異面直線所成角問題

1、12016·全國(guó)卷 平面過正方體ABCD ­ A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析A在正方體ABCD ­ A1B1C1D1外依次再作兩個(gè)一樣的正方體，如圖所示，易知AEB1D1，AFCD1，所以平面AEF平面CB1D1，即平面AEF就是過點(diǎn)A的平面，所以AE為平面與平面ABCD的交線，即為m，AF為平面與平面ABB1A1的交線，即為n，所以m，n所成角即為AE與AF所成角，也是B1D1與CD1所成角，為CD1B1.而CD1B1為等邊三角形，因此CD1B1，所以sin CD

2、1B1.2三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，底面邊長(zhǎng)為2，高為，M是AB的中點(diǎn)，則直線CM與BC1所成的角等于_答案：45°；解析 如圖所示，取A1B1的中點(diǎn)N，連接C1N，MN，則C1NCM，所以BC1N即為異面直線CM與BC1所成的角，由題意易得C1N，BN，BC1，所以三角形BNC1為等腰直角三角形，則BC1N45°.32015·浙江卷 如圖所示，在三棱錐A­BCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_答案：；解析 連接ND，取ND的中點(diǎn)為E，

3、則MEAN，則異面直線AN，CM所成的角為EMC.因?yàn)锳NNDMC2 ，所以ME，CE，則cosEMC.4.2016·湖南衡陽一模 如圖所示，在底面為正方形的四棱錐P­ABCD中，PAPBPCPDAB2，點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線BE與PD所成角的余弦值為_答案：；取AD的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以EFPD，EFPDPAB為等邊三角形，所以BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BF，所以在三角形BEF中，由余弦定理得cosBEF，所以異面直線BE與PD所成角的余弦值為.5.2016·湖南郴州摸底 如圖所示，在正方體ABCD­A1

4、B1C1D1中，E是線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線AE與D1C所成的角為()A30° B45°C60° D90°答案：D；解析 (1)連接AB1，AC1.CD1B1C1，CD1AB1，AB1B1C1B1，CD1平面AB1C1.AE平面AB1C1，AED1C，異面直線AE與D1C所成的角為90°.6.2016·長(zhǎng)春四模 六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)，則直線AE與CB1所成角的余弦值為_答案：；解析 連接AF1，EF1.CB1EF1，AEF1是異面直線AE與

5、CB1所成的角設(shè)AB1，則AF1EF1，AE2112×1×1×cos 120°3，即AE，cosAEF1，直線AE與CB1所成角的余弦值為.72016·海南文昌中學(xué)期末 如圖所示，已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB2，CD4，EFAB，則EF與CD所成角的大小為_答案：30°；解析 取AD的中點(diǎn)G，連接FG，EG，又E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以FGAB，且FG1，EGCD，且EG2，所以EF與CD所成的角即為EF與EG所成的角，即FEG，又EFAB，即EFG90°，所以FEG 30°

6、.82016·衡水中學(xué)六調(diào) 如圖所示，在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為正方形，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成的角的余弦值為()A.B.C.D.答案：D；解析 連接BC1，A1C1，則BC1AD1，A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角，記AB1，則A1BBC1，A1C1，在三角形A1BC1中， 由余弦定理得cosA1BC1，所以異面直線A1B與AD1所成的角的余弦值為.92016·浙江五校二聯(lián) 如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，DAB60°，沿BD將ABD翻折，得到三棱錐A­BCD，則當(dāng)三棱錐

7、A­BCD的體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成的角的余弦值為()A. B. C. D.答案：B；解析 在平面BCD內(nèi)過D作DEBC且DEBC，則ADE即為異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角，連接BE，AE，設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接AO，EO，當(dāng)三棱錐A­BCD的體積最大時(shí)，平面ABD平面BCD，所以AOEO，于是AE，在三角形AED中，cosADE，所以異面直線AD與BC所成的角的余弦值為.102016·哈爾濱六中模擬 如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小

