指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

1、嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)第16卷第3期2004年5月JournalofJiaxingCollegeVol.16No.32004.5指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)蔣福坤,劉正春(嘉興學(xué)院信息工程學(xué)院,浙江嘉興314001)摘要:該文給出了指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的兩種方法,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了比較。關(guān)鍵詞:指數(shù)分布;區(qū)間估計(jì);假設(shè)檢驗(yàn)。中圖分類號(hào):O212.1Abstract:Thispaperexpoundstwomethods,intervalestimationandhypotheticaltestofparametersonindexdistribution,andmakescompari

2、sonbymeansofnumericalcalculation.Keywords:indexdistribution;intervalestimation;hypothesistest.CLC:O212.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A.文章編號(hào):1008-6781(2004)03-0012-030引言隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的不斷發(fā)展,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用更加廣泛。而區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題在統(tǒng)計(jì)推斷中占有很重要的地位。對(duì)于總體人們常常假設(shè)為正態(tài)分布,在正態(tài)總體下派生出了T分布、F分布、 2分布,并且研究了期望和方差的各種區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。而總體服從指數(shù)分布也是實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常碰到的。在總體服從指數(shù)分布的情況下,本文利

3、用概率論知識(shí)對(duì)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行了研究,并給出指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的兩種方法。1區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的方法1.1方法一1.1.1相關(guān)結(jié)論設(shè)總體X服從參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,X1,X2,Xn是X的一個(gè)容量為n的樣本,樣本的均值-,作統(tǒng)計(jì)量 n=nX-,由 分布的相關(guān)性質(zhì)可得:為X-服從參數(shù)為 結(jié)論1統(tǒng)計(jì)量 n=nX,n的 分布,即隨機(jī)變量 n分布密度函數(shù)Pn(x)為Pn(x)=由結(jié)論1可得到結(jié)論2統(tǒng)計(jì)量 n= n服從參數(shù)1,n的 分布,即 n的分布密度函數(shù) (x)為(x)=n-1-xxe(n-1)!x<0x 0nn-1- xex(n-1)!x<0x 01

4、.1.2參數(shù) 的1- 的置信區(qū)間-服從設(shè)總體X服從參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本,統(tǒng)計(jì)量 n= nX參數(shù)為1,n的 分布,對(duì)于給定的 (0,1),由 n分布密度函數(shù) (x)可以求出,使得-< 1-(n)=1- nXP (n)< 成立的臨界值(n)和 1-(n),于是得到參數(shù) 的置信度為1- 的置信區(qū)間 (n) 1-(n),從,nXnX收稿日期:2003-09-27.作者簡(jiǎn)介:蔣福坤(1953),男,浙江桐鄉(xiāng)人,嘉興學(xué)院信息工程學(xué)院。蔣福坤,劉正春:指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)而,總體的平均值的置信度為1- 的置信區(qū)間為其中:0 (x)dx=,

5、1.1.3參數(shù) 的假設(shè)檢驗(yàn)-(, (n)1-(n)2(n)(n)1-2(x)dx=1-設(shè)總體X服從參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,用X的一個(gè)樣本X1,X2,Xn檢驗(yàn)原假設(shè)H0: = 0選-取統(tǒng)計(jì)量 n= 0nX,當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí), n服從參數(shù)為1,n的 分布。給定顯著性水平 ,通過(guò)計(jì)算可2成立的臨界值(n)和 1-(n),拒絕域是0,(n) 1-(n),+)。得:P (n)=P 1-(n)=由樣本值算出統(tǒng)計(jì)量 n的值,若 n的值落入拒絕域,則拒絕原假設(shè)H0;否則,接受H0。1.2方法二1.2.1相關(guān)結(jié)論和定理設(shè)總體服從X參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,X1,X2,Xn是X的一個(gè)容量為

6、n的樣本,記S=i,T=minXi,則由順序統(tǒng)計(jì)量的有關(guān)分布可以得出:maxXii2是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。結(jié)論1二元隨機(jī)向量(S,T)的聯(lián)合分布密度函數(shù)是p(s,t)=n(n-1)F(s)-F(t)0n-2p(s)p(t)0<t<s其他其中:p(x),F(x)分別為X的密度函數(shù)與分布函數(shù)。由結(jié)論1又可得出:結(jié)論2二元隨機(jī)向量(U,V)=( S, T)的分布密度函數(shù)為n(n-1)(e-e)f(u,v)=由結(jié)論2可得到定理1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),隨機(jī)變量Z=U+V的分布函數(shù)為F(z)=(-1)0證明當(dāng)z>0時(shí),F(z)=PZ z=PU+V z=n(n-1)=n=(e0z-vn+1n-1-(

