高二數(shù)學(xué)組合1(1)學(xué)習(xí)資料

1、高二數(shù)學(xué)組合1(1)3、排列數(shù)公式：)2( ) 1( nnnAnn 3 2 1nAnn！! )(! mnnAmn規(guī)定 0！=1) 1() 2( ) 1( +mnnnnAmn1全排列數(shù)（階乘）全排列數(shù)（階乘） 2階乘變形階乘變形 1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,6!720,7!50402 !3 !( 3 )= 1 ! ,= 2( n + 1 ) != n !n!+ 123111112(5)-=,-=,11n-=n! (n+11!2!2! 2!3!3!)! (n+1)! !.n!nn,!,!113232121+ + + + !.n!nn!n,!,!1322221112+ + + +

2、+ + + + !.nn!n!n,!,! + + 122231124(1)、從甲、乙、丙、從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，參加一項(xiàng)活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？種不同的選法？問(wèn)題問(wèn)題甲乙甲乙乙丙乙丙乙甲乙甲丙乙丙乙甲丙甲丙丙甲丙甲NoImage23A 從從3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名，不同的選法有名，不同的選法有3種：種：甲、乙甲、乙 乙、丙乙、丙 丙、甲丙、甲 所選出的所選出的2名同學(xué)之間與名同學(xué)之間與無(wú)順序關(guān)系無(wú)順序關(guān)系，即甲、乙和乙、甲是同一種選法即甲、乙和乙、甲

3、是同一種選法 。 (2) 從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 從不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)從不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)A A、B B、C C中，中，每次取出兩個(gè)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，問(wèn)可以得到每次取出兩個(gè)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，問(wèn)可以得到幾條不同的直線(xiàn)？幾條不同的直線(xiàn)？ 根據(jù)直線(xiàn)的性質(zhì)，過(guò)任意兩點(diǎn)可以作根據(jù)直線(xiàn)的性質(zhì)，過(guò)任意兩點(diǎn)可以作一條直線(xiàn)，并且只能作一條直線(xiàn)，所以過(guò)一條直線(xiàn)，并且只能作一條直線(xiàn)，所以過(guò) 兩點(diǎn)只能連成一條直線(xiàn)，因此可以得到三兩點(diǎn)只能連成一條直線(xiàn)，因此可以得到三條直線(xiàn)：條直線(xiàn)：ABAB、BCBC、CACA，直線(xiàn)

4、，直線(xiàn)ABAB與與BABA直線(xiàn)是直線(xiàn)是一條直線(xiàn)，這也就是說(shuō)，一條直線(xiàn)，這也就是說(shuō)，“把兩點(diǎn)連成直把兩點(diǎn)連成直線(xiàn)線(xiàn)”時(shí)，時(shí)，不考慮點(diǎn)的順序不考慮點(diǎn)的順序 。 以上兩個(gè)引例所研究的問(wèn)題是不同以上兩個(gè)引例所研究的問(wèn)題是不同的，但是它們有數(shù)量上的共同點(diǎn)，即它的，但是它們有數(shù)量上的共同點(diǎn)，即它們的實(shí)質(zhì)都是：們的實(shí)質(zhì)都是： 從從3個(gè)不同的元素里每次取出個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)個(gè)元素，元素，不管怎樣的順序不管怎樣的順序并成一組，一并成一組，一共有多少不同的組？共有多少不同的組？ 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)個(gè)不同元素中取出

5、不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合組合。一、組合定義一、組合定義 排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無(wú)關(guān)，這是它的順序無(wú)關(guān)，這是它的 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合。組合。組合定義組合定義思考思考: :排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、 不同點(diǎn)？不同點(diǎn)？ 共同點(diǎn)共同點(diǎn):都要都要“從從n個(gè)不同元素中任取個(gè)不同元素中任取m個(gè)元個(gè)元素素” 不同點(diǎn)不同點(diǎn):對(duì)于所取出的元素，

6、排列要對(duì)于所取出的元素，排列要“按照一按照一定定的順序排成一列的順序排成一列”，而組合卻是，而組合卻是“不管怎樣的不管怎樣的順序并成一組順序并成一組”排列排列與元素的順序有關(guān)，與元素的順序有關(guān)，而而組合組合則與元素的順序無(wú)關(guān)則與元素的順序無(wú)關(guān) 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合。組合。思考：思考：abab和和baba是幾個(gè)排列？幾個(gè)組合？是幾個(gè)排列？幾個(gè)組合？組合定義組合定義 如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如

7、何，都是不管它們順序如何，都是 當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同（即使當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同（即使只有一個(gè)元素不同），就是只有一個(gè)元素不同），就是判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個(gè)個(gè)元素的子集有多少個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線(xiàn)上有某鐵路線(xiàn)上有5個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線(xiàn)上共個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線(xiàn)上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票需準(zhǔn)備多少種車(chē)票? 有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？組合組合問(wèn)題問(wèn)題排列排列問(wèn)題問(wèn)題(3)10名同學(xué)分為人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)名同學(xué)分為人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和