8、為()A90° B75° C60° D45°答案：A；解析 延長(zhǎng)DA到E，使AEDA，連接PE，BE.ABCBAD90°，BC2AD，AEDA，DEBC，DEBC，四邊形CBED是平行四邊形，CDBE，PBE就是異面直線CD與PB所成的角PAD是等邊三角形，PAD60°，PAE120°.在PAE中，AEPA，PAE120°，PEAE.在ABE中，AEAB，BAE90°，BEAE.PAB是等邊三角形，PBABAE.在PBE中，PEAE，BEAE，PBAE，PB2BE2PE2，PBE是直角三角形，且PBE90

9、°.故選A.112014·全國(guó)卷 已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案：B：解析 如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，CF，則EFBD，故EF與CE所成的角即為異面直線CE與BD所成的角設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則CECF，EFCEF中，cos CEF，所以異面直線CE與BD所成角的余弦值為.12如圖是三棱錐D ­ABC連接DO后的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()A. B. C. D.答案：A：解析 由題意，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂

10、直且ABAC2，AD1，O是BC的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)E，連接DE，OE，則OEAE1，由于OEAB，故DOE即為異面直線DO與AB所成的角或其補(bǔ)角易知AB平面DAC，又OEAB，所以O(shè)E平面DAC，所以O(shè)EDE，即DEO為直角三角形在DBC中，易知DCDB，OC，所以DO，所以cosDOE.13如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為_答案：60°；解析：連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.14.直三棱柱ABC­A1

11、B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30°B45°C60° D90°答案：C；解析：如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，AC1BD1.BA1與AC1所成角的大小為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形，A1BD160°.即BA1與AC1成60°的角152014·廣州模擬在正四棱錐V­ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為()A.B.C.D.答案：D；解析：如圖所示，設(shè)ACBDO，連接VO，由于四棱錐V­ABC

12、D是正四棱錐，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四邊形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC.所以BDVA，即異面直線VA與BD所成角的大小為.162014·西安模擬在三棱錐P­ABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，則直線PC與AB所成角的大小是_答案：60°；解析：分別取PA，AC，CB的中點(diǎn)F，D，E連接FD，DE，EF，AE，則FDE是直線PC與AB所成角或其補(bǔ)角設(shè)PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，F(xiàn)Ea，根據(jù)余弦定理，得cosFDE，所以FDE120°.所以直線PC與AB所成角的大小是60°.

13、17如圖所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1AB1，則異面直線AB1與BD所成的角為_答案：60°；解析：在平面ABC內(nèi)，過A作DB的平行線AE，過B作BHAE于H，連接B1H，則在RtAHB1中，B1AH為AB1與BD所成角設(shè)AB1，則A1A，B1A，AHBD，cosB1AH，B1AH60°.18.已知三棱錐A­BCD中，ABCD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角.解：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM、PN.則PMAB，且PMAB.線AB和MN所成的角PNCD，且PN

14、CD，MPN為AB與CD所成的角(或所成角的補(bǔ)角)則MPN60°或MPN120°，若MPN60°，PMAB，PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補(bǔ)角)又ABCD，PMPN，則PMN是等邊三角形，PMN60°，即AB與MN所成的角為60°.若MPN120°，則易知PMN是等腰三角形PMN30°.19.正方體ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小解析：(1)如圖所示，連接B1C，由ABCD­A1B1C1D1是正方體，

15、易知A1DB1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.20(13分)2016·冀州中學(xué)模擬 如圖K39­9所示，在三棱錐P­ABC中，PA平面ABC，BAC60°，PAABAC2，E是PC的中點(diǎn)(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和

16、PB所成角的余弦值解：(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為.A，B，E，平面即為平面ABE，P平面ABE，這與P平面ABE矛盾，假設(shè)不成立，AE與PB是異面直線(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EFPB，AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角BAC60°，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，異面直線AE和PB所成角的余弦值為.21(12分)2016·湖南十三校二聯(lián) 如圖K39­10所示，在四棱錐O ­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)(1)求異面直線AB與MD所成角的大??；(2)求點(diǎn)B到平面OCD的距離解：(1)CDAB，M