10 怎樣計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度

1、靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算，一般有三種方法：1、 從點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā)進(jìn)行疊加；2、 用高斯定理求解；3、 從電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的微分關(guān)系求解。這三種方法各有優(yōu)點(diǎn)：從點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā)，通過(guò)疊加原理來(lái)計(jì)算，在原則上，是沒(méi)有不可應(yīng)用的。但是，疊加是矢量的疊加，因此計(jì)算往往十分麻煩。用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度，方法簡(jiǎn)單，演算方便，它有較大的局限性，只適宜于某些電荷對(duì)稱(chēng)分布的場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算，或者場(chǎng)強(qiáng)不是對(duì)稱(chēng)的，但為幾種能用高斯定理求解折場(chǎng)的合成。用場(chǎng)電勢(shì)的微分關(guān)系求場(chǎng)強(qiáng)也有普遍性，而且疊加是代數(shù)疊加。這一種方法也簡(jiǎn)便，不過(guò)還比不上高斯定理。所以求場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，一般首先考慮是瑣能用高斯定理，其次考慮是否能用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)

2、系去求。下面分別加以討論。一、從點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā)通過(guò)疊加原理進(jìn)行計(jì)算點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式：當(dāng)電荷連續(xù)分布時(shí)：式中電荷的線(xiàn)密度；電荷的面密度；電荷的體密度。式（2）、（3）、（4）中，積分應(yīng)普遍一切有電荷分布的地方。計(jì)算時(shí)，還必須注意這是矢量和。1、 善于積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題如果積分上包含有幾個(gè)相關(guān)的變量，只有將它們用同一變量來(lái)表示，積分才能積得結(jié)果。這在應(yīng)用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式求帶電體的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，或者應(yīng)用畢沙拉定律求時(shí)，常常遇到。因此，要積分必須先解決積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題。yxdEydExdEr圖2101積分上包含有幾個(gè)變量，相互之間存在一定的關(guān)系。因此，任一變量都可選作自變量，而將其他變量用該變量來(lái)統(tǒng)

3、一表示。必須指出，不但可以將積分號(hào)中包含的變量選作自變量，而且也可選擇不包含在積分號(hào)中但與積分號(hào)中的變量都有關(guān)的量作為自變量，要根據(jù)具體情況而定?，F(xiàn)以圖2101所示均勻帶電直線(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算為例來(lái)討論積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題。由圖可知：上述三個(gè)變量中，共有三個(gè)相關(guān)變量：、r。為了把積分計(jì)算出來(lái)，必須把三個(gè)變量統(tǒng)一用某一個(gè)變量，可以、r中的任一個(gè)，或者用它的相關(guān)變量來(lái)表示。究竟選哪一個(gè)好呢？如果選擇為自變量，則應(yīng)把、r都化作的函數(shù)來(lái)表示。由圖示幾何關(guān)系可得：于是得：好可把或r作為自變量，把其他變量用或r統(tǒng)一來(lái)表示。實(shí)用中，一般用作為自變量是比較方便的。2、 基本例題對(duì)于已知電荷線(xiàn)分布而求場(chǎng)強(qiáng)的習(xí)題，應(yīng)該掌

4、握其基本題。單位圓弧的弧元，電荷線(xiàn)密度，在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：當(dāng)。指向圓心；當(dāng)，背離圓心。如均勻帶電圓弧所張的圓心角為，則在圓心處所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：的方向，沿著徑向，當(dāng)時(shí)指向圓心，反之，背離圓心。一段電荷的線(xiàn)密度為，長(zhǎng)為的直線(xiàn)，求其延長(zhǎng)線(xiàn)上離開(kāi)直線(xiàn)近端的距離為a的P點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)（圖2102）。該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：負(fù)號(hào)表示的方向與x的方軸的正方向相反。電荷的線(xiàn)密度為，長(zhǎng)為的直線(xiàn)，線(xiàn)外有一點(diǎn)P，它與直線(xiàn)的距離為a。P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)可由式（5）、（6）求得。掌握了上述三個(gè)基本例題后，遇到以它們?yōu)榛A(chǔ)的組合題，應(yīng)用疊加原理就可以方便地算出結(jié)果。3、 組合題例例1一細(xì)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，沿著其上半部均勻地分布著電

