測量誤差和測量不確定度

1、.測量誤差和測量不確定度一、測量誤差（一）測量和誤差1、測量的概念測量是指以確定量值為目的的一組操作。任何測量結(jié)果都含有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實驗和測量過程之中。測量按獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；按測量條件的異同，測量可分為等精度測量和不等精度測量。 等精度測量也叫在重復(fù)性條件下測量，重復(fù)性測量條件為 相同的測量程序； 相同的觀測者； 在相同的條件下，使用相同的測量儀器； 相同的地點； 在短時間內(nèi)重復(fù)測量。2、測量誤差的概念測量誤差是指測量結(jié)果減去被測量的真值。常用的誤差表示方法有：絕對誤差、相對誤差和引用誤差。（1）絕對誤差絕對誤差，即測量誤差的定義 （2-

2、3-1）式中：絕對誤差；測量誤差xi測量結(jié)果或測得值；x0被測量的真值。（2）相對誤差相對誤差，即測量誤差（絕對誤差）除以被測量的真值。由于真值通常是未知的，所以實際上用的是約定真值，當誤差較小時，約定真值可用測得值代替，并用百分數(shù)表示（100%） （2-3-2）式中：相對誤差；x0約定真值；、xi、x0同式（2-3-1）（3）引用誤差引用誤差即測量儀器的誤差除以儀器的特定值，該特定值一般稱為引用值，可以是測量儀器的量程或標稱范圍的上限。引用誤差可用百分數(shù)表示為 （2-3-3）式中：rn測量儀器的引用誤差；測量儀器的絕對誤差，常用示值誤差表示；xm測量儀器的量程或標稱范圍的上限。儀器的準確度等

3、級，就是根據(jù)它允許的最大引用誤差來劃分的。0.1級表，表示該儀器允許的最大引用誤差限為0.1%。以rnm表示之 （2-3-4）式中：rnm最大引用誤差；儀器標稱范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大示值誤差；xm同式（2-3-3）。3、測量誤差的來源測量誤差的來源主要是“人、機、料、法、環(huán)”五個方面的誤差。（1）測量設(shè)備誤差測量設(shè)備本身的結(jié)構(gòu)、工藝、調(diào)整以及磨損、老化等所引起的誤差。（2）方法誤差測量方法不完善，主要為測量技術(shù)及操作和數(shù)據(jù)處理所引起的誤差。（3）環(huán)境誤差測量環(huán)境的各種因素，如溫度、濕度、氣壓、含塵量、電場、磁場與振動等所引起的誤差。（4）人員誤差由測量人員的生理機能和實際操作，如視覺、聽覺的的限制或

4、固有習(xí)慣、技術(shù)水平以及操作失誤等所引起的誤差。（5）被測對象變化誤差被測對象自身在整個測量過程中處在不斷變化著，如被測光度燈的光度、被測量塊的尺寸等所引起的誤差。4、測量誤差的分類按誤差的性質(zhì)或出現(xiàn)的規(guī)律來分，測量誤差可分為二類：系統(tǒng)誤差和隨機誤差。（1）系統(tǒng)誤差和隨機誤差的概念系統(tǒng)誤差在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即 (2-3-5)式中：系統(tǒng)誤差；xi對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值；x0被測量的真值。系統(tǒng)誤差按其呈現(xiàn)特征可分為定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。定值系統(tǒng)誤差可分為恒正定值和恒負定值系統(tǒng)誤差；而變值系統(tǒng)誤差又可分為線性、周

5、期性和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。隨機誤差測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量測得結(jié)果的平均值之差。即 （2-3-6）式中：隨機誤差；xi測量結(jié)果；同式（2-3-5）。測量誤差和系統(tǒng)誤差、隨機誤差關(guān)系由（2-3-5）式可知：（2-3-6）式可知：根據(jù)（2-3-1）式： （2-3-7）由此可知：測量誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。這是VIM“國際通用計量學(xué)基本術(shù)語”1993年第二版所給出的新定義后而成立的。（二）隨機誤差和系統(tǒng)誤差1、 隨機誤差（1）正態(tài)分布1）、正態(tài)分布的特性經(jīng)統(tǒng)計分析，許多隨機誤差服從正態(tài)分布，它有三種特性：a、對稱性：絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的可能性相等；b、單

6、峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的可能性大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性??；c、有界性：隨機誤差的絕對值不會超過某一界限。2）、以正態(tài)分布為例,統(tǒng)計中常見術(shù)語說明（見圖2-3-1）a、置信水準（置信概率、置信水平）以p表示；b、顯著性水平（置信度）以表示，=1p；c、置信區(qū)間以k，k表示；d、置信因子以k表示，當分布不同時，k值也不同。3）、正態(tài)分布的隨機誤差表示法實驗標準差（見圖2-3-1）密度函數(shù)：式中：e自然對數(shù)的底（e=2.71828）；隨機誤差；標準偏差；2方差。上述正態(tài)分布密度函數(shù)，又稱高斯曲線。數(shù)學(xué)期望：方差：當用算術(shù)平均值代替數(shù)學(xué)期望時，則標準偏差： （2-3-8）式中：n測量次數(shù)；xi

