大學微積分l知識點總結(jié)(一)

1、 大學微積分l知識點總結(jié)【第一部分】大學階段準備知識1、不等式： 引申 雙向不等式：兩側(cè)均在ab0或ab0時取等號 柯西不等式：設a1、a2、.an，b1、b2、.bn均是實數(shù)，則有：2、函數(shù)周期性和對稱性的常用結(jié)論1、若f（x+a）=±f（x+b），則f（x）具有周期性；若f（a+x）=±f（b-x），則f（x）具有對稱性。口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），則T=|b-a|（2）若f（x+a）=-f（b+x），則T=2|b-a|（3）若f（x+a）=±1/f（x），則T=2a（4）若f（x+a）=【1-f（x）

2、】/【1+f（x）】，則T=2a（5）若f（x+a）=【1+f（x）】/【1-f（x）】，則T=4a3、對稱性（1）若f（a+x）=f（b-x），則f（x）的對稱軸為x=（a+b）/2（2）若f（a+x）=-f（b-x）+c，則f（x）的圖像關于（a+b）/2，c/2）對稱4、函數(shù)圖象同時具備兩種對稱性，即兩條對稱軸，兩個對稱中心，一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)必定為周期函數(shù)，反之亦然。（1）若f（x）的圖像有兩條對稱軸x=a和x=b，則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個周期為2|b-a|。（2）若f（x）的圖像有兩個對稱中心（a，0）和（b，0），（ab），則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個

3、周期為2|b-a|。（3）若f（x）的圖像有一個對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0），（ab），則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個周期為4|b-a|。3、三角函數(shù)mLn 倒數(shù)關系： 商的關系： 平方關系：平常針對不同條件的兩個常用公式：一個特殊公式：二倍角公式：半角公式：三倍角公式：萬能公式：兩角和公式：和差化積公式：積化和差公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限4、數(shù)學歸納法 數(shù)學上證明與自然數(shù)N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關的數(shù)學問題，在高中數(shù)學中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。例如：前n個奇數(shù)的總和是n2，那么前n個偶數(shù)的總和是：n2+n最簡單和最常見的數(shù)學歸納法

4、證明方法是證明當n屬于所有正整數(shù)時一個表達式成立，這種方法由下面兩步組成：遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立遞推的依據(jù)：證明如果當n=m時成立，那么當n=m+1時同樣成立（1）第一數(shù)學歸納法證明當n取第一個值n0時命題成立，n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況假設n=k（kn0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立（2） 第二數(shù)學歸納法對于某個與自然數(shù)有關的命題P（n）驗證n=n0時P（n）成立假設n0nk時P（n）成立，并在此基礎上，推出P（k+1）成立（3）倒推歸納法驗證對于無窮多個自然數(shù)n命題P（n）成立假設P（k+1）成立，并在此基礎上，推出P（n）成立（4）

5、螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關的命題驗證n=n0時P（n）成立假設P（k）（kn0）成立，能推出Q（k）成立，假設Q（k）成立，能推出P（k）成立。5、初等函數(shù)的含義概念：初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算以及有限次數(shù)函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)?！居欣磉\算：加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方】【基本初等函數(shù)：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)】6、 二項式定理：即二項展開式，即（a+b）n的展開式7、高等數(shù)學中代換法運用技巧倒代換把原式中的一個變元或原式中的一部分用另一個變元的倒數(shù)來代替，此種方法被稱為

6、“倒代換”法增量代換若題目中已知xm，則引入輔助元x=m+a（a0），再將輔助元代入題中解題。此種代換方法稱為“增量代換法”三角代換雙代換：引入兩個輔助元進行代換8、其他一些知識點（1）0不是正數(shù)，不是負數(shù)。是自然數(shù)。0是偶數(shù)，偶數(shù)分為：正偶數(shù)、負偶數(shù)和0（2） 正偶數(shù)稱為“雙數(shù)”（3） 正常數(shù)：常數(shù)中的正數(shù)（4） 質(zhì)數(shù)：又稱“素數(shù)”。一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，否則稱為“合數(shù)”。最小的質(zhì)（素）數(shù)是2。1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。（5） exp：高等數(shù)學中，以自然對數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)（6） 在數(shù)學符號中，sup表示上界；inf表示下界（7） ：表示恒等于

