必修4平面向量講義和練習(xí)

1、第二章 平面向量一、知識綱要1、向量的相關(guān)概念：（1） 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，記為或。 向量又稱矢量。注意向量和標(biāo)量的區(qū)別：向量既有大小又有方向；標(biāo)量只有大小，沒有方向。普通的數(shù)量都是標(biāo)量，力是一種常見的向量。向量常用有向線段來表示，但也不能說向量就是有向線段，因為向量是自由的，可以平移；有向線段有固定的起點和終點，不能隨意移動。（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向線段的長度。記作：|或。注意向量本身不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。（3）零向量：長度為0的向量叫零向量，記為，零向量的方向是任意的。注意0； 與0的區(qū)別：寫法的區(qū)別，意義的區(qū)別。（4

2、）單位向量：模長為1個單位長度的非零向量叫單位向量。注意若向量是單位向量，則= 1 。2、 向量的表示：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意：方向是“起點指向終點”。（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸正方向相同的兩個單位向量、為基底向量，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。此時=。若已知，則， 即終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。特別的，如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)數(shù)值與向量的終點坐標(biāo)數(shù)值相同。3、 向量之間的關(guān)系：（1）平行（共線）：對于兩個非零向量，若它們的方向相同或相反的，那么就

3、稱這種關(guān)系為平行，記作。換言之，方向相同或相反的兩個非零向量叫平行向量（共線向量）。相互平行的兩個向量之間的夾角為0度或180度，記為<,>=00或1800 。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。注意數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。平行向量無傳遞性（因為有).（

4、2） 不平行：對于兩個非零向量和，如果平移后它們的夾角不是0度或180度，則稱這兩個向量不平行。此時，它們夾角的范圍是 <,> （0，）。特別的，當(dāng)<,> =（即900）時，稱為兩個向量垂直，記為。4、由向量之間的關(guān)系引出的術(shù)語：（1） 同向向量：如果兩個向量方向相同（即：共線并且夾角為0度），那么就稱這兩個向量是同向向量。<,> = 0（2） 反向向量：如果兩個向量方向相反（即：共線并且夾角為180度），那么就稱這兩個向量是反向向量。<,> =注意：同向向量和反向向量都是共線向量。并且只考慮方向，不研究模長的大小關(guān)系。（3） 相等向量：長度相等

5、且方向相同的兩個向量叫相等向量，記為。注意：相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，是同向向量的升級版。相等向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為：若，且，則。即向量相等具有傳遞性。（4） 相反向量：長度相等且方向相反的兩個向量叫相反向量，的相反向量記為，的相反向量記為：或，零向量的相反向量仍是零向量。注意：相反向量是反向向量的升級版，要求方向相反，且大小相等，即|。若為相反向量，則 。相反向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為： 雙重取反必還原：=。5、向量的線性運(yùn)算：（1）向量加法：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。注意加法性質(zhì)：，任何向量與零向量的和都是任何向量；+()=()+=，一對相反向量的和一定為零向量；向量加法滿足交換律：+=+；向

6、量加法滿足結(jié)合律：（+）+=+（+）；（2）向量減法：求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的加法。記作：，即求兩個向量與的差，等于向量加上的相反向量。注意+()=()+=；若、是互為相反向量，則=,=,+=.小結(jié)加減法的運(yùn)算法則：（作圖）“三角形法則”“平行四邊形法則”說明：向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向

7、量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”（3）向量的數(shù)乘運(yùn)算：實數(shù)與向量的積是一個向量，所得的結(jié)果表示：在的方向（或的相反方向）取倍構(gòu)成一個新向量，記作。的長度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律：， ， 6、向量的投影和數(shù)量積：(1)兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定(2)向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影

8、投影的絕對值稱為射影(3)數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積(4)、向量的模與平方的關(guān)系：（5）、乘法公式成立：；（6）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1）已知起點和終點的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo): 已知，則， 即終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。（2）已知向量的坐標(biāo)，求向量的模: 已知，則=；已知，則，此時，本公式等價于“兩點間距離公式:已知則”。（3）已知兩個向量的坐標(biāo)，求這兩個向量加減、數(shù)乘和數(shù)量積：加減：已知，則，即對應(yīng)橫縱坐標(biāo)相加減。數(shù)乘

9、：已知，則，即倍數(shù)對坐標(biāo)作分配。數(shù)量積：已知，則，即對應(yīng)坐標(biāo)之積再相加。（4）已知兩個向量的坐標(biāo)，求這兩個向量的夾角或夾角余弦值：已知，則。8、 向量的夾角已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB=（）叫做向量與的夾角，記為。注意 研究向量夾角時，必須將兩個向量的起點移動到同一點上；當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題cos=向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系： 當(dāng)為銳角時，0（反之不成立，因為數(shù)量積為正數(shù)的兩個向量不一定構(gòu)成銳角，可能是平行且同向）；當(dāng)為鈍角時，0。（反之不成立，因為數(shù)量積為負(fù)數(shù)的兩個向量不一定構(gòu)成鈍角，可能是平行且反向）9、平面向量的

10、基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。若給定一組基底向量，則平面內(nèi)的任何一個向量都存在一組實屬對與之對應(yīng)，當(dāng)這組基底是兩個相互垂直的單位向量時，這組基底可以構(gòu)成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)叫平面直角坐標(biāo)系，與向量對應(yīng)的實數(shù)對就是坐標(biāo)。10、向量垂直（共線）的基本定理（1）共線：，此為向量平行的符號表達(dá)。若，則或，此為向量平行的坐標(biāo)表達(dá)。注意對于“”，當(dāng)時，可以看成是非零向量的0倍（即），所以規(guī)定“零向量與任何非零向量平行”。（2）垂直：非零向量滿足：，此為向量平行的符號表達(dá)。若，則，此為向量平行的

11、坐標(biāo)表達(dá)。 即：兩個向量非零向量垂直等價于這兩個向量的數(shù)量積為0。 若中有一個向量是零向量，則數(shù)量積一定為0，此時無需討論是否垂直。所以規(guī)定“零向量與任何非零向量平行”，但是不規(guī)定“零向量與任何非零向量垂直”。11、有向線段的定比分點（1）、定義：設(shè)點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù) ，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點。（簡稱：點P為定比分點）（2）、的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段 PP上時>0；當(dāng)P點在線段PP的延長線上時；當(dāng)P點在線段 PP的延長線上時<1；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比

12、為。（3）、線段的定比分點公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則分點的坐標(biāo)為，即。特別地，當(dāng)1時，就得到線段PP的中點公式。二、經(jīng)典例題【例1】已知A（1,2），B（4,2），則向量的坐標(biāo)為：=；向量的模為：|=；把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是?！纠?】平面上，把一個圖形整體向某個方向移動一段距離，若移動前點A坐標(biāo)為（-2,3），移動后，點A的對應(yīng)點A坐標(biāo)為（2，-1），則平移向量為=，移動的距離為?！纠?】下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是。【例

13、4】給出下列命題：若|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=； =的充要條件是|=|且/；若/，/，則/；其中正確的序號是【例 5】求參數(shù)的值：（1）設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求k（2）已知向量，且，求實數(shù)的值【例 6】判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有【例 7】已知，按下列條件求實數(shù)的值 （1）；（2）；【例 8】平移（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_【例 9】定比分點（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標(biāo)為_（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（3）若點分所成