合肥工業(yè)大學電磁場與電磁波第4章答案

1、第四章習題解答1如題圖所小為一長方形截面的導體榴槽可視為無限匕其上有一塊與槽相泡緣的蓋板，槽的電位為瑜上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為；心根據(jù)條件和Z電位的通解應取為由條件有兩邊同乘以，并從。到對積分,得到S.、.4.*故得到槽內(nèi)的電位分布兩平行無限大導體平面,:距離為，：其間有極薄的導體片由到。位，求板間電位的解：設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化,解應用疊加原，上板和薄片保持電位,下板保持零電>>>理，設(shè)板間的電位為1其中、為不存在薄片的.即:是兩個電位為零的題圖界條件為：一：根據(jù)條件和可設(shè)的通解為；由兩邊同乘以,并從。到對積分,得到小

2、b題圖平行無限大導體平面間K電壓為）的電位，平行導體板間有導體薄片時的電位，其邊條件有(1)故得到如題圖所示的導體槽，底面保持電位，,其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 麟根據(jù)條件和 /由薪能< 趣呻昭黃【】一蟒素.題圖，電位的通解應取為從。到對積分得到高分別為、:故得到的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為的電荷6,求體積內(nèi)的電位即內(nèi)，電位滿足泊松方程長方體表面上/電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為，代入泊松方程（I）.可得由此可得或：，由式12），:得;故（如題圖所承的一對無限大接地平行導體板,板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)

3、-解由于衽處有一與躺平砸跳電福裝為野將朝里網(wǎng)狎潮晡個廛那典掾西奉區(qū)域中殿電位和都滿足我蟀斯普良而有的分>W±i可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度“4J*Evr"0<BC.1電位的邊界條件為設(shè)電位函數(shù)的通解為國¥由條件和,.可5B.H.T'QT'由條件有題圖如題圖所示的矩形導體槽的電位為零,槽中有一與槽平行的線電簡。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解由于在處有一與釉平行的線電荷，,以為界相場空間分割為和兩個區(qū)域，.則這兩個區(qū)域中的電位和都滿(7足拉普拉斯方程。而在的分界面上,電位的邊界條件為由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為題圖（1）由條件,有（2）A9由

4、式（1）,可得蔣式（21需邊同乘以,并從到對積分、有C4）X*由式（3>和14）解得故r若以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，,則可類似地得到."*D.C7，lr解在外電場作用下，導體表面產(chǎn)生感應電荷a柱外的電位是外電場的電位與感應電荷的電位的尊加。由于導體圓柱為無限長,所以電位與變量無關(guān)。*如題圖所示a在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導體圓柱柱的半徑為。求導體圓柱外的電位和電場以及導體表面的感應電荷密度°-*L在圓柱面坐標系中，外電場的電位為（常數(shù)的值ih參考點確定）為0由于導體是等位體,所以滿足的邊界條件為.而感應電荷的電位應與TW變化而且在無限遠處由此可設(shè)由

5、條件,有于是得到,故柱外的電位為若選擇導體圓柱表面為電位參考點，即，則°導體圓柱外的電場則為導體圓柱表面的電荷面密度為如題圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為,在跑離軸線處：，有一與圓柱平行的線電荷計算空間各部分的電位.解在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為題圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為為有限值；時由條件和可知!:和的通解為符式C1"一C3J帶入條件，可得到當時，將展開為級數(shù)，有(5)(6)帶入式15）,得i由此解得故得到圓柱內(nèi)，

6、外的電位分別為rji<e曠討論:利用式6)可將式(8)和(9)中得第二項分別寫成為其中。因此可.將和分別寫成為由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于(位于W的線電荷，位于的線電荷;位于的線電荷。*在均勻外電場中放入半徑為的導體球建設(shè)0)的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生它們分別為:1)導體充電至：；誦導體上充有電荷-試分別計算兩種情況下球外的電位分布.解(1S這里導體充電至應理解為未加外電場時導體球相對于無限遠處的電位為F此時導體球面上的電荷密度，總電荷歹將導體球99、999、，7«，b97,放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感及電荷，使球面上的電荷

7、密度發(fā)生變化,但總電荷仍保持不變,導體球仍為等位體。設(shè)，其中#是均勻外電場的電位.是導體球上的電荷產(chǎn)生的電位電位滿足的邊界條件為其中為常數(shù)，若適當選擇的參考點,可使"由條件，可設(shè)代入條件，可得到，勤若使可弭期(2)導體上充電荷時，令,有利用(1)的結(jié)果，得到如題圖所示,無限大的介質(zhì)中外加均勻電場,在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空感求空腔內(nèi)、夕卜的電場和空腔表面的極化電荷密度f介質(zhì)的介電常數(shù)為。解在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的費加.設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為訓，；才，為有限值;由條件和1可設(shè)>：題圖帶入條

8、件，有由此解得,所以空腔內(nèi),外的電場為空腔表面的極化電荷面密度為一個半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強度.(12證明,璞內(nèi)斷電場是埴句的，等于:鈕證明，球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同.:。荷所產(chǎn)生的場。山于解(13當介質(zhì)極化后一在介質(zhì)中會形成極化電荷分布本題中所求的電場即為極化也是均勻極化？.介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的程可用分離變量法求解。建立如題圖所小的坐標系.則介偵球面上的極化電荷間密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為為有限值;金因此，可設(shè)球內(nèi)*外電位的通解為V由條件導有，解得于是得到球內(nèi)的電粒.故球內(nèi)的電場為£2)介質(zhì)球外的電位溝,；其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可忠介族球井的電場與一個檢壬球心蒯極子產(chǎn)生的電場相同°一個半徑為的細導線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點上j環(huán)上總電荷量為s如題圖所示.證明：空間任意點電位為解腳發(fā)的所在曲球面把場區(qū)分為兩楙分，分別由曲兩個場域曲逋懈向I用雷藜符細導線圓琨I馳畿典禳表示威殯面上的電荷窗密度再根據(jù)邊界條件確定設(shè)球面內(nèi)、外的電為有，根據(jù)條件和，可得桎入條件，有系數(shù)。位分別為和,蛔邊界條件為:限值；和的通鼾為(4)將式(4兩端同其中由式(3)和(5)，解得乘以，并從。到對進行積分，得，代入式Cl1和C2)即得到1如題圖所示