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1、巧用旋轉(zhuǎn)變換探究三條線段的數(shù)量關(guān)系江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 馮娟初中數(shù)學(xué)中的全等的幾何變換有平移、對(duì)稱(翻折)和旋轉(zhuǎn).其中旋轉(zhuǎn)變換具有這樣的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等,旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小,只改變圖形的位置。據(jù)此,解題時(shí)可充分利用旋轉(zhuǎn)變換的特征,把圖形位置進(jìn)行改變,從而達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu),進(jìn)一步整合圖形信息的目的,使較復(fù)雜的問(wèn)題得到創(chuàng)造性解決。例題1(2012·東營(yíng))(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DFBE求證:CECF;(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),G 是AD上一點(diǎn),如果
2、GCE45°,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明:GEBEGD(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:如圖3,在直角梯形ABCD中,ADBC(BCAD),B=90°,AB=BC,E是AB上一點(diǎn),且DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積F圖4解法:(1)略(2)如圖(4)由題可知CB=CD,BCD=B=D=90°,將BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°如圖4所示,則點(diǎn)G、D、F在一條直線上,CE=CF,BCE=DCF,四邊形ABCD是正方形,BCD=90°即BCE+ECG+GCD=90°.ECG=45&
3、#176;BCE+GCD=45°.BCE=DCF,DCF+GCD=45°即FCG=45°.ECG=FCG。又CE=CF,CG=CG,ECGFCG。GE=GF.又GF=DF+GD=BE+GD,GE=BE+GD(3)略說(shuō)明:利用旋轉(zhuǎn)將線段的位置進(jìn)行改變,使兩條線段連成一條新的線段,進(jìn)而將本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問(wèn)題。將本題的條件正方形進(jìn)行改變,則有如下例題:例題2(2012·黑河)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若MBN=45°,易證MN=AM+CN(1)如圖2,在梯形ABCD中,BCAD,AB=BC=CD,點(diǎn)M、N分別
4、在AD、CD上,若MBN=ABC,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出猜想,并給予證明(2)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,ABC+ADC=180°,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上,若MBN=ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想,不需證明FE圖4圖5解法:(1)過(guò)程同例1的第(2)題.(2)猜想:MN=AM+CN.證明:如圖4,由題可知CB=CD,A+BCD=180°,將ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°如圖所示,則點(diǎn)F、C、N在一條直線上,BM=BC,ABM=CBF,ABC=120°即ABM+MBN
5、+FBC=120°.MBN=60°ABM+CBF=60°.ABM=CBF,NBC+CBF=60°即NBF=60°.MBN=FBN。又MB=FB,BN=BN,MBNFBN。MN=FN.又FN=FC+CN=AM+CN,MN=AM+CN(3)猜想:MN=CN-AM,如圖5,由題可知AB=CB,ABC+ADC=180°,BAD+BCD=180°BAM=BCE.可通過(guò)證BENBMN進(jìn)而證得.說(shuō)明:例2中的三個(gè)問(wèn)題都是緊扣線段相等進(jìn)行旋轉(zhuǎn),而題目中的正方形、梯形、ABC+ADC=180°等條件使得旋轉(zhuǎn)后的線段與要加減的線段在同
6、一直線上,進(jìn)而利用全等得出三條線段的和差關(guān)系。若旋轉(zhuǎn)后的線段與另兩條線段不在同一條直線上,則有如下例題:例3(2012·宿遷)(1)如圖1,在ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足DBE=ABC(0°CBEABC)以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將BEC按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC,得到BEA(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E到點(diǎn)E處)連接DE,求證:DE=DE(2)如圖2,在ABC中,BA=BC,ABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足DBE=ABC(0°CBE45°)求證:F圖3解答:(1)略(2)如圖3,將CBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABF
7、,AF=CE,F(xiàn)AB=C,BA=BC,ABC=90°BAC=C=45°.FAD=FAB+BAC=C+BAC=90°.DBE=45°ABD+CBE=45°.ABF=CBE,ABF+ABD=45°即DBF=45°.DBF=DBE。又BF=BE,BD=BD,DBFDBE。DF=DE.又,說(shuō)明:由結(jié)論的形式立即聯(lián)想到以DE、AD、EC為邊構(gòu)造成的三角形如果是直角三角形,那么問(wèn)題就能根據(jù)勾股定理得解。但圖中DE、AD、EC的位置分散,所以想到作適當(dāng)變換使之構(gòu)成直角三角形。這里緊扣AB=BC,ABC=90°將圖形進(jìn)行90
8、76;的旋轉(zhuǎn),巧妙構(gòu)造出直角三角形,把分散的條件集中起來(lái),使問(wèn)題得解。例4(2012·鎮(zhèn)江)等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,P是BC邊上的任一點(diǎn)(與B、C不重合),連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE,分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N(如圖1)(1)求證:AM=AN;(2)設(shè)BP=x若BM= ,求x的值;求四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值;連接DE分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H(如圖2)當(dāng)x為何值時(shí),BAD=15°?此時(shí),以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由F圖3解法:(1)(2)略如圖3,通過(guò)分
9、析可知AD=AE,DAE=120°,四邊形ADPC是菱形,將AHE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AED,連接FG,可證FAG=HAG,證得FAGHAG。FG=HG. AFG=AHG=75°,AFD=AHE=105°,DFG=30°.FDA=AEH=ADE=30°,F(xiàn)DG=60°DGF=90° ,.即以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形.說(shuō)明:本題中通過(guò)分析可知AD=AE,DAE=120°,可將圖形旋轉(zhuǎn)120°使三條線段構(gòu)成直角三角形。本題中給出的是BAD=15°的特殊
10、情況,此時(shí)這三條線段剛好圍成一個(gè)直角三角形。當(dāng)BAD角度一般化時(shí),這時(shí)圍成的就不一定是直角三角形,如下題:例5(2010· 臺(tái)州)如圖1,RtABCRtEDF,ACB=F=90°,A=E=30°EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn), DE,DF分別交線段AC于點(diǎn)M,K (1)觀察: 如圖2、圖3,當(dāng)CDF=0° 或60°時(shí),AM+CK_MK(填“>”,“<”或“=”)如圖4,當(dāng)CDF=30° 時(shí),AM+CK_MK(只填“>”或“<”)(2)猜想:如圖1,當(dāng)0°CDF60°時(shí),AM+CK_MK,證明你所得到的結(jié)論(3)如果,請(qǐng)直接寫(xiě)出CDF的度數(shù)和的值圖1圖2圖3圖4G圖5解法:(1)略(2)通過(guò)分析可知AD=CD,ADC=120°,DAC=ACD=30°,,將DKC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DGA,連接MG,得AG=CK,GD=KD,GDM=KDM=60°,證得GDMKDM。GM=KM. AM+CK=AM+AGMG即AM+CKMK(3)用同樣的方法旋轉(zhuǎn)后使得三條線段在一個(gè)三角形中,問(wèn)題便迎刃而解。以上呈現(xiàn)的一些例題都是緊扣題目中的線段相等構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線,進(jìn)而解決問(wèn)題的。這些例題除了可以利
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