實數(shù)完備性定理的證明及應用

1、學生姓名：xxx學號：20085031072數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導老師：xxx 職稱：副教授摘 要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，他是微積分學的堅實的理論基礎，從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，六個完備性定理是對實數(shù)完備性基本定理等價性的系統(tǒng)論述，讓我們獲得對實數(shù)集完備性的基本特征的進一步的認識和理解.并用實數(shù)完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的若干性質(zhì)關鍵詞：完備性；基本定理；等價性Testification and application about Real Number CompletenessAbstract: Completenessof the se

2、t of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same

3、time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words:sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence引言 在數(shù)學分析學習中，我們知道，實數(shù)完備性定理是極限的理論基礎，是數(shù)學分析理論的基石，對實數(shù)完備性表達通常有六個定理在此，我們以實數(shù)連續(xù)性為公理，順序證明其余六個基本定理，最后達到循環(huán)，從而證明等價性，并用實數(shù)完備性定

4、理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的若干性質(zhì).1. 基本定義1定義1 設是中的一個數(shù)集若數(shù)滿足：(1) 對一切，有，即是的上界；(2) 對任何，存在，使得，即又是的最小上界，則稱數(shù)為數(shù)集的上確界，記作=定義2 設是中的一個數(shù)集若滿足：(1) 對一切，有，即是的下界；(2) 對任何，存在，使得，即又是的最大下界，則稱數(shù)為數(shù)集的下確界，記作定義3 設閉區(qū)間列具有如下性質(zhì):(1) ，；(2) ，則稱為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套定義42設為數(shù)軸上的點集，定點(它可以屬于，也可以不屬于)若的任何鄰域內(nèi)都含有中無窮多個點，則稱為點集的一個聚點 其等價定義：對于點集，若點的任何鄰域內(nèi)都含有中異于的點，即，則稱為的一個聚點定

5、義5 設為數(shù)軸上的點集，為開區(qū)間的集合(即的一個元素都是形如的開區(qū)間)若中任何一點都含在中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱為的一個開覆蓋，或稱覆蓋若中開區(qū)間的個數(shù)是無限(有限)的，則稱為的一個無限(有限)開覆蓋2. 六個定理及證明定理1 維爾斯特拉斯聚點定理(Weierstrass聚點定理)直線上的有界無限點集至少有一個聚點定理2 柯西收斂準則(又叫實數(shù)完備性定理)數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在某一個自然數(shù)，使得時，都有定理3 確界原理有上(下)界的數(shù)集必有上(下)確界定理4單調(diào)有界定理任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限定理5 區(qū)間套定理若是一列閉區(qū)間，又設(1) ，；(2) ，則存在唯一的，定理

6、6 有限覆蓋定理(也叫海涅-波萊爾定理)設是閉區(qū)間，為的一個開覆蓋，則在中必存在有限個開區(qū)間，它構(gòu)成的開覆蓋3.六個定理等價的證明以上定理，雖然表述各異，其實質(zhì)都是描述實數(shù)集完備性的定理，下面將以循環(huán)證明方式，證明其等價性維爾斯特拉斯聚點定理柯西收斂準則確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理維爾斯特拉斯聚點定理3.1 維爾斯特拉斯聚點定理柯西收斂準則證明 若對0，0，當時，取=1則0，當時，有1，則1+令=，則對，都有從而數(shù)列有界(1)若看作點集，是一個有限點集，至少有一項重復出現(xiàn)無窮多次，就以為項構(gòu)成子列，則是常數(shù)列，必收斂記，則即(2)若構(gòu)成無窮點集，由聚點定理必有一個聚點由聚點定義2

7、，必存在，且則 即 柯西收斂準則 確界原理 證明 設S為非空有上界實數(shù)集，由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)，在整數(shù)，使得，為的上界，而不是的上界，即在，使得 分別取則對每一個正整數(shù)，存在相應的，使得為的上界，而不是的上界，故存在使得 (1)又對正整數(shù)，是的上界故有結(jié)合(1)式得同理有 ，從而得于是對任給，存在，使得當時，有由柯西收斂準則，數(shù)列收斂，記 (2)現(xiàn)在證明就是的上確界首先，對任何S和正整數(shù)，有，由(2)式得即是的一個上界其次，對任給的，由0（）及(2)式，對充分大的同時有，又因為不是的上界，故存在，使結(jié)合上式 所以為的上確界同理可證S為非空下界數(shù)集，則必存在下確界 確界原理單調(diào)有界定理