7、第i次測得值；n次測得值的算術(shù)平均值；第i次測得值與平均值之差，稱為殘余誤差或殘差。式（2-3-8）即貝塞爾（Bessel）公式。由于n為有限次，所以以上標準偏差，稱為實驗標準偏差，亦稱標準差或均方根差，對同一量（x）進行有限(n)次測量,其測得值(xi)間的分散性可用標準差s（xi）來表述?？梢詫?dǎo)出,測量列平均值的標準差比標準差小倍，即 （2-3-9）值得指出的是，是n次中單次測量的實驗標準差，而是測量列算術(shù)平均值的實驗標準差。由于隨機誤差具有抵償性，故平均值的實驗標準差比單次測量值的實驗標準差小，且按速度進行。分布例子：a、重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測量的算術(shù)平均值分布；b、用擴展不確定度U

8、p給出、而對其分布又無特殊指明；c、合成不確定度uc(y)中，相互獨立分量ui(y)較多，大小接近；d、合成不確定度uc(y)中，相互獨立分量ui(y)中，存在2個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布；e、合成不確定度uc(y)中，相互獨立分量ui(y)中，量值較大的分量接近正態(tài)分布。（2）非正態(tài)分布的隨機誤差表示方法1)、均勻分布（矩形分布（見圖2-3-2）密度函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：方差：標準偏差：(a為置信水準區(qū)間的半寬度)（2-3-10）分布例子a、按級使用的儀器儀表最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；b、數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；c、數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨力）導(dǎo)致的不確定度；d、模

9、擬式儀表讀數(shù)誤差引起的不確定度；e、用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；f、缺乏任何其它信息時，一般假設(shè)為均勻分布。2)、三角分布（見圖2-3-3）密度函數(shù)： （-a0） （0a） 數(shù)學(xué)期望：方差：標準偏差： （2-3-11）分布例子：a、相同修約間隔給出的兩獨立量之和或之差，由修約導(dǎo)致的不確定度；b、因分辨力引起的兩次測量結(jié)果之和或差的不確定度；c、用替代法檢定標準砝碼、電阻時，兩次調(diào)零不準導(dǎo)致的不確定度；d、兩相同均勻分布的合成。3）、梯形分布（見圖2-3-4）密度函數(shù)： (-a-b) = (-bb) (ba) 數(shù)學(xué)期望：標準偏差： （2-3-12）式中：當b=0即=0，則當a=b即=1，則分布例

10、子兩獨立均勻分布（a2a1）之和所導(dǎo)致的不確定度；4）、反正弦分布（見圖2-3-5）密度函數(shù)： （-aa） 數(shù)學(xué)期望：標準差： （2-3-13）分布例子：服從均勻分布變量的正弦或余弦函數(shù)，則服從反正弦分布。a、度量偏心引起的測角不確定度；b、正弦振弦引起的位移不確定度；c、無線電中失配引起的不確定度；d、隨時間正余弦變化的溫度不確定度。5）、t分布學(xué)生分布（見圖2-3-6）標準偏差 （2-3-24）式中：tp置信概率自由度t分布是一般形式，而標準正態(tài)分布N（0，1）是其特殊形式，t（）成為標準分布的條件是當自由度趨于。tp（）為臨界值，它可作為包含因子，即k=tp（）之用。分布例子：在不確定度

11、評定中，既有正態(tài)分布，又有較多的均勻分布或其他分布時，其包含因子用tp（）處理。6）、不同分布與p、k、的關(guān)系（見表1-3-1）表1-3-1 不同分布與p、k、的關(guān)系分布類型p (%)k備注正態(tài)99.7330.3a三角1000.4a梯形（=0.71）1002 0.5a=均勻（矩形）1000.6a反正弦1000.7a兩點10011at分布99.733.96（ =10）0.25a2、系統(tǒng)誤差（1）主要特征由系統(tǒng)誤差定義和系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因的分析可以得出其特征為：系統(tǒng)誤差產(chǎn)生在測量之前，具有確定性；多次測量不能減弱和消除它，不具有抵償性。（2）系統(tǒng)誤差的減弱和消除要減弱或消除系統(tǒng)誤差，首先應(yīng)是如何發(fā)現(xiàn)

12、系統(tǒng)誤差。常用的方法有：實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校檢法、計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、t檢驗法等。1）采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差=xix0x0=xi+（）所謂修正值就是負的絕對誤差，它是用代數(shù)法與未修正測量結(jié)果相加，以補償系統(tǒng)誤差的值。2）恒定系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法交換消除法；替代消除法；異號抵消法。3）變值系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法線性系統(tǒng)誤差消除法對稱測量法；周期性系統(tǒng)誤差消除法半周期偶數(shù)測量法。(三)、測量誤差小結(jié)圖（2-3-7）給出了有關(guān)測量誤差的示意圖。由圖（2-3-7）可知，任意一個誤差均可分解為系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。圖中橫坐標表示被測量，x0為被測量的真值，x

13、i為第i次測得值，樣本均值就是n個測量值的算術(shù)平均值：，而總體均值就是當測量次數(shù)n時統(tǒng)計平均值，或叫數(shù)學(xué)期望，即：。設(shè)測得值是正態(tài)分布N（，），則曲線的形狀（按值）決定了隨機誤差的分布范圍，及其在范圍內(nèi)取值概率，由圖可見，誤差和它的概率分布密度相關(guān)，可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來恰當處理。圖（2-3-7）清楚地表示了，各量之間的相互關(guān)系。（四）異常值的判斷和剔除在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下，對同一量進行的多次測量中，有時可以發(fā)現(xiàn)個別值，其數(shù)值明顯偏離它所屬樣本的其它值，我們稱之為異常值。1、常用的判斷異常值準則（1）萊茵達（）準則（3準則）若某測得值得殘余誤差的絕對值大于三倍的標準偏差時，則認為