7、（8） 0的階乘是1.階乘是一個遞推定義，遞推公式為：n！=n（n-1）！因為1的階乘為1，即1！=1×0！，故0！=1【第二部分】函數(shù)與極限常用結(jié)論（等價無窮小很重要） 其中，e為初等函數(shù)，又稱“冪指函數(shù)”，e即根據(jù)此公式得到，e2.718一些重要數(shù)列的極限： 另一些重要的數(shù)列極限： 列舉一些趨向于0的函數(shù)：柯西極限存在準則：柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理。給出了極限收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)，存在這樣的正整數(shù)N，使得當mN，nN時就有|xn-xm|。這個準則的幾何意義表示，數(shù)列Xn收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項都無限接近。夾逼定理的兩個條件：左右

8、極限存在；左右極限相等【極限計算的技巧總結(jié)（不包含教材介紹的方法以及公式）：】（1）洛比達法則設函數(shù)f(x）和F(x）滿足下列條件：xa時， f(x)=0,F(x)=0;在點a的某去心鄰域內(nèi)f(x）與F(x）都可導，且F(x）的導數(shù)不等于0;xa時，(f'(x)/F'(x)）存在或為無窮大則 xa時，(f(x)/F(x)=(f'(x)/F'(x)（2）等價無窮小一般要將變量的取值變?yōu)橼呄蛴?的代數(shù)式，如x，令t=1/x無窮小的概念：高階無窮?。寒?0時，如果（B/A)=0,就說B是比A高階的無窮小低階無窮?。寒?0時，如果（B/A)=,就說B是比A低階的無窮小如

9、果（B/A)=K（K0,1），就說B是A的同階非等價無窮小等價無窮?。海˙/A）=1，就說B為A的等價無窮?。?）斯托爾茨定理設數(shù)列單調(diào)增加到無窮大，則 （5） 求兩個數(shù)列之商的極限，在兩數(shù)列都具有高次項的情況下，可以直接比較最高次項而忽略較低次項，該原理僅僅限于無窮數(shù)列，對于有窮數(shù)列不能直取。（6） 分母趨近于0，而分子不為0，其極限不存在或無窮 （8） 在計算極限題目中，若題目中同時出現(xiàn)、或者、時，令t=或（9） 在求極限的過程中如果遇到n次項等高次項而無法解題時，一般可以通過借助進行消去高次項的運算，有的也可以使用泰勒公式。（10） 計算極限時出現(xiàn)出現(xiàn)或者的形式，應用泰勒公式計算。（11

10、） 三個重要的結(jié)果（12）有的題目涉及遞推公式、數(shù)列問題如：函數(shù)的連續(xù)性和間斷點問題（1）如何討論并確定函數(shù)的連續(xù)性？若該函數(shù)是初等函數(shù)，則該函數(shù)在其定義域區(qū)間均連續(xù)若是一元函數(shù)，則可對其求導，其導數(shù)在某點上有意義則函數(shù)在該點必然連續(xù)（可導必連續(xù)）求助極限，函數(shù)在該點極限等于函數(shù)在該點函數(shù)值，計算時注意左右極限（2）間斷點問題間斷點的分類：（3）一致連續(xù)與不一致連續(xù)【第三部分】導數(shù)與微分法線斜率和切線斜率相乘等于-1（切線與法線垂直）反函數(shù)求導：反函數(shù)導數(shù)×原函數(shù)導數(shù)=1或?qū)懗桑撼Ｒ姷暮瘮?shù)的導數(shù)（基礎函數(shù)求導）： ：y=f（x）亦稱為“零階導數(shù)”（函數(shù)的零階導數(shù)就是其本身）隱函數(shù)：F

11、（x，y）=0，y=f（x）帶入即可得到F【x，f（x）】=0，滿足該恒等式即為隱函數(shù)國際數(shù)學通用標記：易錯點：求導時，不能將y與f（x）等同。二者導數(shù)未必一致【帶有絕對值的函數(shù)該如何求導？】帶有絕對值的函數(shù)脫掉絕對值符號后是一個分段函數(shù)，應當分段求導。特別應注意的是，分段點的導數(shù)嚴格來講，應當按定義來求?！窘?jīng)典題型總結(jié)】（1） 設函數(shù)f（x）在x0時可導，且對任何非零數(shù)x，y均有f(x·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。證明當x0時，f(x)可導。 證：令x=1，由f(x·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 對任何x0，由

12、題設及導數(shù)定義知， 高階導數(shù)：（1）高階導數(shù)的運算法則（2） 【淺談高階導數(shù)的求法】高階導數(shù)求法一般包括6種方法，即根據(jù)高階導數(shù)定義求之；利用高階導數(shù)公式求之；利用萊布尼茨公式求之；用復合函數(shù)的求導法則求之；用泰勒公式求之；交叉法，等等。定義法：運用求導公式，求導法則求導，n階導數(shù)一般比較其規(guī)律性高階求導公式：把高階求導公式化為代函數(shù)之和，分別求之萊布尼茨公式求導：當所求導數(shù)的函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積時，宜用萊布尼茨公式求之。特別地，當其中一個函數(shù)的高階導數(shù)為0，可以用此公式求之；兩個因子中，其中有一個函數(shù)的各階導數(shù)有明顯的規(guī)律性時，可以用此公式。復合函數(shù)求導法：復合函數(shù)求導法則還可以推廣到多次復

