因式分解式講義精講

1、學(xué)員編號：年 級：初一課 時 數(shù)：1學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：授課類型復(fù)習(xí)授課日期及時段2016.4.16 12:502:50教學(xué)目的1. 熟練掌握因式分解的有關(guān)概念和運(yùn)算法則。2. 熟練地、靈活地運(yùn)用因式分解進(jìn)行計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字

2、相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) =a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-

3、b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；（7）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（8）(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：練習(xí)：分解因式1、 2、 3.（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：例4、分解因式：練習(xí)

4、：分解因式3、 4、 5.x5+x4+x3+x2+x+1綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）(13）xyxzy2+2yzz2 (14）a2b2c22bc2a+1四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和?？谠E：首尾分解，求和湊中，交叉相乘。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知05，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：例5、分解因式：例6、分解因式：練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6

5、、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式，既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd ，簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。條件：（1）（2）（3）分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(

6、2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。例13、分解因式（1）（2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次

7、數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)14、（1）（2）六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式（1）解法1拆項(xiàng)。解法2添項(xiàng)。原式=原式= =（2）解：原式=配方法：因式分解 a2b2+4a+2b+3原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3)練習(xí)15、分解因式（1） （2）（3） （4）x4+x2+2ax+1-a2 =x4+2x2+1-x2+2ax-a2 =(x2+1)2-(

8、x-a)2 =(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)（5）（6）-(a2-b2)2-2c2(a2-b2)+c4=(a2-b2-c2)2（7）x4 + 4原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2= (x2+2)2 (2x)2= (x2+2x+2)(x22x+2)（8）x423x2y2+y4（9）(m21)(n21)+4mn七、待定系數(shù)法。首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=分解因式x4 x3 -5x2 -6x-4 如果已知道這個

9、多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 解：設(shè)x4 x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd 從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得則x4 x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)例17、（1）當(dāng)為何值時，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。（2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)=則=比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當(dāng)時，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式

10、=（2）分析：是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解：設(shè)= 則= 解得，=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4） 為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。8、 求根法 令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1,x2 ,x3 ,xn ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )(x-xn ) （一般情況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根）例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x

11、)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1 ,12則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9: 主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。 例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2-c 2)+bc(b-c) =(b-c) a2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 10雙十字

12、相乘法十字相乘法是利用這個公式，寫成兩排形式，把二次項(xiàng)系數(shù)的約數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)進(jìn)行十字交叉相乘，它們的和湊成一次項(xiàng)系數(shù)，那每一排即位多項(xiàng)式的一個因式，因?yàn)槌适纸徊嫦喑?，故稱為十字相乘法。運(yùn)用雙十字乘法對型的多項(xiàng)式分解因式的步驟：1、用十字相乘法分解前三項(xiàng)組成的二次三項(xiàng)式；2、在這個十字相乘圖右邊再畫一個十字，把常數(shù)項(xiàng)分解為兩個因數(shù)，填在第二個十字的右端，使這兩個因數(shù)在第二個十字中交叉之積之和，等于原式中含的一次項(xiàng)的系數(shù)E，同是還必須與第一個十字中左列的兩個因數(shù)交叉相乘，使其交叉之積之和等于原式中含的一次項(xiàng)的系數(shù)D。一、用雙十字相乘法分解多項(xiàng)式我們先看一下兩個多項(xiàng)式相乘的計(jì)算過程：計(jì)算。從計(jì)算

13、過程可以發(fā)現(xiàn)，乘積中的二次項(xiàng)只和乘式中的一次項(xiàng)有關(guān)，而與常數(shù)項(xiàng)無關(guān)；乘積中的一次項(xiàng)，只和乘式中的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系；乘積中的常數(shù)項(xiàng)，只和乘式中的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系。根據(jù)因式分解與整式乘法是相反變形的關(guān)系，我們來尋求多項(xiàng)式的分解因式的方法是：1、先用十字相乘法分解。2、再將常數(shù)項(xiàng)5的兩個因數(shù)寫在第二個十字的右邊。3、由于第2列與第3列交叉相乘之積的和等于8y。再看第1列與第3列交叉相乘之積的和等于13x，那么原式就可以分解成。綜上可知，雙十字相乘法的理論根據(jù)是多項(xiàng)式的乘法，在使用雙十字相乘法時，應(yīng)注意它帶有試驗(yàn)性質(zhì)，很可能需要經(jīng)過多次試驗(yàn)才能得到正確答案。例1、分解因式。4×615=9，3

14、×(7)+2×6=33，28+10=18，。評注：在使用雙十字相乘法時，不必標(biāo)出，只需寫出的系數(shù)就可以了。即第1列是的系數(shù)的兩個因數(shù)；第2列是的系數(shù)的兩個因數(shù)；第3列是常數(shù)項(xiàng)的兩個因數(shù)。例2、分解因式。3×(2)+5×1=6+5=1，=。例3、分解因式。3×(2)+3×8=6+24=18，=。例4、分解因式。2×5+3×(4)=1012=2，。評注：注意本題中的第3列是的兩個因式,不要丟掉z。例5、分解因式。解法1：解法2：。解法3：=解之，得。評注：解法1是使用雙十字相乘法分解因式；解法2將原多項(xiàng)式化成關(guān)于的二次

15、三項(xiàng)式分解因式；解法3則使用了待定系數(shù)法。練一練：用多種方法分解下式：。答案：。(1) (2)(3) (4)(5) (6)知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項(xiàng)式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。 1. 因式分解的對象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解

16、的一般步驟是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。 1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例1. 分解因式分析：這是一個六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式

17、解二：原式= 2. 通過變形達(dá)到分解的目的例1. 分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：說明：此題

18、是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。例2. 已知：_解：說明：利用等式化繁為易。題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。解：說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將解：說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計(jì)算。實(shí)戰(zhàn)模擬1. 分解因式：2. 已知：的值。3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較因式分解練習(xí)題精選一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_。2、則=_=_3、與的公因式是4、若=，則m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=_。7、8、已知則9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，則k=_。12、若的值為0，則的值是_