常微分方程試題庫

1、一、填空題1微分方程的階數是_ 答：12若和在矩形區(qū)域內是的連續(xù)函數,且有連續(xù)的一階偏導數,則方程有只與有關的積分因子的充要條件是 _ 答：3_ 稱為齊次方程. 答：形如的方程4如果 _ ,則存在唯一的解,定義于區(qū)間 上,連續(xù)且滿足初始條件 ,其中 _ . 答：在上連續(xù)且關于滿足利普希茲條件 5對于任意的 , (為某一矩形區(qū)域),若存在常數使 _ ,則稱在上關于滿足利普希茲條件. 答： 6方程定義在矩形區(qū)域:上 ,則經過點 的解的存在區(qū)間是 _ 答：7若是齊次線性方程的個解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程 _ 答：8若為齊次線性方程的一個基本解組，為非齊次線性方程的一個特解,則非齊次線

2、性方程的所有解可表為_ 答：9若為畢卡逼近序列的極限，則有_答：10_稱為黎卡提方程，若它有一個特解，則經過變換_，可化為伯努利方程答：形如的方程 11一個不可延展解的存在區(qū)間一定是區(qū)間答：開12方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是答：，（或不含x 軸的上半平面）13方程的所有常數解是答：14函數組在區(qū)間I上線性無關的條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零答：充分15二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是 答：線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）16方程的基本解組是答：17若在上連續(xù)，則方程的任一非零解與軸相交 答：不能18在方程中，如果，在上連續(xù)，那么它的任

3、一非零解在平面上與軸相切答：不能19若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們共同零點答：沒有20方程的常數解是答：21向量函數組在其定義區(qū)間上線性相關的條件是它們的朗斯基行列式，答：必要22方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 答： 平面23方程所有常數解是答：24方程的基本解組是答：25一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線 答：2二、單項選擇題1階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（ A ）個 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+22如果，都在平面上連續(xù)，那么方程的任一解的存在區(qū)間（ D ） （A）必為 （B）必為 （C）必為 （D）將因解而定3方程滿足初值問題解存在且

4、唯一定理條件的區(qū)域是（ D ）（A）上半平面（B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面4一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差（ C ） （A）不是其對應齊次微分方程組的解（B）是非齊次微分方程組的解 （C）是其對應齊次微分方程組的解 （D）是非齊次微分方程組的通解5. 方程過點共有（ B ）個解（A）一 （B）無數 （C）兩 （D）三6. 方程（ B ）奇解（A）有三個 （B）無 （C）有一個 （D） 有兩個7階線性齊次方程的所有解構成一個（ A ）線性空間（A）維 （B）維 （C）維 （D）維8方程過點（ A ） （A）有無數個解（B）只有三個解（C）只有解（D）只有兩個

5、解9.連續(xù)是保證對滿足李普希茲條件的（ B ）條件（A）充分 （B）充分必要 （C）必要 （D）必要非充分10二階線性非齊次微分方程的所有解（ C ）（A）構成一個2維線性空間 （B）構成一個3維線性空間（C）不能構成一個線性空間 （D）構成一個無限維線性空間11方程的奇解是（ D ）（A） （B） （C） （D）12若，是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為（ C ）（A） （B）（C） （D）13連續(xù)是方程初值解唯一的（ D ）條件（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分14. 方程（ C ）奇解（A）有一個 （B）有兩個 （C）無 （D）

6、有無數個 15方程過點(0, 0)有（ A ）(A)無數個解(B) 只有一個解 (C)只有兩個解(D) 只有三個解三、求下列方程的通解或通積分1解：，則所以另外也是方程的解2求方程經過的第三次近似解解：3討論方程，的解的存在區(qū)間解：兩邊積分所以方程的通解為故過的解為通過點的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在區(qū)間為4 求方程的奇解解: 利用判別曲線得 消去得 即 所以方程的通解為 , 所以 是方程的奇解5解: =, = ,= , 所以方程是恰當方程. 得 所以故原方程的解為 6解: ,令 , 則方程可化為 , 即 , 故 7解: 兩邊同除以得所以 , 另外 也是方程的解8解 當時，

7、分離變量得等式兩端積分得 即通解為9. 解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為+10.解 方程兩端同乘以，得 令 ，則，代入上式，得 通解為 原方程通解為11解 因為，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 即 12解：當，時，分離變量取不定積分，得 通積分為13解 原方程可化為于是 積分得通積分為14解：令，則，代入原方程，得 分離變量，取不定積分，得 （） 通積分為： 15解 令，則，代入原方程，得， 當時，分離變量，再積分，得即通積分為： 16解：齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為+17.解 積分因子為

8、 原方程的通積分為 即 18解：原方程為恰當導數方程，可改寫為即 分離變量得 積分得通積分 19解 令，則原方程的參數形式為 由基本關系式 ，有 積分得 得原方程參數形式通解為20解 原方程可化為于是 積分得通積分為21解：由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為即 四、計算題1求方程的通解解 對應的齊次方程的特征方程為：特征根為： 故齊次方程的通解為： 因為是單特征根所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解為 2求下列方程組的通解 解 方程組的特征方程為即 特征根為 ，對應的解為其中是對應的特征向量的分量，滿足可解得 同樣可算出對應的特征向量分量為 所

9、以，原方程組的通解為3求方程的通解解：方程的特征根為， 齊次方程的通解為 因為不是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數得確定出 ， 原方程的通解為 4求方程的通解解 對應齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數確定出， 原方程的通解為 五、證明題1在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為證明:由已知條件，該方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件 顯然 是方程的兩個常數解 任取初值，其中,記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另

10、一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾故該解的存在區(qū)間必為2設和是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數證明:如果和是二階線性齊次方程的解，那么由劉維爾公式有 現在，故有3在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切證明:由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有這與是非零解矛盾 4在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴格單調函數證明: 設，是方程的基本解組，則對任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且又由劉維爾公式， 由于，于是對一切，有 或 故 是上的嚴格單調函數 5試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解 證明: 設黎卡提方程的一個特解為 令 ,