5、荷有Q，沿其下半均勻地分布著電荷Q（圖2103）。求半圓中心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解法一上半部圓弧電荷在O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)如應(yīng)用式（7）得：方向如圖。下半部圓弧電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，應(yīng)用式（7）得：與的合矢量指向x的正方向，其值為：解法二在上半部圓弧上取一弧元，其上電荷為，故有：積分后得：對(duì)下半部圓弧而言有：積分以后得：因此有：例2一半徑為R、電荷線(xiàn)密度為的細(xì)圓環(huán)，在環(huán)上有一個(gè)的的小缺口。求圓環(huán)中心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。（圖2104）分析有小缺口的、細(xì)的帶電圓環(huán)，可以看成為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的小半圓環(huán)和一個(gè)長(zhǎng)的弧段合成。兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的小半圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等值反向。故而抵消了。于是剩下長(zhǎng)的弧段電荷，而它在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)用點(diǎn)電

6、荷場(chǎng)強(qiáng)公式求得：場(chǎng)強(qiáng)的方向從荷電弧元指向圓心。還可將有小缺口的帶電圓環(huán)，看成一個(gè)完整的電荷線(xiàn)密度為的圓環(huán)和一段長(zhǎng)為荷電荷密度為的小弧段疊加而成。這樣一來(lái)，又變成了一個(gè)帶負(fù)電的點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算了。當(dāng)然還可將環(huán)上各元段在O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)加以疊加計(jì)算而得。顯然這太麻煩了。由此可見(jiàn)，將復(fù)雜形狀的帶電體看成為簡(jiǎn)單形狀的帶電體疊加以及對(duì)稱(chēng)性的分析，這二點(diǎn)，在場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算中是十分重要的。例3一形狀如圖1105所示的絕緣細(xì)線(xiàn)，其上均勻分布著正電荷。已知電荷的線(xiàn)密度為，兩段直線(xiàn)長(zhǎng)均為a，半圓環(huán)的半徑為R，試求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。分析由于左右兩段荷電直線(xiàn)對(duì)O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等值反向，因此互相抵消了。于是只留下半圓環(huán)了。解荷電半圓在O點(diǎn)的

7、場(chǎng)強(qiáng)，根據(jù)（7）式得：方向如圖所示。如果圖2105a改為圖2105b，則O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)如何計(jì)算？請(qǐng)讀者自習(xí)。二、高斯定理真空中的高斯定理為：電荷連續(xù)分布時(shí)，用或或代。該式表；電場(chǎng)強(qiáng)度穿過(guò)封閉曲面（俗稱(chēng)高斯面），S的通量是由高斯面中所包圍的電量代數(shù)和決定的。高斯定理說(shuō)的是和之間的相互關(guān)系，它不表明與封閉曲面S上之直接關(guān)系。然而這不等于說(shuō)，在任何情況下都不可以用來(lái)求高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度。場(chǎng)強(qiáng)的分布是由電荷決定的，因而場(chǎng)強(qiáng)的分布具有對(duì)稱(chēng)性時(shí)，就可用高斯定理來(lái)求高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)。我們的回答是：并非一切帶有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)強(qiáng)都可用高斯定理來(lái)求，而只能說(shuō)某些具有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)強(qiáng)才可以用高斯定理來(lái)求。那么是否非對(duì)稱(chēng)性場(chǎng)強(qiáng)就一

8、定不可以用高斯定理來(lái)求場(chǎng)強(qiáng)呢？我們的回答是不一定。1、 怎樣合理選擇高斯面這是用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一個(gè)重要的問(wèn)題。讓我們從簡(jiǎn)單的情況求點(diǎn)電荷q的場(chǎng)強(qiáng)開(kāi)始談起：現(xiàn)在假設(shè)所要求的是P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。過(guò)P點(diǎn)作的高斯面有圖2106所示的幾種情況，哪一種合理？圖2106a：（點(diǎn)電荷未包圍在高斯面中）所以不能求出和q之間的關(guān)系。不包含點(diǎn)電荷作高斯面是不行的。那么是否包含了點(diǎn)電荷的高斯面（圖2106c 、b、d）就是合理嗎？對(duì)圖2106b、d兩種情況，高斯定理是成立的：，但是這兩個(gè)高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小不等，積分號(hào)中E不能從中提出，因此這樣作高斯面的作法是不合理的。我們知道，點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性，因此，如果以點(diǎn)

