談?wù)勸詈险駝?dòng)

1、談?wù)勸詈险駝?dòng)作為引子，也作為例子我們先來(lái)看看2004 年全國(guó)中學(xué)生物理決賽最后一題。原題是這樣敘述的：如圖， a b c d是位于光滑水平桌面上的四個(gè)小物塊，它們的質(zhì)量均為m.a、b間有一自然長(zhǎng)度為l, 勁度系數(shù)為k 的彈簧聯(lián)結(jié)。1c、d 之間有一自然長(zhǎng)度為l , 勁度系數(shù)為 k 的彈簧聯(lián)結(jié)四個(gè)物塊的中心2在同一直線上。如果b、c 發(fā)生碰撞，碰撞是完全彈性的，且碰撞時(shí)間極短。開(kāi)始時(shí)，兩個(gè)彈簧都處在自然長(zhǎng)度狀態(tài)，物塊c、d 靜止，物塊 a、b 以相同的速度 v 向右運(yùn)動(dòng)，試定量論述01若k1 =k2 , 四個(gè)物塊相對(duì)于桌面怎樣運(yùn)動(dòng)？2若k1 =4k2 , 四個(gè)物塊相對(duì)于桌面怎樣運(yùn)動(dòng)？圖如下：（摘

2、自2005 全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽專輯北京教育出版社）下面是原書給出的解答（有刪動(dòng)） ：在 a b 兩物塊向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， b 與 c 第一次相遇并發(fā)生碰撞，在極短的時(shí)間內(nèi)，兩根彈簧的長(zhǎng)度都來(lái)不及發(fā)生變化，處在原長(zhǎng)狀態(tài)，故 a,d 的運(yùn)動(dòng)未發(fā)生改變 。容易寫出四個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)方程：Xa1v0sin1tl2v t0221Xb1v0l0sin1t(1)2v t221Xc1v0sin2tl2v t0222Xd1v0 sin1t3l2v0 t222( k1=k2時(shí)不再討論 )k1=4k2 時(shí)22k18k2（2）12mm第一次碰撞后 物塊相對(duì)于桌面坐標(biāo)系的位置由（1） 確定各物塊速度為：vav0v0 cos1

3、22tvbv0v0 cos1t（3）221tvcv0v0 cos222vdv0v0 cos1t222如果在以后的過(guò)程中b c會(huì)相遇利用（ 1）則有：11t sin1t（4）sin22因122 得sin 2t ( cos 2t +1)=0 2（5）其解為2t =nn為整數(shù)（6）從而使 t 異于 0 的最小正整數(shù)解滿足2t =(7)此時(shí) b c相對(duì)于質(zhì)心系的速度為 ：v =-v0/2;v =-v0/2;(8)bc這表明， b c 相遇時(shí)不相撞。 于是 b c 之間無(wú)相互作用，各自獨(dú)立運(yùn)動(dòng) ( 以后部分是按照 b c 無(wú)相互作用解的，暫略 )問(wèn)題是 , 此時(shí) b c 真的僅僅是相遇而不相撞且將保持各

4、自獨(dú)立運(yùn)動(dòng)嗎？從速度上看似乎是這樣， 但是如果我們分析一下振動(dòng)圖像， 就會(huì)得出不同的結(jié)論。注意到 Tc =2/ 2 , T b=2/ 22, Tc=2Tb在 t0 時(shí)刻 ,b c 有相同的位置和速度， 但在 t=t1 時(shí)刻，Xc<Xb 也就是說(shuō) c 在 b 的左邊！要做到這點(diǎn)， c 必須穿過(guò) b !這當(dāng)然是不可能的。因此，上面得出的 b c 各自獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的結(jié)論是錯(cuò)的 。雖然， b, c 在t=t0 時(shí)刻速度相等， 不相撞，但在 t=t0+( >0, 且任意小 ) 馬上會(huì)產(chǎn)生相互作用。值得一提的是，從圖上看，在 t=t2 時(shí)刻，好像 b c 發(fā)生碰撞，但實(shí)際上，此時(shí) vb<0

5、相左運(yùn)動(dòng) , vc>0 向右運(yùn)動(dòng) ; 也就是說(shuō)， b c 發(fā)生分離而不是相撞。 當(dāng)然，在 t=t0 時(shí)刻以后按原模型的任何分析已經(jīng)沒(méi)有意義。下面，嘗試給出此題目的正確解法。如圖， 我們?cè)谫|(zhì)心系 中考慮此問(wèn)題， 并選取 t0 時(shí)刻為時(shí)間的起點(diǎn) 即 t=0. 因此可以將 b c 在有相互作用的這段時(shí)間內(nèi)看成是一個(gè)整體 。這就得到了一個(gè)三自由度的耦合振動(dòng)（如圖）：開(kāi)始時(shí)，速度為（質(zhì)心系中）Va=Vc=V/2;Vb,c=-V /2,(9)00各個(gè)彈簧都處在自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，即:Xa=Xbc=Xd=0;(10)參照下圖，列出動(dòng)力學(xué)方程：.1k xk xmx1112(11).2mx2k1(xx2)k2(

6、xx)(12)123.k2 x3k2 x2m x3(13)其中， Xi表示 i ( i =1,2,3)相對(duì)于平衡位置的偏移量。記 k2 k ;k2m方程組可化為：.2 x2 xx442（14）11.25212x22x1x2x3（15）22.2 x2 xx2(16)33由于我們對(duì)運(yùn)動(dòng)方程感興趣，故需解出Xi 來(lái)；記d 2L方程可化為：dt 2LX2 AX（17）440Xx1, x2, x3 ); A25122其中，011欲對(duì) X 實(shí)行變換 T 使在變換 T 下 A 為對(duì)角陣，即：XTX *，而T 1AT為對(duì)角陣；這樣（ 17）可化為：LXLT X*T LX*AXATX *從而TLX *ATX進(jìn)而

