浙教版八年級下冊第六章反比例函數(shù)第1講（反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)）培優(yōu)講義（含解析）

1、反比例函數(shù) 第1講（反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)）反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 命題點(diǎn)一：根據(jù)反比例函數(shù)的定義求函數(shù)表達(dá)式【方法歸納】確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是確定比例系數(shù)k的值，常用的方法：根據(jù)反比例函數(shù)的定義或性質(zhì)列方程求解；根據(jù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)求解；利用待定系數(shù)法求解；利用好比例系數(shù)k的幾何意義求解.例1如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸上，D在y軸上，B，C在反比例函數(shù)的圖象上，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，且BDx軸，若AE1，ADE30°，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為(D)Ay By Cy Dy例2已知反比例函數(shù)y(m1)xm2m3，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，求反比例函數(shù)的表達(dá)式解

2、：由反比例函數(shù)y(m1)xm2m3，得解得m2或m1.由當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，得m10，m1，m2.故反比例函數(shù)的表達(dá)式為y. 命題點(diǎn)二：利用反比例函數(shù)的增減性解題【方法歸納】比較函數(shù)值大小的方法一般有三種：性質(zhì)法，即利用反比例函數(shù)的額增減性進(jìn)行比較；求值法(或特殊值法)，即代入自變量的值，求出函數(shù)值進(jìn)行比較；圖象法，即畫出函數(shù)的圖象，在圖象上畫出點(diǎn)的相應(yīng)位置，由點(diǎn)的位置直接比較函數(shù)值大小.例3已知反比例函數(shù)y的圖象上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2), 當(dāng)x1<0<x2時，y1<y2，則m的取值范圍是(C)Am<0 Bm>0Cm< D

3、m>例4若點(diǎn)A(1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)y(m<0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為(B)Ay1<y2<y3 By2<y3<y1 Cy3<y2<y1 Dy2<y1<y3 命題點(diǎn)三：根據(jù)反比例函數(shù)的定義求比例系數(shù)k的值或范圍例5(1)如圖，過點(diǎn)C(1,2)分別作x軸，y軸的平行線，交直線yx6于A，B兩點(diǎn)，若反比例函數(shù)y(x>0)的圖象與ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是(A)A2k9 B2k8 C2k5 D5k8【方法歸納】當(dāng)反比例函數(shù)與一次函數(shù)或平面圖形結(jié)合時，常因條件的隱含性、綜合性而增加

4、難度，從代數(shù)式的表達(dá)形式和圖形性質(zhì)綜合考慮是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵，而點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化是數(shù)形結(jié)合的橋梁(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC為等腰直角三角形，CBCA5，點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A在第三象限，且在反比例函數(shù)y的圖象上，則k的值為(A)A3 B4 C6 D12例6如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊三角形AOB的邊長為6，點(diǎn)C在邊OA上，點(diǎn)D在邊AB上，且OC3BD.反比例函數(shù)y(k0)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則k的值為(A)A B C D 命題點(diǎn)四：利用反比例函數(shù)代數(shù)式求值【方法歸納】如圖，反比例函數(shù)的幾何意義：SAOBSAOC|k|；S矩形OBAC|k|.下面

5、兩個結(jié)論是上述結(jié)論的拓展：如圖，SOPASOCD，SOPCS梯形PADC；如圖，S梯形OAPBS梯形OBCA，SBPESACE. 例7(1)如圖，直線ykx(k>0)與雙曲線y交于A(x1，y1), B(x2，y2) 兩點(diǎn)，則2x1y27x2y1的值等于 20 .(2)如圖所示，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACOADB90°，反比例函數(shù)y在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則OA2AB2的為 18 .例8(1)如果一個正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y的圖象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么(x2x1)(y2y1)的值為 24 .(2)如圖，A，B為直線yx上的兩點(diǎn)，過A

6、，B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線y(x>0)于C，D兩點(diǎn)若BD2AC，則4OC2OD2的值為 6 . 命題點(diǎn)五：利用函數(shù)的系數(shù)，判斷函數(shù)圖象的可能性例9反比例函數(shù)y的圖象如圖所示，則一次函數(shù)ykxb的圖象可能是(C)例10如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y與ykxk2的大致圖象是(C) 命題點(diǎn)六：利用反比例函數(shù)k的幾何意義解題例11(1)下列選項(xiàng)中，涂色部分面積最小的是(C)(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,0)，曲線上每一點(diǎn)到x軸與y軸的距離的乘積都相等，過曲線上橫坐標(biāo)分別為6，4，2的三點(diǎn)B，C，D分別向x軸，y軸作垂線，圖中的涂色部分是由這些垂線圍成的，且面積是6，則由O，A

7、，C三點(diǎn)圍成的三角形的面積為 27 .例12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OABC的頂點(diǎn)C(3,4)，邊OA落在x正半軸上，P為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作DEOC，F(xiàn)GOA，交平行四邊形各邊如圖若反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，四邊形BCFG的面積為8，則k的值為(B)A16 B20 C24 D26 命題點(diǎn)七：關(guān)于疊加曲線的問題例13(2018·寧波)如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)y(k1>0，x>0)，y(k2>0，x>0)的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個動點(diǎn)，若ABC的面積為4，則k1k2的值為(A)A8 B8 C4 D4例14(1)

