最新人教版九年級數學知識點總結(2017)

1、21.1 一元二次方程易錯點： a0 和a=0 方程兩個根的取舍知識點一 一元二次方程的定義:等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點： 只含有一個未知數； 未知數的最高次數是2； 是整式方程。知識點二 一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a 0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。知識點三 一元二次方程的根:使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。21.2

2、降次解一元二次方程21.2.1 配方法知識點一 直接開平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=,x2=.（2） 直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接開平方法。（3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。（4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；兩邊直接開平

3、方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二 配方法解一元二次方程 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。 配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。（1） 把常數項移到等號的右邊；（2） 方程兩邊都除以二次項系數；（3） 方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式； 若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。21.2.2 公式法知識點一 公式法解一元二次方程（1） 一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，如果b2-4ac0，那么方程的兩個根為

4、x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的過程。（3） 公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，一般a化為正值 確定公式中a,b,c的值，注意符號； 求出b2-4ac的值； 若b2-4ac0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac0，則方程無實數根(有虛數根- 高中學)。知識點二 一元二次方程根的判別式 式子b2-4ac叫做方

5、程ax2+bx+c=0(a0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即=b2-4ac.0，方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實數根根的判別式=0，方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實數根0，方程ax2+bx+c=0(a0)無實數根 21.23 因式分解法知識點一 因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的詳細步驟： 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0； 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令

6、每一個因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據 適用范圍直接開平方法 平方根的意義形如x2=p或（mx+n）2=p(p0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當ab=0，則a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根與系數的關系 若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=，,x1x2=21

7、.3 實際問題與一元二次方程知識點一 列一元二次方程解應用題的一般步驟：（1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。（2） 設：是指設元，也就是設出未知數。（3） 列：就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知數的值。（5） 驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。（6） 答：寫出答案。知識點二 列一元二次方程解應用題的幾種常見類型（1） 數字問題 三個連續(xù)整數：若設中間的一個數為x，則另兩個數分別為

8、x-1，x+1。 三個連續(xù)偶數（奇數）：若中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。 三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.（2） 增長率問題 設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低 后的等量關系為a（1）2=b。（3）利潤問題 利潤問題常用的相等關系式有：總利潤=總銷售價-總成本；總利潤=單位利潤總銷 售量；利潤=成本利潤率（4）圖形的面積問題 根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數 式表示出來，建立一元二次方程。22. 二次函數知識點歸納一、相關概

9、念及定義1 二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2 二次函數的結構特征：（1）等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2（2）是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項二、二次函數各種形式之間的變換1二次函數用配方法可化成：的形式，其中.2 二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.三、二次函數解析式的表示方法1 一般式：（，為常數，）；2 頂點式：（，為常數，）；3 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.4 注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但

10、并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.四、二次函數圖象的畫法1 五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.2 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.5、 二次函數的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增

11、大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值六、二次函數的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值七、二次函數的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值八、二次函數的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值九、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點

12、.1 的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.2對稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.3頂點坐標：4頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.十、拋物線中，與函數圖像的關系1 二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2一次項系數在二次項系

13、數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置總結：3常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是

14、唯一確定的十一、求拋物線的頂點、對稱軸的方法1公式法：，頂點是，對稱軸是直線.2配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.3運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.十二、用待定系數法求二次函數的解析式1一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.2頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.3交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.十三、直線與拋物線的交點1軸與拋物線得

15、交點為(0, ).2與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).3拋物線與軸的交點:二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.4平行于軸的直線與拋物線的交點可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.5一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與

16、沒有交點.6拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故十四、二次函數圖象的對稱:二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；2關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；3關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4關于頂點對稱關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是5關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是總結：根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不

17、變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十五、二次函數圖象的平移1.平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2平移規(guī)律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”十六、根據條件確定二次函數表達式的幾種基本思路。1.三點式。（1）已知拋物線y=ax2+bx+c 經過A（，0），B（，0），C（0，-3