7、LX*T 1ATX*X*我們得到方程：LX *X *（18）這個(gè)方程是容易解的。首先求特征值：| A- I |=0; 由此得方程：(2158) 0 (19) 解得三個(gè)2特征值 :9715;97150;44于是解得10.1952.883T10.2885.212111利用初值 , 最終可解得 :xa21 v0 (0.28t0.1011 sin1t0.6221 sin2t );x1 v (0.28t0.151 sint1.131 sint );b, c2 01122xd21 v0 (0.28t0.5111 sin1t0.2221 sin2t );(19)式中 19715;2971544而 b c 之

8、間的作用Tf 1f 2 ;由于 . f14k( x1x2 ), f 2k ( x3x2 )故得 Tk( 4xx33x2)1當(dāng) T0 時(shí) bc分離，故可求得當(dāng) t=1.31時(shí) b c將分離。為避免犯原解的錯(cuò)誤，還可以檢驗(yàn)T( t) 在t=1.31處單調(diào)減，這說(shuō)明 b c確實(shí)在此刻分離了。進(jìn)一步，運(yùn)用質(zhì)心系中運(yùn)動(dòng)方程，可以求得物塊a b c d最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這里略去冗雜的推導(dǎo)直接給出我們最關(guān)心的b c的末態(tài)運(yùn)動(dòng)（在系統(tǒng)質(zhì)心系中，且以b c分離時(shí)刻為時(shí)間零點(diǎn)）：Xb(t )0.44 v0l 0.26v t 0.15 v0sin 3 t1 v0 cos 8 t02（20）Xc(t ) 0.09v0l

9、0.37v t 0.49v0sin 2 t 0.32v0 cos 2 t0（21）并且可以驗(yàn)證， 此后 b c 不會(huì)再有相撞。 這樣本題得以完整解決。正如上面的例子， 耦合振動(dòng) ，是一種多自由度的線性系統(tǒng)的振動(dòng)。由多個(gè)彈簧振子耦合在一起所組成的系統(tǒng)， 各個(gè)振子可能有不同的頻率，但是整體是按照某幾個(gè)統(tǒng)一的頻率振動(dòng)的 （這些特征頻率被稱為簡(jiǎn)正模）。其實(shí)也可以理解，若一個(gè)系統(tǒng)是孤立的，即動(dòng)量和能量守恒，如果振子各唱各的調(diào)是難以想象的。 （當(dāng)然耦合振動(dòng)也包含非孤立系統(tǒng)）。從數(shù)學(xué)上看，耦合振動(dòng)表現(xiàn)為， 包含 n 個(gè)獨(dú)立變量的二階常微線性方程組。其解依賴于系數(shù)矩陣的性質(zhì)。但可以證明，一定有 n 個(gè)特征頻率

10、。證明過(guò)程已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出本文討論范圍。從物理上看， 耦合振子系統(tǒng)中所有振子，都按一個(gè)統(tǒng)一的頻率振動(dòng)。一般情況下，只關(guān)心這些特征頻率，就可以采取試探解的辦法。舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子 . 如圖的振子系統(tǒng)：可試探解：itXiAi e代入即得方程組m2 AkAK ( AA )1121m 2 A2kA2K(A2A1 )由方程組有解條件得m2kKK0Km 2kK可以得到特征方程（以下略去方法同例題）從物理上看還可以這樣理解： 系統(tǒng)中存在某種由振子坐標(biāo)線性組合組成的坐標(biāo)量 ，它們的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的振動(dòng)。如可假設(shè)qiajix jj在本題中，解得 qi 后利用反變換：容易求得 Xa,Xb.組合系數(shù) aij 是由初始條件決定的

11、。可以這樣理解， 一個(gè)確定的系統(tǒng)有著確定的特征頻率，但特定初值，會(huì)激發(fā)或抑制某個(gè)特征頻率。最后，應(yīng)該指出，一般耦合振動(dòng)問(wèn)題的計(jì)算量是很大的，應(yīng)該借助于計(jì)算機(jī)去解決。文 5 提供了這方面的材料和演示。也可以參看其他關(guān)于耦合振動(dòng)或微分方程、矩陣論的書籍。后記：拙文的主要思路， 其實(shí)在高中時(shí)已經(jīng)形成。 大部分計(jì)算也是彼時(shí)完成的。此文得以現(xiàn)世，首先要感謝我高中同學(xué)張鴻凱。他曾獲06 年國(guó)際中學(xué)生物理競(jìng)賽金牌。 是他向我指出了篇首 04 年競(jìng)賽題的錯(cuò)誤。還要感謝我的好朋友張啦， 是他建議我把將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成耦合振動(dòng)來(lái)解的。還有我的力學(xué)老師楊維纮， 他給我這樣一個(gè)機(jī)會(huì)使我能寫出拙文。我個(gè)人認(rèn)為這是一次很好的鍛煉機(jī)會(huì)。參考文獻(xiàn)：1 趙凱華 羅蔚茵 . 力學(xué) .北京 .高等教育出版社 .2003.2 賈啟民 鄭永令 . 力學(xué) .上海 .復(fù)旦大學(xué)出版社 .1989.3 盧德馨 大學(xué)物理 .