8、證明 不妨設為有上界的遞增數(shù)列由確界原理，數(shù)列有上確界=下面證明就是的極限事實上，任給0，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項，使得又由的遞增性，當時有另一方面，由于是的一個上界，故對一切都有，所以，時有這就證得同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界單調(diào)有界定理區(qū)間套定理7證明 由閉區(qū)間列的性質(zhì)知，則為遞增有界數(shù)列依單調(diào)有界定理，有極限，且有，同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件有，且，；綜上最后證明是唯一的設數(shù)也滿足，；則由，可知，故有 區(qū)間套定理有限覆蓋定理證明 用反證法假設有限覆蓋定理的結(jié)論不成立，即不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子

9、區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個區(qū)間為，則，且再將等分為兩個子區(qū)間，同樣，其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個區(qū)間為，則，且 重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間列它滿足，；，即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋由區(qū)間套定理，存在唯一的一點，；由于是的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間，使于是，由區(qū)間套定理的推論，當充分大時有這表明只須用中的一個開區(qū)間來覆蓋，與挑選時的假設“不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾以而證得必存在屬于的有限個開區(qū)間能覆蓋3.6 有限覆蓋定理聚點定理證明 若為上的有界無窮點集，則存在，使對任意，任意0，記，顯然覆蓋了由有限覆

10、蓋定理，存在也覆蓋了即由于是無窮點集，至少有一個，使得含有中無窮多個點則是的聚點4. 實數(shù)完備性定理的應用以上我們對實數(shù)完備性定理進行了循環(huán)證明，下面我們將對其在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應用做一些舉例證明例1 證明有界性定理證明（應用有限覆蓋定理） 由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對沒一點，都存在領域及正數(shù)，使得考慮開區(qū)間集顯然是的一個無限開覆蓋.由有限覆蓋定理，存在的一個有限子集覆蓋了，且存在正整數(shù)使得對一切有令則對任何必屬于某這就證得在上有界例2 證明最大最小值定理最大值最小值定理 若函數(shù)在上連續(xù)，則在上有最大值與最小值證明 （應用確界原理） 由于已證得在上有界，故由確界原理，的值域有上確界，記為以

11、下我們證明：存在，使倘若不然，對一切都有令易見函數(shù)在上連續(xù)，故在是的一個上界，則從而推得但這與為的上確界（最小上界）相矛盾所以必存在，使，即在上有最大值同理可證在上有最小值總結(jié) 本文圍繞著解決極限存在性之一中心問題，以聚點定理理為出發(fā)點，討論了實數(shù)完備性的六個基本定理，著重討論了以下幾個方面：1、基本定理的等價性 各定理雖然形式不同，但從本質(zhì)上講，都是從不同側(cè)面反映了實數(shù)的完備性，且它們相互等價2、基本定理的特征確界原理分析、函數(shù)論中的重要角色，量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點，客觀事物性質(zhì)的數(shù)學表達；單調(diào)有界定理幾何意義十分明顯；區(qū)間套定理將“整體”局部化，“化整為零” ；聚點定理“化整為鄰”的另一途徑，整體性態(tài)收斂子列局部性態(tài)；有限覆蓋定理閉集的本質(zhì)屬性，局部到整體；柯西準則從運算上講，極限在實數(shù)集合內(nèi)是封閉的3、基本定理的意義實數(shù)完備性的六個基本定理，深刻剖析了實數(shù)域的完備結(jié)構(gòu)，突出了存在性問題的研究，克服了極限方法上的局限性參考文獻1強文久數(shù)學分析的基本概念與方法M北京：高等教育出版社，19892 陳傳璋，金福臨，朱學炎，歐陽光中.數(shù)學分析上冊M北京：人民教育出版社3 華東師范大學數(shù)學系