8、如圖，A為函數(shù)y(x>0)圖象上一點(diǎn)，連結(jié)OA，交函數(shù)y(x>0)的圖象于點(diǎn)B，C是x軸上的一點(diǎn)，且AOAC，則ABC的面積為 6 . 命題點(diǎn)八：關(guān)于反比例函數(shù)的規(guī)律性問題例15如圖，在反比例函數(shù)y(x>0)的圖象上，有點(diǎn)P1，P2，P3, P4，它們的橫坐標(biāo)依次為2,4,6,8，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的涂色部分的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，Sn，則S1S2S3Sn10(用含n的代數(shù)式表示)例16如圖，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，P100A99A100是等腰直角三角形，點(diǎn)P1，P2，P3， ，P100在反比例函數(shù)y的圖象上，斜邊OA1

9、，A1A2，A2A3，A99A100都在x軸上，則點(diǎn)A100的坐標(biāo)是 (40,0) .課后練習(xí)1如圖，正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B在y軸上若反比例函數(shù)y(k0)的圖象過點(diǎn)C，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為(A)Ay By Cy Dy2已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函數(shù)y上的三點(diǎn)，x1<x2<x3，y2<y1<y3，則下列關(guān)系式不正確的是(A)Ax1·x2<0 Bx1·x3<0 Cx2·x3<0 Dx1x2<03(2018·徐州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

10、函數(shù)ykx 與y的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)y的圖象于點(diǎn)C，連結(jié)BC，則ABC的面積為(C)A2B4 C6 D84如圖，A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y的圖象上，C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y的圖象上，AC交x軸于點(diǎn)E，BD交x軸于點(diǎn)F，AC2，BD3，EF，則k2k1等于(A)A4 B C D65如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，反比例函數(shù)y(k>0)的圖象交BC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.若A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，SOMN，則k的值為(B)A B2 C D16如圖，ABC的三個頂點(diǎn)分別為A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)若函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖

11、象與ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍為2k.7(2018·德州)如圖，反比例函數(shù)y與一次函數(shù)yx2的圖象在第三象限相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，P是y軸左側(cè)的一點(diǎn)若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (4，3)，(2,3) .8如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y(x>0)的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)y(k>0)的圖象上，ACBDy軸已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1,2，OAC與ABD的面積之和為，則k的值為 3 .9在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)如圖，若曲線y(x>0)與此正方形的邊

12、有交點(diǎn)，則a的取值范圍是a1.10(2018·金華)如圖，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y與y(x>0,0<m<n)的圖象上，對角線BDy軸，且BDAC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.(1)當(dāng)m4，n20時，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；若P是BD的中點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由(2)四邊形ABCD能否成為正方形？ 若能，求此時m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試說明理由解：(1)m4，反比例函數(shù)y為y.當(dāng)x4時，y1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)當(dāng)y2時，2，x2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為ykxb.解得直線AB的表達(dá)式為

13、yx3.四邊形ABCD是菱形理由如下：由題，知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)BDy軸，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,5)點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)當(dāng)y3時，由y，得x；由y，得x.PA4，PC4.PAPC.PBPD，四邊形ABCD為平行四邊形BDAC，四邊形ABCD是菱形(2)能理由如下：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，記AC，BD的交點(diǎn)為P，BDAC.當(dāng)x4時，y，y，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.點(diǎn)P的坐標(biāo)為.點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.ACBD，.mn32.11(2018·泰州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1(x>0)的圖象上，點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對稱，

14、一次函數(shù)y2mxn的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.(1)設(shè)a2，點(diǎn)B(4,2)在函數(shù)y1，y2的圖象上，分別求函數(shù)y1，y2的表達(dá)式；直接寫出使y1>y2>0成立的x的范圍(2)如圖，設(shè)函數(shù)y1，y2的圖象相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3a，AAB的面積為16，求k的值(3)設(shè)m，如圖，過點(diǎn)A作ADx軸，與函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)D，以AD為一邊向右側(cè)作正方形ADEF，試說明函數(shù)y2的圖象與線段EF的交點(diǎn)P一定在函數(shù)y1的圖象上解：(1)點(diǎn)B在y1的圖象上，k2×48.y1.a2，點(diǎn)A在y1的圖象上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)將點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入y2，得解得y2x2.2&l

15、t;x<4.(2)分別過點(diǎn)A，B作ACx軸于點(diǎn)C，BDx軸于點(diǎn)D，連結(jié)OB.O為AA的中點(diǎn)，SAOBSAAB8.點(diǎn)A，B在雙曲線上，SAOCSBOD.SAOBS四邊形ACDB8.根據(jù)已知，點(diǎn)A，B坐標(biāo)可設(shè)為，××2a8，解得k6.(3)設(shè)A，則A.把A代入yxn，得an，na.AD的表達(dá)式為y2xa.當(dāng)xa時，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為a，ADa.在正方形ADEF中，ADAF，點(diǎn)F和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為aa.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為×aa，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入y1(x>0)，得y1a.點(diǎn)P在y1(x>0)的圖象上12(自主招生模擬題)如圖，反比例函數(shù)y位于第一象限的圖象上有A，B兩點(diǎn)，從點(diǎn)A作ADy軸于點(diǎn)D，從點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C，若OAB的面積為，OCD的面積為，則k的值為(B)A B2 C D313如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y x1，雙曲線y.在l上取點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2.請繼續(xù)操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，An，記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an.若a12, 則a2，a2013； 若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a1不能取的值是 0，1 .14(自主招生模擬題)