一個(gè)矩陣來(lái)表示。定義矩陣的行對(duì)應(yīng)基本割集，列對(duì)應(yīng)支路，其元素為 (1.28)按此寫(xiě)出的矩陣稱(chēng)為基本割集矩陣(fundamental cut-set matrix)，用C表示。 例如，對(duì)圖1.16所示的基本割集，按基本割集定義，可寫(xiě)出如下的基本割集矩陣 (1.29) 基本割集矩陣是基本割集與支路關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示

27、。由線(xiàn)圖及基本割集可以求得基本割集矩陣，反之亦然。如支路的編號(hào)順序按照先樹(shù)支后連支，并且基本割集編號(hào)順序與樹(shù)支編號(hào)順序一致。這樣，在C矩陣的左端必定出現(xiàn)的單位矩陣。下面將基爾霍夫定律表達(dá)成基本割集矩陣形式?；靖罴瘜?duì)應(yīng)的基爾霍夫電流定律方程是一組獨(dú)立方程。對(duì)圖1.16所示的基本割集列寫(xiě)基爾霍夫電流定律方程，并表達(dá)成矩陣形式為 (1.30)與(1.29)式對(duì)比可見(jiàn)，上述方程的系數(shù)矩陣剛好是圖1.16的基本割集矩陣。推廣到一般情況。設(shè)I表示支路電流列矢量，則基爾霍夫電流定律的基本割集矩陣形式是 (1.31)再分析基爾霍夫電壓定律。 (1.32) 再將上述方程擴(kuò)展到全部支路電壓便得 (1.33)C的

28、轉(zhuǎn)置。推廣到一般情況。設(shè)樹(shù)支電壓列矢量為，則基爾霍夫電壓定律的基本割集矩陣形式是 (1.34)用上述基爾霍夫定律的某種矩陣形式可以證明特勒根定理。僅以基爾霍夫定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式為例，其它情況讀者可以仿此進(jìn)行。將(1.20)式兩邊轉(zhuǎn)置可得再由(1.18)式便可證得特勒根定律，即4 網(wǎng)絡(luò)矩陣之間關(guān)系前面分別定義了三種網(wǎng)絡(luò)矩陣，它們都可以用來(lái)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)信息。其中基本回路矩陣B和基本割集矩陣C還反映了所選擇的樹(shù)。因此，這些矩陣之間必定存在一定的關(guān)系。借助基爾霍夫定律的三種矩陣形式，可以討論這些關(guān)系。將(1.27)式代入(1.18)式得上式對(duì)任意連支電流均成立。由此得關(guān)聯(lián)矩陣與基本回路矩陣的關(guān)系 或

29、 (1.35) 如果對(duì)支路和基本回路的編號(hào)能夠使得矩陣B中出現(xiàn)單位子矩陣，則上式可進(jìn)一步寫(xiě)成分塊矩陣的形式其中下標(biāo)t和l分別表示對(duì)應(yīng)樹(shù)支和連支的分塊。將上式展開(kāi)得 (1.36) 可以證明，關(guān)聯(lián)矩陣中對(duì)應(yīng)樹(shù)支的分塊子矩陣的行列式為，其逆矩陣總是存在的。將(1.34)式代入(1.24)式得上式對(duì)任意樹(shù)支電壓均成立。由此得基本回路矩陣與基本割集矩陣的關(guān)系 或 (1.37) 如果對(duì)支路、基本回路和基本割集的編號(hào)使得矩陣B和矩陣C中均出現(xiàn)單位子矩陣，則上式可進(jìn)一步寫(xiě)成分塊矩陣的形式將上式展開(kāi)后得常用關(guān)系 (1.38) 上式表明，對(duì)同一線(xiàn)圖的同一樹(shù)，基本回路矩陣B和基本割集矩陣C可以簡(jiǎn)單地相互求得。本節(jié)使

30、用了電壓、電流的瞬時(shí)值形式，其對(duì)應(yīng)結(jié)論完全可以推廣到電壓、電流的相量或象函數(shù)形式。§ 支路方程的矩陣形式 前一節(jié)將基爾霍夫定律表達(dá)成了矩陣形式。為建立矩陣形式的電路方程，還須建立矩陣形式的支路方程。為規(guī)范起見(jiàn)，引入圖1.17(a)所示的廣義(generalized branch)支路。其中包括一個(gè)阻抗、一個(gè)電壓源和一個(gè)電流源。暫不考慮受控電源情況。為一般性起見(jiàn)，這里使用了復(fù)頻域形式的廣義支路模型。對(duì)于只含其中一種元件或兩種元件的支路，可以看作是上述廣義支路當(dāng)其它元件參數(shù)為零時(shí)的特殊情況。有時(shí)廣義支路也稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)支路或一般支路。一個(gè)廣義支路在線(xiàn)圖中對(duì)應(yīng)一條支路，如圖1.17(b)。第k條