13、合的情形。在求導時，能從外層向內(nèi)層逐層求導，一直求到對自變量求導數(shù)為止。若存在單值反函數(shù)，常用復合函數(shù)求導法則，求其反函數(shù)的高階導數(shù)?！久~釋義】單值反函數(shù)：若對定義域每一個自變量x，其對應的函數(shù)值f（x）是唯一的，則稱f（x）是單值函數(shù)。反過來，對于任何一個函數(shù)值y，都有唯一的一個自變量x與之相對應，則此時稱y=f（x）為單值反函數(shù)。泰勒公式求導法 證明題：證明一函數(shù)（隱函數(shù)）處處可導：則應先根據(jù)題意找出幾個關鍵的點，然后根據(jù)導數(shù)的基本公式：進行判定證明f（x）=a，即證F（x）=f（x）-a=0（3）部分初等函數(shù)的高階導數(shù) 一階導數(shù)：切線斜率 二階導數(shù)：曲線曲率關于曲線凹凸性的兩個定理及應

14、用【經(jīng)典題型總結(jié)】X=f（t）Y=t·f（t）-f（t）（1）設 f（t）存在且f（t）0，求 （2）函數(shù)的二階導數(shù)等于原函數(shù)，求該函數(shù)表達式（3） f（x）、g（x）都可導，且滿足：f（x）=g（x）、f（x）=g（x） f（0）=0；g（0）=1。證明：g2（x）-f2（x）=1證：由上可知，f（x）=f（x）【微分：】自變量的改變量等于自變量的微分導數(shù)又稱“微商”。微分四則運算：設u=u（x）、v=v（x）在點x處均可微，則u±v、u×v、u/v（v0）在x處都可微，且：截距的性質(zhì)：截距不是距離，所以截距是有正負的拐點：在數(shù)學上，拐點是指改變曲線向上或者向下

15、方向的點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點（即曲線的凹凸分界點）。若該曲線的圖形函數(shù)在拐點有二階導數(shù)，則二階導數(shù)必為零或者不存在駐點：函數(shù)的導數(shù)為0的點稱為函數(shù)的駐點可導、可微、連續(xù)、極限之間的關系？可導 <=> 可微可導(可微） => 連續(xù) => 極限存在 <=> 左極限、右極限都存在且相等（箭頭反方向的話不一定成立）可導 => 左導數(shù)、右導數(shù)都存在且相等連續(xù) => 左連續(xù)且右連續(xù) + 極限值等于函數(shù)值 連續(xù) <=> 極限存在且等于函數(shù)值 極限存在 <=> 左極限、右極限都存在且相等在某點處（左、右

16、）極限是否存在與該點處函數(shù)是否有定義無關【第四部分】微分中值定理及導數(shù)的應用（1）費馬定理 設f（x）在點x0處取到極值，且f（x0）存在，則f（x0）=0。（2）羅爾定理 如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間a,b上連續(xù);在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(a<<b)，使得 f'()=0.（3）拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f(x) 滿足:（1）閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導。那么:在(a,b)內(nèi)至少有一點(a<<b)，使等式 f(b)-f(a)=f()(b-a) 成立。（4）柯西中值

17、定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;（3）對任一x(a,b)，F(xiàn)'(x)0。那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f'()/F'()成立。（5）泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關于(x-x.)多項式和一個余項的和:f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)2,+f'''(x.)/3!&

18、#183;(x-x.)3+f(n)(x.)/n!·(x-x.)n+Rn其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!·(x-x.)(n+1),這里在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。麥克勞林公式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關于x多項式和一個余項的和:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x2,+f'''(0)/3!·x3+f(n)(0)/n!·xn+Rn其中Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!·x(n+1

19、),這里0<<1.兩個重要且特殊的麥克勞林公式：（6）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值單調(diào)區(qū)間：設f（x）在區(qū)間I（I可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半開半閉區(qū)間）上連續(xù)，在區(qū)間I內(nèi)部可導若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上遞增若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上遞減若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上是一個常值函數(shù)極限與極值：判定極限的方法：f（x）=0，f（x）0，則f（x）一定是極限f（x）=0，f（x）0，則f（x）取極大值f（x）=0，f（x）0，則f（x）取極小值【誤點解析】：使用洛必達法則之后極限不存在，不能直接說原極限不存在雙階乘：相隔的兩個數(shù)相乘：