14、該次測得值為異常值，應(yīng)予以剔除。即3=3 （2-3-25）當異常值剔除后，對剩下的測量值要重新計算值，并重新判斷余下的各個數(shù)據(jù)，如還有再剔除，直至所有剩余殘差的絕對值3為止。萊茵達準則對測量次數(shù)要求：n10次無法判斷，不適用；n30近似適用。（2）格拉布斯（Grubbs）準則若測得值xi的最大殘余誤差的絕對值滿足 （2-3-26）則認為該為異常值，應(yīng)于剔除式中：g0（n，）Grubbs準則的臨界值，見表1-3-2；n測量次數(shù)；顯著度（一般為0.05或0.01）。格拉布斯準則對測量次數(shù)的要求：n30可以適用表1-3-2格拉布斯準則的臨界值g0（n，）n顯著度n顯著度0.050.010.050.0

15、131.151.16172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.538.8561.821.94202.562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70502.963.34162.442.751003.213.60（五）近似數(shù)的運算與測量數(shù)據(jù)處理1、概念（1）近似

16、數(shù)：對于任何數(shù)，包括無限不循環(huán)小數(shù)和循環(huán)小數(shù)，截取一定位數(shù)后所得的數(shù)即為該數(shù)的近似數(shù)。（2）有效數(shù)字：若一近似數(shù)，其修約誤差的絕對值不大于該近似數(shù)末位半個單位，則從此近似數(shù)左起第一個非零數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字都是有效數(shù)字。一個近似數(shù)有n個有效數(shù)字，也稱這個近似數(shù)為n位有效數(shù)字。（3）修約間隔：系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔一經(jīng)確定，修約值只能是修約間隔的整數(shù)倍。2、有效數(shù)字位數(shù)的判斷（1）判斷時，對“0”應(yīng)特別注意，它是否為有效數(shù)字，則取決于它在近似數(shù)中的位置；（2）有效數(shù)字的位數(shù)與單位的換算無關(guān)，如遇使有效數(shù)字位數(shù)增加，宜采用科學(xué)計數(shù)法，寫成a10n形式。在此形式中，有效數(shù)

17、字只體現(xiàn)在a中，而與10n無關(guān)；（3）小數(shù)點后面的“0”不可隨意取舍，否則會改變有效數(shù)字的位數(shù)，從而影響數(shù)據(jù)的準確度；（4）常數(shù)是沒有誤差的正確數(shù)，它可被看成有無限多位有效數(shù)字；（5）測量中，測量結(jié)果有效數(shù)字的最末位應(yīng)與誤差所在位對齊；（6）有效數(shù)字位數(shù)，取決于被測量大小、測量儀器及測量方法，不因其他原因而改變。3、數(shù)值修約規(guī)則國家標準GB/T8170-2008數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定，對“1”、“2”、“5”間隔的修約方法分別作了規(guī)定，但較為煩瑣，現(xiàn)將簡單方法介紹如下：（1）“1”間隔修約規(guī)則（0.5舍去，0.5進入，0.5偶數(shù)法則）1）若舍去部分數(shù)值大于保留的末位數(shù)的0.5單位，

18、則末位數(shù)值加1；2）若舍去部分數(shù)值小于保留的末位數(shù)的0.5單位，則末位數(shù)值不變；3）若舍去部分數(shù)值等于保留的末位數(shù)的0.5單位，則末位數(shù)值湊成偶數(shù)。a、當末位數(shù)為偶數(shù)（0、2、4、6、8）時，則末位數(shù)值不變；b、當末位數(shù)為奇數(shù)（1、3、5、7、9）時，則末位數(shù)值加1。注：1）負數(shù)修約時，先按正值進行修約，最后加負號。2）不許連續(xù)修約如：將15.4546修約至個位，即修約間隔為1正確：15.454615不正確：15.454615.45515.4615.516（2）“2”、“5”間隔修約規(guī)則1）如果在為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，只有一個數(shù)最接近擬修約數(shù)，則該數(shù)就是修約數(shù)。如將1.15001按0.

19、1修約間隔進行修約應(yīng)是1.2。2）如果在為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，有連續(xù)的兩個數(shù)同等地接近擬修約數(shù)，則這兩個數(shù)中，只有為修約間隔偶數(shù)倍的那個數(shù)才是修約數(shù)。a、如將60.30按0.2間隔進行修約：60.30 或者：選兩個數(shù)中末兩位數(shù)被4整除的數(shù)，即60.4。b、如將18.075按0.05修約間隔進行修約：18.075 或者：選取以“0”結(jié)尾的數(shù)，即18.10注：按“1”、“2”、“5”間隔修約后，其數(shù)應(yīng)是各間隔的整數(shù)倍，因此，其修約數(shù)結(jié)尾：“2”間隔應(yīng)為2、4、6、8、0；“5”間隔應(yīng)為5或0。4、近似數(shù)的運算（1）單步運算1）加、減運算a、以參與運算的小數(shù)位數(shù)最少者為準；b、其余各數(shù)均修約