7、)!8en!2nz-kzkkn-1+nn-2kk=0n-1-v-un-2-u-vee0<v<u其他z>0z 0dv0vzz-v(e-v-e-u)n-2e-ue-vduedvedvkkn(-n-10k=0zn-1-e-z+v)n-1-v1)Cn-1ekkkk-kz-(n-2k)v=nek=0n-1n-1-kz+ne2k-nn-2kk=0-()!8en!2z-kzkkn-1+nn-2kk=0n-1n-1=(-1)1.2.2參數(shù)的的置信區(qū)間當(dāng)z 0,F(z)=0時(shí),定理得證。設(shè)總體X服從參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,X1,X2,Xn是X的一個(gè)容量為n的樣本,統(tǒng)計(jì)量Z= (S+

8、T)的分布函數(shù)為F(z),對(duì)于給定的 (0,1),由分布函數(shù)F(z)可求出,使得Pz (S+T)(n)< <z1- (n)=1- 成立的臨界值z(mì) (n)和z1- (n),于是得到參數(shù) 的置信度為1- 的置信區(qū)間為:嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)第16卷第3期z (n)z1- (n)S+T,S+T1.2.3參數(shù) 的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X服從參數(shù)為 ( >0)的指數(shù)分布,用X的一個(gè)樣本X1,X2,Xn檢驗(yàn)原假設(shè)H0: = 0選取統(tǒng)計(jì)量Z= 0(S+T),當(dāng)原假設(shè)成立時(shí),Z的分布函數(shù)為F(z),給定顯著性水平 ,通過(guò)計(jì)算可滿足PZ z (n)=PZ z1- (n)=成立的臨界值z(mì) (n)和z1- (n),

9、拒絕域是(0,z ()z1-n2 (),+)。n由樣本觀測(cè)值算出統(tǒng)計(jì)量Z的值,若Z的值落入拒絕域,則拒絕原假設(shè)H0;否則,接受H0。1.3舉例例:已知某種電子元件的使用壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布?，F(xiàn)從中抽取20個(gè)元件進(jìn)行壽命測(cè)試,得數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí))10501100108012001300106010901080118013201250134010601150115012501310109011401160(1)求平均壽命的95%的置信區(qū)間。(2)問(wèn)這種電子元件的平均壽命可否認(rèn)為是1170小時(shí)( =0.05)。解:采用方法一計(jì)算-(1)已知電子元件的使用壽命X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,樣本容

10、量n=20,統(tǒng)計(jì)量 =n X服從參數(shù)為1,20的 分布,由1- =0.95,得 =0.05。經(jīng)計(jì)算,得到臨界值 0.025(20)=12.22, 0.975(20)=29.67,由樣本觀測(cè)值算出-x=1168,于是總體平均壽命的95%的置信區(qū)間是(29.67,12.22)=(787,1911)。(2)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:=,即 =11701170-因?yàn)閚=20,當(dāng)H0成立時(shí),統(tǒng)計(jì)量 =X服從參數(shù)為1,20的 分布。由 =0.05,經(jīng)計(jì)算得臨界1170-值 0.025(20)=12.22, 0.975(20)=29.67,拒絕域?yàn)?,12.2229.67,+);由樣本觀測(cè)值得X=-1168,統(tǒng)計(jì)量

11、n=的值 =19.97 0,12.2229.67,+),所以接受原假設(shè)H0,即X11701170認(rèn)為這種電子元件的平均壽命為1170小時(shí)。采用方法二計(jì)算(1)這里取樣本容量n=19,用統(tǒng)計(jì)量Z= (S+T),當(dāng) =0.05時(shí),由Z的分布函數(shù)F(z)可得到臨界值z(mì)0.025(19)=1.777,z0.975(19)=6.68,用樣本觀測(cè)值中的前19個(gè)數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計(jì)量,計(jì)算得z=2390,的95%的置信區(qū)間為(,)=(357.78,1344.96) 6.681.777(2)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:=1170(略)。2結(jié)束語(yǔ)于是總體的平均壽命以上給出了總體服從指數(shù)分布的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的兩種方法,并給出了具體的算例。通過(guò)計(jì)算-和Z= 和比較,可看出分別采用統(tǒng)計(jì)量