8、英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合組合問(wèn)題問(wèn)題組合組合問(wèn)題問(wèn)題(4)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候，共需握手多少次問(wèn)候，共需握手多少次?組合組合問(wèn)題問(wèn)題(5)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽個(gè)安排游覽,有多少種有多少種不同的方法不同的方法?組合組合問(wèn)題問(wèn)題(6)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)個(gè),并確定這并確定這2個(gè)風(fēng)景個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?排列排列問(wèn)題問(wèn)題 排列、組合是不同的兩個(gè)事件，區(qū)分的辦排列、組合是不同的兩個(gè)事件，區(qū)分的辦法是首先弄清楚事件是什么

9、？區(qū)別的標(biāo)志是有法是首先弄清楚事件是什么？區(qū)別的標(biāo)志是有無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的辦法是：把問(wèn)題的無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的辦法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果一個(gè)選擇結(jié)果找出來(lái)，然后找出來(lái)，然后交換這個(gè)結(jié)果中任交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化新的變化，若有新變化，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若若有新變化，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若無(wú)新變化，即說(shuō)明無(wú)順序，為組合問(wèn)題無(wú)新變化，即說(shuō)明無(wú)順序，為組合問(wèn)題練習(xí)：練習(xí)：在在4個(gè)不同元素個(gè)不同元素a、b、c、d中取出中取出2個(gè)，個(gè)，共有多少種不同的組合？請(qǐng)你寫(xiě)出所有的組合。共有多少種不同的組合？請(qǐng)你寫(xiě)出所有的組合。

10、ab ac ad bc bd cd 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)。用符號(hào)。用符號(hào) 表示表示mnC組合數(shù)定義組合數(shù)定義 是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開(kāi)來(lái) mnC 由前面練習(xí)知由前面練習(xí)知（1）從）從3個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)（2）從）從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)思考：從思考：從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)C43是多少？是多少？C32=3C4

11、2=6 由于從由于從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)的排列數(shù)個(gè)的排列數(shù)A43可以求得，我們可以考察一下可以求得，我們可以考察一下C43和和A43的關(guān)的關(guān)系。系。 從從4個(gè)不同元素個(gè)不同元素a、b、c、d中取出中取出3個(gè)元素個(gè)元素的組合與排列的關(guān)系如下：的組合與排列的關(guān)系如下：組合組合排列排列abcabc acb bac bca cab cbaabdabd adb bad bda dab dbaacdbcdacd adc cad cda dac dcabcd bdc cbd cdb dbc dcb 每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，個(gè)不同的排列，因此，求從因此，求從4個(gè)不

12、同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素個(gè)元素的排列數(shù)的排列數(shù)A43，可以分為以下兩步：，可以分為以下兩步： 第一步，從第一步，從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的個(gè)元素的組合，組合， 共有共有C43（=4）個(gè)；）個(gè)； 第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作個(gè)不同元素作全排列，各有全排列，各有A33（=6）個(gè)。）個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得333434ACA因此，因此，333434AAC 一般地，求從一般地，求從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素的排列數(shù)素的排列數(shù)Anm，可分為以下，可分為以下2步：步： 第一步，從第一步，從n個(gè)不同元素

13、中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)，共有組合數(shù)，共有Cnm個(gè)；個(gè)； 第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的m個(gè)不同元素作個(gè)不同元素作全排列，各有全排列，各有Amm個(gè)。個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得mmmnmnACA因此，因此，mmmnmnAAC!) 1()2)(1(mmnnnn+這里這里 Nmn,并且并且mn這個(gè)公式叫做這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)公式(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm + + ( ,)n mNmn ，!()!mnnCm nm例例1、計(jì)算、計(jì)算（1）C74 ；（；（2）C107477 6 5 4(1):3

14、54!C 解71010 9 8 7 6 5 4(2):1207!C 解法一71010!10 9 8(2):1207! 3!3!C 解法二11mmnnmCCnm+ + + 例例 2 2、 求求 證證NoImage!()!mnnCm n m證明：證明：11mnmCnm+1!(1)!(1)!mnn mmn m+1!(1)! ()(1)!mnmn m n m+!()!nm nm11mmnnmCCnm+解：由題意可得：解：由題意可得：2x-3 x-1x+1 2x-3解得解得24x2x 或x=3或x=4當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)， 原式的值為原式的值為4當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x=4時(shí)，時(shí)，原式的值為原式的值為7原式的值為原式的值為11所求的值為所求的值為4或或7或或11:,*x-12x-32x-3x+1練習(xí) 設(shè)xN 求C+C的值*xN練習(xí)2、甲，乙，丙，丁4個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽： （1）共需比賽多少場(chǎng)？列出各場(chǎng)比賽的雙方；（2）冠亞軍共有多少種可能？列出所有冠亞軍情況。解（1）共需分別為場(chǎng)比賽.6123424C甲、乙、丙、丁 乙、丙、丁丙、?。?）冠亞軍共有分別為種可能,123424A甲冠軍乙 丙 丁亞軍乙冠軍甲 丙 丁亞軍丙冠軍甲 乙 丁亞軍丁冠軍甲 乙 丙亞軍