20、到比該數(shù)小數(shù)多一位；c、按普通方法相加減；d、運算結(jié)果的小數(shù)位數(shù)應(yīng)修約至與小數(shù)位數(shù)最少者相同。如：1849.0+14.75-0.0093+1.6311849.0+14.75-0.01+1.631865.381865.42）乘、除（或開方、乘方）運算當兩個或多個近似數(shù)相乘、除時，以有效數(shù)字位數(shù)最少者為準，其余的數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)均比它多保留一位，運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與最少者相同。如：4250010.0054.3105510-32.151032103（2）多步運算（混合運算）1）先乘除后加減；2）中間計算步驟的運算結(jié)果比上述原則多保留一位；3）運算結(jié)果的小數(shù)位數(shù)應(yīng)與最后參與加、減運算中小數(shù)位數(shù)最

21、少者相同。如：3.160.0421.732+6.370.471.9650.10510.0473.160.0421.73+6.370.471.960.1050.0470.230+26.60.004940.23+26.6-0.0026.8326.85、等精度直接測量的數(shù)據(jù)處理對某量進行n次等精度直接測量，得測量列其處理步驟歸納如下：（1）判斷系統(tǒng)誤差，并消除或減弱其影響，若已知，可用加修正值方法消除之。（2）計算測量列的平均值（3）計算各測得值的殘余誤差（4）檢查和的計算是否正確1）當無舍入誤差時（剛好除盡），應(yīng)滿足：2）當有舍入誤差時，應(yīng)滿足：式中：n測量次數(shù)；m中最末位的小數(shù)位數(shù)。（5）用Be

22、ssl公式計算單次測量的實驗標準差s（xi）（6）判斷并剔除異常值根據(jù)Grubbs準則，若有，則對應(yīng)的應(yīng)剔除，然后再按（2）（6）步驟重新計算判斷，直至不含異常值為止。（7）計算平均值的實驗標準差（8）計算平均值的擴展不確定度U可由附錄t分布表中根據(jù)置信概率p和自由度=n1查得。（9）測量結(jié)果報告給出被測量最佳估計值和測量不確定度。6、實例對某量作等精度直接測量9次，得到表1-3-3中的數(shù)據(jù)。試求：（1）請在表1-6-1中填寫該測量列的算術(shù)平均值及各次測量的殘余誤差；（2）求出A類單次測量值標準不確定度；（3）用格拉布斯準則判斷是否存在異常值（取顯著度置信概率）；（4）求出擴展不確定度；（5）

23、寫出測量結(jié)果報告。 表1-3-3序號110.0600.0000210.0800.020410-4310.050-0.010110-4410.0600.0000510.0700.010110-4610.040-0.020410-4710.0600.0000810.0700.010110-4910.050-0.010110-4=10.060=1210-4 解答：1） =10.060 ，見上表中的數(shù)據(jù)。2）3） 已知置信概率查表故無異常值存在。4）算術(shù)平均值的標準差 擴展不確定度 =0.00947=0.0095=0.0105）報告與表示其中：測量結(jié)果：=10.060；擴展不確定度：；自由度：=8；包

24、含因子：；置信概率： 95%。7數(shù)據(jù)處理過程中，的位數(shù)取位（1）當能整除時，則位數(shù)和位數(shù)相同，當不能整除時，則的位數(shù)比的位數(shù)多取一位；（2）的位數(shù)比的位數(shù)多取一位；（3）位數(shù)比的位數(shù)多取一位，若有時數(shù)值太小，則可取兩位有效數(shù)字。二、測量不確定度測量不確定度一般均簡稱為不確定度，它是各種不確定度，如：標準不確定度、合成不確定度、擴展不確定度、相對不確定度、A類不確定度、B類不確定度等的一個總體或通稱。不確定度一詞指可疑程度或習(xí)慣地俗稱為“不可靠程度”。它是測量結(jié)果可疑程度的一種定量表述，定量地說明了實驗室（包括人員、設(shè)備和條件）測量能力水平。（一）、測量不確定度的定義和解釋1、定義：表征合理地賦

25、予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。2、說明：（1）、測量不確定度是表明被測量之值的分散性的，它用與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)來表示；（2）、此參數(shù)可以是諸如標準差或其倍數(shù)，或說明了置信水準的區(qū)間的半寬度。（3）、測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結(jié)果的統(tǒng)計分布估計，并用實驗標準差表征。另一些分量則可用基于經(jīng)驗或其它信息的假定分布估算，并用標準表征。（4）、合理：是指應(yīng)考慮到各種因素對測量的影響，在評定中，既不能重復(fù)，也不能遺漏。（5）、被測量之值：一般可理解為被測量的真值，但這里應(yīng)理解為許多個測量結(jié)果，其中不僅包括通過測量得到的測量結(jié)果，還包括測量中沒有得到但又是可能出現(xiàn)