31、廣義支路的支路方程可以表示成 (k=1,b) (1.39)或者 (k=1,b) (1.40)其中表示支路運(yùn)算導(dǎo)納。 寫(xiě)出每一廣義支路的支路方程，并表達(dá)成矩陣形式便是(為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，以下省略復(fù)變函數(shù)中的復(fù)變量s) (1.41) (1.42)其中、分別稱(chēng)為廣義支路電壓列矢量與廣義支路電流列矢量；、分別稱(chēng)為支路源電壓與支路源電流列矢量；對(duì)角矩陣、分別稱(chēng)為支路阻抗矩陣與支路導(dǎo)納矩陣。若逆矩陣存在，則或。下面討論含有受控源的電路。當(dāng)電路中含有受控電源時(shí)，其支路阻抗矩陣或支路導(dǎo)納矩陣不再具有對(duì)角性質(zhì)。以圖1.18(a)為例，圖中含VCCS支路的支路方程為與其它支路方程合在一起并寫(xiě)成矩陣形式得故支路導(dǎo)納矩陣為

32、它是在不含VCCS電路的支路導(dǎo)納矩陣的第2行第1列位置上增加VCCS的控制系數(shù)g。其中“2”表示被控支路編號(hào)，“1”表示控制支路編號(hào)。該結(jié)論可以推廣到一般情況：設(shè)支路i是VCCS的被控支路，它受支路j導(dǎo)納上的電壓控制，控制系數(shù)為，則支路導(dǎo)納矩陣的i行j列元素將產(chǎn)生的增量。當(dāng)控制電壓、被控電流分別與支路j和支路i方向一致時(shí)，前面取“”號(hào)；否則，每改變一個(gè)方向，的前面變號(hào)一次。按照這一規(guī)則便可直接寫(xiě)出含有VCCS的支路導(dǎo)納矩陣。當(dāng)含有其它受控電源時(shí)，可利用電源等效變換，將其全部等效成VCCS，然后再按上述規(guī)則列寫(xiě)支路導(dǎo)納矩陣。 根據(jù)上述分析可知，當(dāng)直接列寫(xiě)含有受控源電路的支路阻抗矩陣時(shí)，宜將全部受

33、控電源等效成電流控制電壓源CCVS，然后仿照支路導(dǎo)納矩陣的列寫(xiě)規(guī)則列寫(xiě)支路阻抗矩陣即可。在此不再贅述。當(dāng)電路中含有互感元件時(shí)，其支路阻抗矩陣可以直接列寫(xiě)。設(shè)支路間含有互感，如圖1.19所示。其支路方程為的矩陣形式為(1.43)由此可見(jiàn)，含有互感時(shí)，支路阻抗矩陣不是對(duì)角矩陣，其非對(duì)角元素變?yōu)楹ジ性娐返闹穼?dǎo)納矩陣通過(guò)支路阻抗矩陣的逆來(lái)得到。 廣義支路雖然表示了相當(dāng)一部分具體支路，但它仍有許多局限性。因?yàn)?1.41)式是用支路電流表示支路電壓；(1.42)則反之。對(duì)于純電壓源支路，只存在(1.41)式，而對(duì)純電流源支路，則只存在(1.42)式。對(duì)于含有理想變壓器、VCVS或CCCS的電路，如

34、不對(duì)其預(yù)先進(jìn)行人為的等效變換，則難以寫(xiě)出(1.41)或(1.42)所示的支路方程。當(dāng)遇到上述情況時(shí)，為了增強(qiáng)支路方程的適用性，通常將支路方程推廣為如下更普遍的形式 (1.44) 下面舉例說(shuō)明?！纠}】1.6.1 寫(xiě)出圖1.20(a)所示電路支路方程的矩陣形式。 【解】：畫(huà)出電路線(xiàn)圖如圖(b)所示。將純電壓源及理想變壓器支路作單獨(dú)考慮，它們的元件方程分別是寫(xiě)成矩陣形式其中(1.45)將上述方程與電阻元件的歐姆定律方程聯(lián)立，按支路編號(hào)依次排列后寫(xiě)成矩陣形式便得圖1.20(a)電路的支路方程(1.44)所示的支路方程在形式上雖比(1.41)和(1.42)所示的支路方程復(fù)雜，但它的適應(yīng)性卻要比(1.4