18、）三點，求拋物線的解析式。（2）已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經過點A（2，3），求拋物線的解析式。2.頂點式。（1）已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為A（2，1），求拋物線的解析式。（1）已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點為（3，1），求拋物線的解析式。3.交點式。（1）已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知拋物線線與 x 軸兩個交點（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。4.定點式。（1）在直角坐標系中，不論a 取何值，拋物線經過x 軸上一定點Q，直線經過點Q,求拋

19、物線的解析式。（2）拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。（3） 拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點A，求拋物線的解析式。5.平移式。（1）把拋物線y= -2x2 向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。（2）拋物線向上平移,使拋物線經過點C(0,2),求拋物線的解析式.6.距離式。（1）拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個交點間的距離為2，求拋物線的解析式。（2）已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)與 x軸交于A、B兩點，與

20、軸交于C點，且AB=BC,求此拋物線的解析式。7.對稱軸式。（1）拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y軸距離的2倍，求拋物線的解析式。（2）已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點A在點B左邊）兩點，交 y軸于點C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。8.對稱式。（1）平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點B到B1的位置，求經過A,B,E三點的拋物線的解析式。（2）求與拋物線y=x2+4x+3關于y軸（或x軸）對稱的拋物線的解析式。

21、9.切點式。（1）已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點，求拋物線的解析式。（2） 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點A（2，1）,求拋物線的解析式。10.判別式式。（1）已知關于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個相等的實數根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。（2）已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點在x軸上,求拋物線的解析式。23 旋轉23.1 圖形的旋轉知識點一 旋轉的定義 在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們

22、把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二 旋轉的性質 旋轉的特征：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：（1） 圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三 利用旋轉性質作圖 旋轉有兩條重要性質：（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為：連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；

23、 轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點； 接：即連接到所連接的各點。23.2 中心對稱知識點一 中心對稱的定義 中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點： 中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉180兩個圖形能夠完全重合。知識點二 作一個圖形關于某點對稱的圖形 要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接

24、起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三 中心對稱的性質有以下幾點：（1） 關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2） 關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；（3） 關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。知識點四 中心對稱圖形的定義 把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五 關于原點對稱的點的坐標 在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。24 圓24.1 圓24.1.1

25、 圓知識點一 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。 第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二 圓的相關概念（1） 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。（2） ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩

26、個圓叫做等圓。（4） 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識點一 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二 垂徑定理CMABD （1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CDAB， AM=BM 垂足為M AC=BC AD=BD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M， CDAB

27、AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識點 弦、弧、圓心角的關系（1） 弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2） 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識點一 圓周角定理 （1

28、） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡模駝t就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二 圓內接四邊形及其性質 圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。 圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。24.2 點、直線、圓和圓的位置關系24.2.1 點和圓的位置關系知識點一 點

29、與圓的位置關系（1） 點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。（2） 用數量關系表示：若設O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有： 點P在圓外 dr；點p在圓上 d=r；點p在圓內 dr。知識點二 過已知點作圓（1） 經過一個點的圓（如點A）O2 O1 O3A 以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。（2） 經過兩點的圓（如點A、B）AB 以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。（3） 經過三點的圓 經過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點

30、確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。AOCB知識點三 三角形的外接圓與外心（1） 經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四 反證法（1） 反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命

31、題的方法叫做反證法。（2） 反證法的一般步驟： 假設命題的結論不成立； 從假設出發(fā)，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論； 由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關系知識點一 直線與圓的位置關系（1） 直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。（2） 直線與圓的位置關系可以用數量關系表示 若設O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有： 直線l和O相交 d r；直線l和O相切 d = r；直線l和O相離 d r。知識點二 切線的判定和性質（1） 切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2） 切線的

32、性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3） 切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三 切線長定理（1） 切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2） 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3） 注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四 三角形的內切圓和內心(1)

33、三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。(3) 注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。24.2.3 圓和圓的位置關系知識點一 圓與圓的位置關系（1） 圓與圓的位置關系有五種： 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種； 如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切兩種； 如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2） 圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示： 若設兩圓圓心之

34、間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1 r2,且r1 r2，則有 兩圓外離 dr1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r2-r1dr1+r2 兩圓內切 d=r2-r1 兩圓內含 dr2-r124.3 正多邊形和圓知識點一 正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切：把圓分成n（n是大于2的自然數）等份，順次連接各分 點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形