26、的測量結(jié)果，如n次測量結(jié)果的算術(shù)平均值。（6）、分散性：是指給定條件下若干測量結(jié)果之間一種分散區(qū)間。在重復(fù)和復(fù)現(xiàn)性條件下多次觀測結(jié)果均有其分散性，全部不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的分量。（7）、測量結(jié)果：被測量之值的最佳估計值，如觀測結(jié)果的平均值或加修正值。（8）、相聯(lián)系：是指測量不確定度應(yīng)和測量結(jié)果一起，即一個測量結(jié)果應(yīng)有一個相對應(yīng)的測量不確定度。應(yīng)注意是和測量結(jié)果一起而非和測量儀器一起。（9）、不確定度恒為正值。當由方差得出時，取其正平方根。（10）、不確定度表示形式1）絕對不確定度，與被測量量綱相同；2）相對不確定度，無量綱。（二）測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別

27、（見表2-3-3）表2-3-3 測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別序號內(nèi)容測量誤差測量不確定度1定義表明測量結(jié)果偏離真值，是一個確定的值。在數(shù)軸上表示為一個點。表明被測量之值的分散性，是一個區(qū)間。用標準偏差，標準偏差的倍數(shù)，或說明了置信水準區(qū)間的半寬度來表示。在數(shù)軸上表示為一個區(qū)間。2分類按出現(xiàn)于測量結(jié)果中的規(guī)律，分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差，它們都是無限多次測量的理想概念。按是否用統(tǒng)計方法求得，分為A類評定和B類評定，它們都以標準不確定度表示。在評定測量不確定度時，一般不必區(qū)分其性質(zhì)。若需要區(qū)分時，應(yīng)表述為“由隨機效應(yīng)引入的測量不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的測量不確定度分量”。3可操作性由于真值

28、未知，往往無法得到測量誤差的值。當用約定真值代替真值時，可以得到測量誤差的估計值。測量不確定度可以由人們根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等信息進行評定，從而可以定量確定測量不確定度的值。4數(shù)值符號非正即負（或零），不能用正負（）號表示。是一個無符號的參數(shù)，恒取正值。當由方差求得時，取其正平方根。5合成方法各誤差分量的代數(shù)和。當各分量彼此不相關(guān)時用方和根法合成，否則應(yīng)考慮加入相關(guān)項。6結(jié)果修正已知系統(tǒng)誤差的估計值時，可以對測量結(jié)果進行修正，得到已修正的測量結(jié)果。修正值等于負的系統(tǒng)誤差。由于測量不確定度表示一個區(qū)間，因此無法用測量不確定度對測量結(jié)果進行修正。對已修正測量結(jié)果進行不確定度評定時，應(yīng)考慮修正不完善

29、引入的不確定度分量。7結(jié)果說明誤差是客觀存在的，不以人的認識程度而轉(zhuǎn)移。誤差屬于給定的測量結(jié)果，相同的測量結(jié)果具有相同的誤差，而與得到該測量結(jié)果的測量儀器和測量方法無關(guān)。測量不確定度與人們對被測量、影響量、以及測量過程的認識有關(guān)。在相同條件下進行測量時，合理賦予被測量的任何值，均具有相同的測量不確定度。即測量不確定度僅與測量方法有關(guān)。8實驗標準差來源于給定的測量結(jié)果，它不表示被測量估計值的隨機誤差。來源于合理賦予的被測量之值，表示同一觀測列中，任一個估計值的標準不確定度。9自由度不存在?？勺鳛椴淮_定度評定可靠程度的指標。它是與評定得到的不確定度的相對標準不確定度有關(guān)的參數(shù)。10置信概率不存在。

30、當了解分布時，可按其置信概率給出置信區(qū)間。（三）測量結(jié)果和測量儀器的誤差、準確度、不確定度之比較（見表2-3-4）表2-3-4 測量結(jié)果和測量儀器的誤差、準確度、不確定度之比較測量結(jié)果誤差定義：測量結(jié)果減去被測量的真值。測量結(jié)果的誤差與真值或約定真值有關(guān)，也與測量結(jié)果有關(guān)。是一個有確定符號的量，不能用“”號表示。測量結(jié)果的誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。準確度定義：測量結(jié)果與被測量的真值之間的一致程度。測量結(jié)果的準確度是一個定性的概念，不要和具體數(shù)字連用而將其定量化。不確定度定義：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。表示一個區(qū)間，恒為正值。用標準不確定度或擴展不確定度

31、表示。測量儀器誤差定義：測量儀器的示值與對應(yīng)輸入量真值之差，也稱為示值誤差。示值誤差與真值有關(guān)，實際上常用約定真值而得到示值誤差的近似值。示值誤差是對于某一特定儀器和某一特定的示值而言的，同型號不同儀器的示值誤差一般是不同的，同一臺儀器對應(yīng)于不同測量點的示值誤差也可能不同。最大允許誤差是對某型號儀器人為規(guī)定的誤差限，即表示一個區(qū)間。它不是測量儀器實際存在的誤差，是所規(guī)定的示值誤差的最大允許值。當用儀器進行測量，并直接將儀器示值作為測量結(jié)果時，由儀器所引入的不確定度分量可由它導(dǎo)出。準確度定義：測量儀器給出接近于真值的響應(yīng)能力。是一定性的概念，但可以用準確度等級或測量儀器的示值誤差來定量表述。目前

