線性系統(tǒng)的時域分析習(xí)題答案

1、3.1 學(xué)習(xí)要點1控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的基本概念，典型輸入信號及意義；2控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)及應(yīng)用；3控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)，一階二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特性與時域指標(biāo)計算；4高階系統(tǒng)時域分析中主導(dǎo)極點和主導(dǎo)極點法；5 控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差概念、計算方法與誤差系數(shù)，減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法。3.2 思考與習(xí)題祥解題 思考與總結(jié)下述問題。（1）畫出二階系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上分布的幾種情況，歸納值對二階系統(tǒng)特征根的影響規(guī)律。（2）總結(jié)和對二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性的影響規(guī)律。（3）總結(jié)增加一個零點對二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性的影響規(guī)律。（4）分析增加一個極點可能對二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性有何影響？（5）系統(tǒng)誤差與哪些因素有關(guān)

2、？試歸納減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的措施與方法。（6）為減小或消除系統(tǒng)擾動誤差，可采取在系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中增加積分環(huán)節(jié)的措施。請問，該積分環(huán)節(jié)應(yīng)在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中如何配置，抗擾效果是否與擾動點相關(guān)？答：（1）二階系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上分布情況如圖3.1所示。圖3.1 二階系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布當(dāng)，二階系統(tǒng)特征根是一對共軛純虛根，如圖中情況。當(dāng)，二階系統(tǒng)特征根是一對具有負實部的共軛復(fù)數(shù)根，變化軌跡是以為半徑的圓弧，如圖中情況。當(dāng)，二階系統(tǒng)特征根是一對相同的負實根，如圖中情況。當(dāng)，二階系統(tǒng)特征根是一對不等的負實根，如圖中情況。（2）和是二階系統(tǒng)的兩個特征參量。是系統(tǒng)阻尼比，描述了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。當(dāng)，二階系

3、統(tǒng)特征根是一對共軛純虛根，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為等幅振蕩特性，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。當(dāng)，二階系統(tǒng)特征根是一對具有負實部的共軛復(fù)數(shù)根，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為衰減振蕩特性，系統(tǒng)穩(wěn)定。越小，二階系統(tǒng)振蕩性越強，平穩(wěn)性越差；越大，二階系統(tǒng)振蕩性越弱，平穩(wěn)性越好。因此，二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)超調(diào)量由值唯一確定，即。在工程設(shè)計中，對于恒值控制系統(tǒng)，一般取 0.20.4；對于隨動控制系統(tǒng)0.60.8。是系統(tǒng)無阻尼自然振蕩頻率，反映系統(tǒng)的快速性。當(dāng)一定，二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時間與值成反比，即。（3）二階系統(tǒng)增加一個零點后，增加了系統(tǒng)的振蕩性，將使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量增大，上升時間和峰值時間減小。 所增加的零點越靠近虛軸

4、，則上述影響就越大；反之，若零點距離虛軸越遠，則其影響越小。（4）二階系統(tǒng)增加一個極點后，減弱了系統(tǒng)的振蕩性，將使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量減小，上升時間和峰值時間減??； 所增加的極點越靠近虛軸，則上述影響就越大；反之，若極點距離虛軸越遠，則其影響越小。（5）系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)的誤差度（開環(huán)傳遞函數(shù)所含純積分環(huán)節(jié)的個數(shù)或系統(tǒng)型別）、開環(huán)放大系數(shù)，以及作用于系統(tǒng)的外部輸入信號有關(guān)。如果是擾動誤差還與擾動作用點有關(guān)。因此，減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的措施與方法有：增大開環(huán)放大系數(shù)，增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)，引入按給定或按擾動補償?shù)膹?fù)合控制結(jié)構(gòu)。無論采用何種措施與方法減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，都要注意系統(tǒng)須