35、的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二 正多邊形的性質（1） 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。（2） 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。（3） 正n邊形的每一個內角等于，中心角和外角相等，等于。24.4 弧長和扇形面積知識點一 弧長公式l=在半徑為R的圓中，360的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2R，所以n的圓心角所對的弧長的計算公式l=2R=。知識點二 扇形面積公式在半徑為R的圓中，360的圓心角所

36、對的扇形面積就是圓的面積S=R2，所以圓心角為n的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現：S扇形=知識點三 圓錐的側面積和全面積 圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2r，因此圓錐的側面積。圓錐的全面積為 。25.1 隨機事件與概率25.1.1 隨機事件知識點一 必然事件、不可能事件、隨機事件 在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱

37、為隨機事件。必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統稱為確定性事件。知識點二 事件發(fā)生的可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。25.1.2 概率知識點 概率一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。由m和n的含義可知0mn，因此01，因此 0P（A）1.當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不

38、可能事件時，P（A）=0.25.2 用列舉法求概率知識點一 用列舉法求概率 一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。知識點二 用列表發(fā)求概率當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數和方式，并求出概率的方法。 知識點三 用樹形圖求概率 當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各

39、種情況出現的次數和方式，并求出概率的方法。 樹形圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的方法。 在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同。25.3 用頻率估計概率知識點在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預測，表面上看似無規(guī)律可循，但當我們做大量重復試驗時，這個事件發(fā)生的頻率呈現出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發(fā)生的頻率作為這個事件的概率的估計值。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某一個常數P，那么事件A發(fā)生的頻率P（A）=p 。 人教版九年級下冊數學課本知識點總結26反比例函數一、反比例函數的概念1（）可以寫成

40、（）的形式，注意自變量x的指數為，在解決有關自變量指數問題時應特別注意系數這一限制條件；2（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數解析式中的k，從而得到反比例函數的解析式；3反比例函數的自變量，故函數圖像與x軸、y軸無交點二、反比例函數的圖像畫法反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數中自變量函數中自變量，函數值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例的畫法分三個步驟：列表；描點；連線。再作反比例函數的圖像時應注意以下幾點：列表時選取的數值

41、宜對稱選??；列表時選取的數值越多，畫的圖像越精確；連線時，必須根據自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；畫圖像時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。三、反比例函數及其圖像的性質1函數解析式：（）2自變量的取值范圍：3圖像：（1）圖像的形狀：雙曲線，越大，圖像的彎曲度越小，曲線越平直。越小，圖像的彎曲度越大。（2）圖像的位置和性質：當時，圖像的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減小；當時，圖像的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大。（3）對稱性：圖像關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一

42、支。圖像關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上。4k的幾何意義如圖1，設點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PAx軸于A點，PBy軸于B點，則矩形PBOA的面積是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面積都是1/2|k|）。如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QCPA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為2|k|。5說明：（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論。（2）直線與雙曲線的關系：當時，兩圖像沒有交點；當時，兩圖像必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱四、實際

43、問題與反比例函數1求函數解析式的方法：（1）待定系數法；（2）根據實際意義列函數解析式。2注意學科間知識的綜合，但重點放在對數學知識的研究上五、充分利用數形結合的思想解決問題27 相似三角形一、圖形的相似 1圖形的相似：如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：）性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。2判定：如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。 3相似比：相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。 二、相似三角形 1性質：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似

44、。2判定.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。 (三邊對應成比例兩個三角形的兩個角對應相等；兩邊對應成比例,且夾角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。)3相似三角形應用視點：眼睛的位置；仰角：視線與水平線的夾角；盲區(qū)：看不到的區(qū)域。4相似三角形的周長與面積：相似三角形周長的比等于相似比。相似多邊形周長的比等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

45、相似多邊形面積的比等于相似比的平方。三、位似 1位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。2性質：在平面直角體系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形的對應點的坐標的比等于k或-k。注意1、位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似； 5位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。6根據一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關