32、不少儀器說明書上給出的準確度，實際上是指最大允許誤差。不確定度沒有對測量儀器的不確定度下過定義，因此盡量不要用“測量儀器不確定度”這種說法。可將“測量儀器的不確定度“理解為在測量結(jié)果中，由測量儀器所引起的不確定度分量，或理解為測量儀器所提供的標準量值的不確定度。如果儀器經(jīng)過校準，有時也將儀器示值誤差的不確定度稱為儀器的不確定度。（四）測量誤差和測量不確定度小結(jié)1、誤差和不確定度是兩個完全不同而相互有聯(lián)系的概念，它們相互之間并不排斥。不確定度不是對誤差的否定，相反，它是誤差理論的進一步發(fā)展。2、用測量不確定度評定代替過去的誤差評定，決不是簡單地將“誤差”改成“不確定度”就可以了。也不表示“誤差”

33、一詞不能再使用。誤差和不確定度的定義和概念是不同的，因此不能混淆和誤用。應(yīng)該根據(jù)誤差和不確定度的定義和它們之間的區(qū)別來加以判斷。應(yīng)該用誤差的地方就用誤差，應(yīng)該用不確定度的地方就用不確定度。3、誤差僅與測量結(jié)果及被測量的真值或約定真值有關(guān)。對于同一個被測量，不管測量儀器、測量方法、測量條件如何，相同測量結(jié)果的誤差總是相同的。而在重復(fù)性條件下進行多次重復(fù)測量，得到的測量結(jié)果一般是不同的，因此它們的測量誤差也不同。4、測量不確定度和測量儀器、測量方法、測量條件、測量程序以及數(shù)據(jù)處理方法有關(guān)，而與在重復(fù)性條件下得到的具體測量結(jié)果數(shù)值大小無關(guān)。在重復(fù)性條件下進行測量時，不同測量結(jié)果的不確定度是相同的，但

34、它們的誤差則肯定不同。5、若已知測量誤差，就可以對測量結(jié)果進行修正，得到已修正的測量結(jié)果。而不確定度是不能用來對測量結(jié)果進行修正的。在評定已修正測量結(jié)果的不確定度時，必要考慮修正值的不確定度。6、誤差是一個確定的數(shù)值，因此誤差合成時應(yīng)采用代數(shù)相加的方法。不確定度表示被測量之值的分布區(qū)間，當各不確定度分量不相關(guān)或相互獨立時，各不確定度分量的合成采用幾何相加的方法，即常用的方和根法。7、測量儀器沒有不確定度，因為沒有對儀器的不確定度下過定義。因此一般不要采用“測量儀器的不確定度”這種說法，但可將測量儀器的不確定度理解為儀器所提供的標準量值的不確定度，或在測量結(jié)果中由測量儀器引入的不確定度分量，因此

35、實際上應(yīng)該說“測量儀器引入的不確定度”。不確定度這一參數(shù)不是測量儀器的固有特性。表征測量儀器性能的術(shù)語時示值誤差或最大允許誤差，它們與用測量引起得到的測量結(jié)果的不確定度有關(guān)。8、計量標準裝置的情況與測量儀器相類似，但更復(fù)雜一些，一般也不要采用“計量標準裝置的不確定度”這種說法?？梢詫ⅰ坝嬃繕藴恃b置的不確定度”理解為計量標準裝置所提供的標準量值的不確定度，或理解為在測量結(jié)果的不確定度中，由計量標準裝置（包括裝置中的所有測量儀器、配套設(shè)備以及測量方法）所引入的不確定度分量。因此實際上也應(yīng)該是“計量標準裝置引入的不確定度”。9、測量儀器有兩種使用方式：加修正值使用和不加修正值使用。若測量儀器經(jīng)過校準

36、而已知其示值誤差，則有可能加修正值使用。在這種情況下，有時將示值誤差的不確定度（即修正值的不確定度）稱為該測量儀器的不確定度。若測量儀器未經(jīng)過校準，則通常不加修正值使用。此時其最大允許誤差就可作為評定該儀器在測量結(jié)果種所引入的不確定度分量的依據(jù)。在已知分布的情況下，通過B類評定，可以由最大允許誤差得到該分量的標準不確定度。10、過去人們經(jīng)常會誤用“誤差”一詞，即通過誤差分析得到的往往是被測量值不能確定的范圍，它表示一個區(qū)間，而不是真正的誤差值。真正的誤差值應(yīng)該與測量結(jié)果有關(guān)。（五）測量不確定度來源1、被測量的定義不完整；2、復(fù)現(xiàn)被測量的測量方法不理想；3、取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代

37、表所定義的被測量；4、對測量過程受環(huán)境影響的認識不恰如其分或?qū)Νh(huán)境參數(shù)的測量與控制不完善；5、對模擬式儀表的讀書存在人為的偏移；6、測量儀器的計量性能（如靈敏度、鑒別力、死區(qū)及穩(wěn)定性等）的局限性；7、測量標準或標準物質(zhì)的不確定度；8、引用的數(shù)據(jù)或其他參數(shù)的不確定度；9、測量方法和測量程序的近似和假設(shè)；10、在相同條件下被測量在重復(fù)觀測中的變化。（六）不確定度評定中有關(guān)名詞及相關(guān)術(shù)語1、標準不確定度（u）：以標準偏差表示的測量不確定度2、合成標準不確定度（uc）：當測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，按方差或（和）協(xié)方差算得的標準不確定度。注：盡量回避相關(guān)或半死半活相關(guān)。3、擴展不確定度U：確定