9、電荷為中心過(guò)點(diǎn)P作一球面。則該高斯布各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑向外，且大小相等，這時(shí)積分號(hào)中的E即可從中提出，即：據(jù)高斯定理得：對(duì)于同一題，有時(shí)高斯面的選取不只有一種。例如，本題選取扇形柱體的表面作高斯面，同樣是可以的，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)曲面的電通量不為零。設(shè)AOB，高斯面中包圍的電量為。故由高斯面可得：于是結(jié)果與上一種高斯面的的取法相同。前面講的例子，都具有對(duì)稱(chēng)性，一個(gè)是球?qū)ΨQ(chēng)，一個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)的，那么，是否因此得出結(jié)論凡是具有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)強(qiáng)都可由高斯定理來(lái)求呢？不行，能否說(shuō)，凡是非對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)都一定不可以用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)呢？回答同樣是否定的，請(qǐng)看圖2107。左圖中，電荷及場(chǎng)強(qiáng)的分布都具有對(duì)稱(chēng)性，但是作不出一個(gè)高

10、斯面能使所求的E從積分號(hào)中提出來(lái)。右圖中，一帶電導(dǎo)體（面密度為）的表面附近的場(chǎng)強(qiáng)可以用高斯定理來(lái)求。作一圓柱體表面為高斯面，由于該圓柱體的底面積ds很小，且圓柱體的高度甚小，因此，穿過(guò)底面之E與底面垂直須大小處處相同，而導(dǎo)體中的E為零，因此據(jù)高斯定理可得：這一例子充分而有力地證明了帶電導(dǎo)體表面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)雖然不對(duì)稱(chēng)，但仍可用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。關(guān)鍵并不在于場(chǎng)強(qiáng)是否對(duì)稱(chēng)性，而在于所求之E能否從積分號(hào)中提出來(lái)。高斯面的選取必須保證E能從積分號(hào)中提出來(lái)。還必須指出：不能應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)，不等于高斯定理不成立。高斯定理是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的一條重要定理。它是具有普遍性的。3、基本題例應(yīng)用高斯定理來(lái)求場(chǎng)強(qiáng)，常

11、常是由幾個(gè)基本題組合而得。因此，掌握基本題的結(jié)果是十分重要的。這幾個(gè)基本題及其結(jié)果如下：一均勻帶電體（線(xiàn)密度為）的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，與導(dǎo)線(xiàn)相距為a的點(diǎn)上之場(chǎng)強(qiáng)為。一均勻帶電體（線(xiàn)密度為）的無(wú)限長(zhǎng)薄圓筒，筒的半徑為R，離軸線(xiàn)距離為r的點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)。在圓外與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線(xiàn)一樣，為。一均勻帶電球面（電荷面密度為）半徑為R，離圓心距離為r的點(diǎn)，在圓內(nèi)為零；在圓外，與點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算一樣，為。一均勻帶電球，電荷體密度為，半徑為R，則圓外距球心為r之點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，與點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)一樣為（q-為球上的總電荷）；在圓內(nèi)為。無(wú)限大的均勻帶電（面密度為）的平面，離平面距離為a的點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)為。上述結(jié)果，應(yīng)該記住。如果忘記了可用

12、高斯定理方便地推導(dǎo)而得出。2、 組合題例4無(wú)限長(zhǎng)的直線(xiàn)和無(wú)限長(zhǎng)的半徑為R的圓筒，同軸旋放置，其上電荷線(xiàn)密度，分別為、，求場(chǎng)強(qiáng)。在圓筒外，帶電圓筒場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算與電荷集中到軸線(xiàn)一樣。又由于直線(xiàn)和圓筒的線(xiàn)密度等值反向，故在圓筒外的合場(chǎng)強(qiáng)為零。在圓筒內(nèi)，帶電圓筒產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，故無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)對(duì)場(chǎng)強(qiáng)有作用，場(chǎng)強(qiáng)為。例5已知如圖2108。求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解先設(shè)體密度為的球單獨(dú)存在時(shí)，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)?？偟膱?chǎng)強(qiáng)因?yàn)?、的方向與、相同，所以的合矢量應(yīng)該是，的方向是與x軸的正方向相反的。上述解法，起都是利用基本題的結(jié)果并應(yīng)用疊加原理來(lái)解的。這種作法，即謂疊加基礎(chǔ)上的疊加。仿效此法，請(qǐng)讀者自作。電荷體密度為，半徑為R，其中挖去了半徑為的一個(gè)小球（圖2109）。求小球球心的場(chǎng)強(qiáng)。三、從場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的微分關(guān)系求場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)是從不同側(cè)面描述同一電場(chǎng)性質(zhì)的兩個(gè)物理量。場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)一確定，就意味著確定了一個(gè)電場(chǎng)。故兩者間必然存在一定的聯(lián)系。此聯(lián)系即為電勢(shì)梯度的負(fù)值