20、如5！=5×3×1不動點：g（t）=t的點叫做不動點f（x） g（x）滿足此條件，即可證明f（x）、g（x）在x0處n階相切f（x） = g（x）f（x） = g（x）f（x） = g（x） .f(n)（x）= g(n)（x）曲率： （4）圓的各個位置的曲率是相同的，都是半徑的倒數(shù)反函數(shù)：如果函數(shù)的導數(shù)不為0，那么該函數(shù)在定義域區(qū)間上有反函數(shù) 【例談微分中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法一】輔助函數(shù)是解決許多數(shù)學問題的有效工具，中值定理及推導過程中用到了演繹、分析分類等數(shù)理邏輯方法和一些具體的方法。如構(gòu)造輔助函數(shù)等等，下面就介紹幾種重要的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。（1）湊導數(shù)法例如

21、：設函數(shù)f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導，證明：存在（a、b），使得2【f（b）-f（a）】=（b2-a2）·f（）證明：令F（x）=x2【f（b）-f（a）】-（b2-a2）·f（x）即可（2）幾何直觀法例如：如果f（x）在【0、1】上可導，且0f（x）1，對于任何x（0,1）都有f（x）1，試證在（0,1）有且僅有一點，使得f（）=證：令g（x）=f（x）-x 再用反證法證明其唯一性（3）常數(shù)值法（K）在構(gòu)造函數(shù)時，若表達式關于端點處的函數(shù)值具有對稱性，通常用常數(shù)K值法來構(gòu)造輔助函數(shù)。這種方法一般選取所政等式中含的部分作為K，即將常數(shù)部分分離出來令其得K，

22、恒等式變形，令一端為a與f（a）的代數(shù)式，另一端為b與f（b）的代數(shù)式，將所證等式中的端點值（a或b）改為變量x，移項即為輔助函數(shù)F（x）。再用中值定理，待定系數(shù)法等方法確定K。一般來說，當問題涉及到高階導數(shù)時，往往考慮多次運用中值定理，更多時要考慮運用泰勒公式。例如：設f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）上可導。0ab。試證明 證：（4）倒推法這種證明方法從要證的結(jié)論出發(fā)，借助與邏輯關系導出已知的條件和結(jié)論。例如：設f（x）在【a、b】（0ab）上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且 證：構(gòu)造函數(shù)：f（）·+f（）=0即可（5）乘積因子法對于某些要證明的結(jié)論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)之

23、間關系的證明。直接構(gòu)造函數(shù)往往比較困難，將所證的結(jié)論兩端同時乘以或除以一個恒為正或負的函數(shù)，證明的結(jié)論往往不受影響。例如：若f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導，且f（a）=f（b） （6）介值法證明中，引入輔助函數(shù)g（x）=f（x）-·x。將原問題轉(zhuǎn)化為【a、b】內(nèi)可導函數(shù)g（x）的最大值或最小值至少有1個必在內(nèi)點達到，從而可通過g（x）在【a，b】上的可導條件，直接運用費馬定理完成證明。例如：證明若f（x）在【a，b】上可導，則f（x）可取到f（a）與f（b）之間的一切值（7）分離變量法拉格朗日與柯西中值定理常用來解決多個中值的問題。以兩個中值的情況為例說明如下： 若要

24、證明存在、（a，b），使得f（a，b，）=0.則通常應將函數(shù)f（a，b，）=0改寫成“變量分離”的形式，即h（a，b）=（）·（）或者h（a，b）=（）+（）的形式，然后觀察（）、（）是否分別拉格朗日公式的右側(cè)。 【例談微分中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法二】（1）使用羅爾定理時用“積分法”或“解微分方程法”構(gòu)造輔助函數(shù)。使用“積分法”構(gòu)造輔助函數(shù)的基本步驟：將結(jié)論等式中的換成x；對第一步的結(jié)果進行變形，使兩邊求積分；兩邊求不定積分；把第三步的結(jié)果化成C=F（x）的形式，其中C為任意常數(shù)，且f（x）中不含有C；最后的F（x）就是所要構(gòu)造的輔助函數(shù)。（2） 使用拉格朗日定理用“單邊積分法”構(gòu)造輔助函數(shù)。所謂的單邊積分法就是：若所要證明的等式中只含有，就是把有的函數(shù)式與常數(shù)項分離到兩邊，將換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)。若所要證明的等式中含有和，就把含有的函數(shù)式與含有的函數(shù)式分離到等式兩邊，將換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)；將換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為另一輔助函數(shù)。 （3）使用柯西中值定理時用“上下積