38、測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間，它可用合成不確定度乘以包含因子U=kuc。4、A類不確定度ucA：用對觀測列進行統(tǒng)計分析方法所得，最常用Beseel公式，還有別提爾斯法、極差法和最大殘差法。5、B類不確定度（ucB）用不同于對觀測列進行統(tǒng)計的方法所得，常用基于經(jīng)驗，其它信息假定的概率等。6、包含因子（k、kp）：為獲得擴展不確定度所乘的數(shù)字因子。說明：a、一般以k表示 k=b、置信概率為p時的包含因子 kp=c、其值在23范圍內(nèi)7、自由度：反映了相應(yīng)標準不確定度的可靠程度，它用來評定不確定度質(zhì)量說明：a、在方差計算中，自由度為和的項數(shù)減去限制數(shù)，記為A類Bese

39、el公式中，=n-1。用極差法 和n關(guān)系可查表。b、B類不確定度分量自由度估計法c、合成不確定度uc的自由度稱有效自由度：以表示。8、相關(guān)系數(shù)：是兩個變量之間相互依賴性度量，它等于兩個變量間的協(xié)方差除之各自方差之積的正平方根：p(y.z)= 說明：a、求相關(guān)系數(shù)p (y.z)很復(fù)雜，為此用簡化處理。b、相關(guān)系數(shù)p只取-1，0，+1三個值，負相關(guān)取-1；正相關(guān)取+1，不相關(guān)取0，一般采用不相關(guān)。c、強相關(guān)各分量，合成時采用線性相加減；不相關(guān)分量合成時采用方差相加。9、靈敏系數(shù) 中的即為靈敏系數(shù)說明：a、由數(shù)學(xué)模型的函數(shù)求得，若y=f（x1xn），則；b、由實驗求得。（七）、測量不確定度評定步驟1

40、、概述（包括測量依據(jù)、測量環(huán)境、測量標準、測量對象、測量過程）；2、數(shù)學(xué)模型；3、方差和靈敏系數(shù)；4、計算標準不確定度分量（包括A類、B類）；5、標準不確定度一覽表（包括不確定度來源）；6、合成標準不確定度和有效自由度（適用時）；7、擴展不確定度；8、報告與表示。（八）測量不確定度評定方法1、概述分五點說明，即測量依據(jù)、測量環(huán)境、測量標準、測量對象和測量過程。這五點是以下評定過程中要用到的內(nèi)容。（1）測量依據(jù)：屬于檢定或校準的，其依據(jù)是檢定規(guī)程或校準規(guī)范；屬于檢測的，可以是標準或檢驗方法；（2）測量環(huán)境：是規(guī)程、規(guī)范或標準、檢驗方法要求的溫度、濕度等環(huán)境條件，并可寫上本次測量的環(huán)境條件，以便考

41、慮是否由環(huán)境條件引起的不確定度分量。（3）測量標準：檢定、校準時，應(yīng)寫明所用的計量標準的名稱、測量范圍、準確度或測量不確定度；檢測時，應(yīng)寫明所用檢測設(shè)備的名稱、測量范圍和準確度或測量不確定度。（4）測量對象：寫檢定、校準的計量器具或檢測的物理量。如長度、電壓、電流等。同時要寫明計量器具的名稱、測量范圍、準確度或檢測物理量的基本誤差要求。（5）測量過程：要寫明測量的過程和方法，這樣就把下一步數(shù)學(xué)模型也交代清楚了。最后還應(yīng)說明本次測量是以某測量點為例，這樣既體現(xiàn)了測量不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，又為計算相對測量不確定度提供了數(shù)據(jù)。2、建立數(shù)學(xué)模型式中：y為被測量的估計值，輸出量；x1xn對測

42、量不確定度做出貢獻的輸入量。說明：a、數(shù)學(xué)模型不是唯一的；b、數(shù)學(xué)模型是測量不確定度評定的依據(jù)，特別應(yīng)包括對不確定度有不可忽視影響的輸入量；c、數(shù)學(xué)模型可以是復(fù)雜的，也可以非常簡單，特別是檢測時的數(shù)學(xué)模型y=x；d、數(shù)學(xué)模型可從測量原理導(dǎo)出，也可由實驗方法確定；e、建立數(shù)學(xué)模型時，要盡量找到所有影響不確定度的來源，做到不遺漏，不重復(fù)。3、方差和靈敏系數(shù)（1）方差：說明：a、為輸出估計值y的合成方差； b、為輸出估計值y的合成標準不確定度，是的正平方根；它表征合理賦予y值的分散性； c、上式只是全部輸入量為彼此不相關(guān)時方差式子；并稱為不確定度傳播律； d、式中u(xi)可以按A類，也可按B類方法

43、求得；（2）靈敏系數(shù)：是在Xi = i時導(dǎo)出的，它描述y如何隨變化而變化（3）求靈敏系數(shù)的方法： a、對數(shù)學(xué)模型求偏導(dǎo)數(shù) 例：P=f（V、R0、a、t）= b、用實驗方法：即通過xi的一個微小的變化，其余不變,求得相應(yīng)y變化，則靈敏系數(shù)4、計算標準不確定度分量 （1）A類評定 1）用被測儀器的重復(fù)性來表示 Beseel公式說明：a、當測量結(jié)果取其中任一次，則u()=s；b、當測量結(jié)果取算術(shù)平均值，則；c、當測量結(jié)果取n次中的m次平均值，則；d、自由度：。e、n選定：一般 5n10 2）極差法：一般測量次數(shù)較少時采用此法。式中， R重復(fù)測量中最大值與最小值之差； 極差系數(shù)c及自由度可查表2-3-