5、滿足穩(wěn)定的條件。（6）采取在系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中增加積分環(huán)節(jié)的措施來減小或消除系統(tǒng)擾動誤差時，所增加的積分環(huán)節(jié)須加在擾動作用點之前。若所增加的積分環(huán)節(jié)加在擾動作用點之后，則該積分環(huán)節(jié)無改善抗擾效果作用。這一點可以通過誤差表達式分析得到。題系統(tǒng)特征方程如下，試判斷其穩(wěn)定性。（a）；（b）；（c）解：（a）穩(wěn)定； （b）穩(wěn)定； （c）不穩(wěn)定。題3.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如題圖所示。控制器，為使該系統(tǒng)穩(wěn)定，控制器參數(shù)、應(yīng)滿足什么關(guān)系？ 解：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：所以系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是； 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求閉環(huán)特征根的實部均小于-1，求K值應(yīng)取的范圍。解：系統(tǒng)特征方程為要使系統(tǒng)特征根實部小于，可以把

6、原虛軸向左平移一個單位，令，即，代入原特征方程并整理得運用勞斯判據(jù)，最后得 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若系統(tǒng)以2rad/s頻率持續(xù)振蕩，試確定相應(yīng)的K和值解：可以利用Routh判據(jù)或其它方法解答。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程利用Routh判據(jù)。作Routh表如下： 1 系統(tǒng)持續(xù)振蕩的條件是所以， 題3.6 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求單位階躍響應(yīng)和調(diào)節(jié)時間。解：依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)其中。單位階躍響應(yīng)， 。機器人控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如題3.7圖所示。試確定參數(shù)值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的峰值時間s，超調(diào)量。圖解：依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為由 聯(lián)立求解得 比較分母系數(shù)得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如題3.8圖所示。（1） 當(dāng)

7、時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)和；（2） 若使系統(tǒng)，單位速度誤差時，試確定和值。解：按題3.7思路合方法，可解得（1）（2）已知質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)如題 (a)圖所示，其中質(zhì)量為m公斤，彈簧系數(shù)為k牛頓/米，阻尼器系數(shù)為牛頓秒/米，當(dāng)物體受F= 10牛頓的恒力作用時，其位移y(t)的的變化如圖(b)所示。求、和的值。圖(a) 圖(b)解：系統(tǒng)的微分方程為 ：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ：因此 利用拉普拉斯終值定理及圖上的穩(wěn)態(tài)值可得：所以 10/ k=0.06 ，從而求得k = 166.7 N/m由系統(tǒng)得響應(yīng)曲線可知，系統(tǒng)得超調(diào)量為，由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的計算公式 解得 由響應(yīng)曲線得，峰值時間為3s，所以由解得

8、 由系統(tǒng)特征方城可知所以 已知一控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題3.10圖， 1） 確定該系統(tǒng)在輸入信號下的時域性能指標(biāo)：超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間和峰值時間；2） 當(dāng)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。題解：1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為比較 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，可得而，所以2）由題意知，該系統(tǒng)是個線性系統(tǒng)，滿足疊加原理，故可以分別求取，和分別作用于系統(tǒng)時的穩(wěn)態(tài)誤差和，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就等于。A） 單獨作用時，由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的開環(huán)增益，所以系統(tǒng)對的穩(wěn)態(tài)誤差為：B） 單獨作用時，系統(tǒng)的方塊圖為圖3.2。圖3.2 題用圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：頻率特性為：當(dāng)系統(tǒng)作用為時，所以系統(tǒng)的輸出為：所以系統(tǒng)的誤差為： 已知一個n階閉環(huán)系統(tǒng)的微分方程為其中r為輸入，y為輸出，所有系數(shù)均大于零。 (1). 寫出該系統(tǒng)的特征方程； (2). 寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； (3). 若該系統(tǒng)為單位負反饋系統(tǒng)，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)； (4). 若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，求當(dāng)時的穩(wěn)態(tài)誤差（誤差定義為）； (5). 為使系統(tǒng)在時的穩(wěn)態(tài)誤差，除系統(tǒng)必須穩(wěn)定外，還應(yīng)滿足什么條件？ (6)