35、1)和(1.42)式強(qiáng)得多。在改進(jìn)節(jié)點(diǎn)中，對(duì)以電流為變量的支路就是用(1.44)所示的支路方程。§ 節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式本節(jié)在基爾霍夫定律及支路方程矩陣形式的基礎(chǔ)上建立節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。將支路方程(1.42)式代入基爾霍夫電流定律方程的關(guān)聯(lián)矩陣形式(1.18)，以消去支路電流變量再將基爾霍夫電壓定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式(1.20)代入上式，以消去支路電壓，取而代之的是節(jié)點(diǎn)電壓移項(xiàng)后得 (1.46)這就是節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。它是(n-1)元聯(lián)立方程，方程變量是節(jié)點(diǎn)電壓。其中是方陣，和都是(n-1)階列矩陣。令 (1.47)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣(node admittance matrix

36、)，對(duì)不含受控電源和回轉(zhuǎn)器的電路，它是對(duì)稱(chēng)矩陣。再設(shè) (1.48)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)源電流列矢量(node injection current vector)，其中右邊第一項(xiàng)是廣義支路中各電壓源化為電流源后，流入各節(jié)點(diǎn)的電流，而第二項(xiàng)是廣義支路中電流源流出各節(jié)點(diǎn)的電流。 根據(jù)(1.47)、(1.48)式，節(jié)點(diǎn)電壓方程(1.46)可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 (1.49) 對(duì)于較復(fù)雜的電路，通常要借助計(jì)算機(jī)求得上述方程的數(shù)值解。直接分解法和迭代法是兩類(lèi)常用的數(shù)值解法。讀者可參閱有關(guān)數(shù)值分析方面的書(shū)籍以獲得更多知識(shí)和技能。 【例題13.2】 利用本節(jié)方法列寫(xiě)圖1.21(a)所示電路節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式，并求出各廣義支路的電壓和

37、電流。 【解】 按下列步驟列解矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程：(1) 按照廣義支路的定義，作出網(wǎng)絡(luò)線(xiàn)圖，如圖1.21(b)所示。(2) 根據(jù)線(xiàn)圖寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣A(3) 根據(jù)線(xiàn)圖并對(duì)照電路圖寫(xiě)出 支路導(dǎo)納矩陣 支路源電壓列矢量 支路源電流列矢量 (4) 根據(jù)(1.47)式計(jì)算節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，根據(jù)(1.48)式計(jì)算節(jié)點(diǎn)源電流列矢量。(5) 按(1.49)列出節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式，即(6) 求解上式得節(jié)點(diǎn)電壓 (7) 根據(jù)(1.20)式求出廣義支路電壓，根據(jù)(1.42)式求出廣義支路電流 對(duì)于本例的簡(jiǎn)單電路，用從前學(xué)過(guò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程的直觀(guān)列寫(xiě)規(guī)則可以簡(jiǎn)單許多。但對(duì)于復(fù)雜電路，必須按照規(guī)范步驟列寫(xiě)電路方程，以便

38、編制計(jì)算程序。本例是借助簡(jiǎn)單電路說(shuō)明復(fù)雜電路的分析方法。§1.8 改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法由于其適應(yīng)性強(qiáng)、方程數(shù)目少而在實(shí)際中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法時(shí)，電路的支路實(shí)際上被分成了兩部分：一部分是以支路電流為變量的支路，在此用下標(biāo)2表示；其余部分用下標(biāo)1表示。這樣，電路的關(guān)聯(lián)矩陣可以寫(xiě)成分塊形式，而關(guān)聯(lián)矩陣形式的基爾霍夫定律方程可以寫(xiě)成KCL: (1.50) KVL: (1.51)兩部分的支路方程分別寫(xiě)成 (1.52) (1.53)根據(jù)上述方程便可得到改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法方程的矩陣形式 (1.54)式中 。 (1.54)式中和實(shí)際上就是將以電流為變量的第2組支路斷開(kāi)后的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)源電流列矢量；表示第