44、5表2-3-5極差系數(shù)c及自由度n23456789c1.131.692.062.332.532.702.852.970.91.82.73.64.55.36.06.8（2）B類評定1）B類標準不確定度信息來源a、以前觀測數(shù)據(jù)；b、對有關(guān)技術(shù)資料和測量儀器特性的了解和經(jīng)驗；c、生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件，如說明書等；d、校準證書、檢定證書或其它文件提供的數(shù)據(jù)、準確度的等級，包括暫用的極限誤差等；e、手冊或某資料給出的參數(shù)數(shù)據(jù)及其不確定度；f、規(guī)定實驗方法的國家標準或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R。用這類方法得到的估計方差，可稱為B類方差。即為B類標準差。2）不同信息的B類標準差a、已知

45、擴展不確定度U和包含因子k，則 ；b、已知擴展不確定度Up，如U95,U99，若為正態(tài)分布，正態(tài)分布中的p%和kp關(guān)系見表2-3-6。表2-3-6正態(tài)分布中的p%與kp關(guān)系p%5068.27909595.459999.73kp0.671 *1.6451.9602 *2.5763 *c、已知擴展不確定度Up和置信概率及有效自由度的t分布，則需查t分布表得，再據(jù)上式求。見附錄以上三種情況中的U和Up可以從校準證書中得到。d、已知置信區(qū)間半寬度a和對應(yīng)于置信概率的包含因子k，則e、其它幾種分布，除t分布外，還有均勻，三角，反正弦，梯形，兩點等分布，已知半寬度為a，且a區(qū)間內(nèi)概率p=100%，則常用分

46、布與k、u()關(guān)系見表2-3-1f、界限不對稱，求=g、由重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R求 r/2.83 R/2.83 (r、R置信水平95% ，正態(tài)) 證：yx1x2r u2(y)u2(x1)u2(2)2u2(x) u (yu (xi) 當p = 95%，則k=2 擴展不確定度 = 2 =r/2.83 同理=R/2.83h、以“等”使用儀器的當證書上給出準確度等別時，可按檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的擴展不確定度或Up和k或kp值，則 = 或 =可找出Up、p與時，按t分布處理=i、以“級”使用儀器的當證書上給出準確度級別時，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的最大允許誤差A(yù)則=j、數(shù)字式儀表分辨力引起示值

47、的，見圖8。若分辨力為（步進量）作均勻分布處理， 則 a = 0.5 3）B類評定中的自由度a、關(guān)系式：式中：標準不確定度的相對不確定度，即不確定度的不確定度，是一種二次或二階不確定度。按上式可計算，見表2-3-7。表2-3-7 與關(guān)系010%5020%1225%830%640%350%2 b、為的估計估計法 校準證書上給出U或Up，若穩(wěn)定性好，校準時間不長，保存好； 按最大允差或級別所評出的； 按等別不確定度檔次界限所作出的評定； 按引用誤差或其相應(yīng)級別作出的評定； B類常根據(jù)-a,+a區(qū)間信息評定，認為落在區(qū)間外的概率極小的； 數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)修約引起不確定度； 若為均勻、三角、梯形

48、分布，其外概率為0，故為。5、標準不確定度一覽表（包括A、B類），見表2-3-8標準不確定度不確定度來源標準不確定度值靈敏系數(shù)自由度6、合成標準不確定度（1）合成不確定度的量值1）當各輸入量xi彼此獨立不相關(guān)時，則合成標準不確定度2）當=1時，則3）當輸入量之間相關(guān)時，要考慮相關(guān)系數(shù)p=r(rij)在檢測中，p只取-1，0，+1。a、當p = 0 ,合成時用均方根法；b、當p = -1，合成時用線性相減；c、當p = +1，合成時用線性相加。（2）合成標準不確定度的自由度有效自由度可由韋爾奇薩特斯韋特(Welch-Satterthwaite)公式計算：式中：合成標準不確定度靈敏系數(shù)各輸入量標準

49、不確定度，且相互獨立的自由度有效自由度，且，計算結(jié)果修約時其值只能舍，不許進。7、擴展不確定度U或UP可用合成不確定度乘以包含因子k得到擴展不確定度，即或。對于包含因子的選擇：（1）在合成不確定度確定后，要乘以包含因子k，則k=2-3。 說明：a、y接近正態(tài)分布，有效自由度較大 b、一般取k=2； c、當取其它值時，應(yīng)說明其來源。（2）如果的自由度較小、并要求區(qū)間具有規(guī)定的置信水準p、則kp采用t分布臨界值，即簡稱t值，從查t分布表得到。說明：a、y接近正態(tài)分布，kp才取t值； b、一般p值為99%和95%，多數(shù)情況采用p =95%； c、只有在校準、檢定時，根據(jù)規(guī)定，才取p =99%； d、當充分大時，近似認為k95=2，k99=3。（3）y不是正態(tài)分布，而且接近于其它某種分布，就不能用k=2-3或。若y為矩形分布，則U95時,kp=1.65；U99時,kp=1