2009北京高考數(shù)學(xué)理科圓錐曲線試題匯編_第1頁(yè)
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1、13(2016北京理)雙曲線(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個(gè)邊,得到雙曲線的漸近線互相垂直,即雙曲線是等軸雙曲線,結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【解答】解:雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,漸近線互相垂直,則雙曲線為等軸雙曲線,即漸近線方程為y=x,即a=b,正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,OB=2,即c=2,則a2+b2=c2=8,即2a2=8,則a2=4,a=2,故答案為:2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用,根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線是

2、等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵19(2016北京理)已知橢圓C:(a0,b0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面積為1()求橢圓C的方程;()設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N求證:|AN|BM|為定值【分析】()運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,解方程可得a=2,b=1,進(jìn)而得到橢圓方程;()方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x0,y0),可得x02+4y02=4,求出直線PA的方程,令x=0,求得y,|BM|;求出直線PB的方程,令y=0,可得x,|AN|,化簡(jiǎn)整理,即可得到|AN|BM|為定值4方法二、設(shè)P(2co

3、s,sin),(02),求出直線PA的方程,令x=0,求得y,|BM|;求出直線PB的方程,令y=0,可得x,|AN|,運(yùn)用同角的平方關(guān)系,化簡(jiǎn)整理,即可得到|AN|BM|為定值4【解答】解:()由題意可得e=,又OAB的面積為1,可得ab=1,且a2b2=c2,解得a=2,b=1,c=,可得橢圓C的方程為+y2=1;()證法一:設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x0,y0),可得x02+4y02=4,直線PA:y=(x2),令x=0,可得y=,則|BM|=|1+|;直線PB:y=x+1,令y=0,可得x=,則|AN|=|2+|可得|AN|BM|=|2+|1+|=|=|=|=4,即有|AN|BM|為定值4證法二:

4、設(shè)P(2cos,sin),(02),直線PA:y=(x2),令x=0,可得y=,則|BM|=|;直線PB:y=x+1,令y=0,可得x=,則|AN|=|即有|AN|BM|=|=2|=2|=4則|AN|BM|為定值4【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的離心率和基本量的關(guān)系,考查線段積的定值的求法,注意運(yùn)用直線方程和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查化解在合理的運(yùn)算能力,屬于中檔題10(2015北京理)已知雙曲線的一條漸近線為,則_【解析】令,所以19(2015北京理)已知橢圓:()的離心率為,點(diǎn),和點(diǎn)都在橢圓上,直線交軸于點(diǎn)M ()求橢圓的方程,并求點(diǎn)的坐標(biāo)(用,表示);()設(shè)為原點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸

5、對(duì)稱,直線交軸于點(diǎn)問:軸上是否存在點(diǎn)Q,使得若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不不存在,說明理由解:()由題意知,又,解得,所以的方程為的斜率,所以方程,令,解得,所以(),同(I)可得,因?yàn)樗裕O(shè)則即,又在橢圓上,所以,即,所以,故存在使得11(2014北京理)設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn),且與具有相同漸近線,則的方程為_;漸近線方程為_。解答:,;19(2014北京理)已知橢圓,求橢圓的離心率;設(shè)為原點(diǎn),若點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且,求直線與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論。解答:由題意,橢圓:,所以,從而。因此,。故橢圓的離心率;直線與圓相切。證明如下:設(shè)點(diǎn),其中。因,故,即,解得。當(dāng)時(shí),代入橢圓的方程,得。故直線

6、:,圓心到直線的距離。此時(shí)直線與圓相切;當(dāng)時(shí),直線:,即,圓心到的距離。又,故 ,此時(shí)與圓相切。綜上得證。6(2013北京理)若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為 ( )A B C D 答案:B7(2013北京理)直線過拋物線:的焦點(diǎn)且與軸垂直,則與所圍成的圖形的面積等于 ( )A B2 C D解答:(7)C19(2013北京理)(本小題共14分)已知、是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn),且四邊形為菱形時(shí),求此菱形的面積(2)當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形是否可能為菱形,并說明理由解:()橢圓的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分所以可

7、設(shè)A(1,m),代入橢圓方程得,即所以菱形OABC的面積是()假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為由消去y并整理得設(shè),則所以AC的中點(diǎn)為因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為因?yàn)?,所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC不可能是菱形12(2012北京理)在直角坐標(biāo)系中,直線過拋物線的焦點(diǎn),且與該拋物線相交于、兩點(diǎn),其中,點(diǎn)在軸上方若直線的傾斜角為,則的面積為【解析】由可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),因?yàn)閮A斜角為,所以直線的斜率為,利用點(diǎn)斜式,直線方程為,將直線和曲線聯(lián)立,因此【答案】1

8、9(2012北京理)(本小題共14分)已知曲線:(1)若曲線是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓,求的取值范圍;(2)設(shè),曲線與軸的交點(diǎn)為、(點(diǎn)位于點(diǎn)的上方),直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、,直線與直線交于點(diǎn)求證:三點(diǎn)共線解:(1)原曲線方程可化簡(jiǎn)得:由題意可得:,解得:(2)由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得:,解得:由韋達(dá)定理得:,設(shè),方程為:,則,欲證三點(diǎn)共線,只需證,共線即成立,化簡(jiǎn)得:將代入易知等式成立,則三點(diǎn)共線得證。(lby lfx)19(2011北京理)(本小題共14分)已知橢圓,過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn),(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;(2)將表示為的函數(shù),并求的最大值;解:(I)由題意得a=2,b

9、=1,所以c=橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo) 離心率e=(II)由題意知:|m|1,當(dāng)m=1時(shí),切線l的方程為x=1,點(diǎn)A(1,) 點(diǎn)B(1,) 此時(shí)|AB|=;當(dāng)m=1時(shí),同理可得|AB|=;當(dāng)m1時(shí),設(shè)切線l的方程為:y=k(xm),由(1+4k2)x28k2mx+4k2m24=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=又由l與圓圓x2+y2=1相切圓心到直線l的距離等于圓的半徑即=1m=,所以|AB|=,由于當(dāng)m=1時(shí),|AB|=,當(dāng)m1時(shí),|AB|=,此時(shí)m(,11,+) 又|AB|=2(當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí),|AB|=2),所以,|AB|的最大值為2故|AB|的最大值為213(2010北京理

10、)已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同,那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為;漸近線方程為,19(2010北京理)(本小題共14分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,是動(dòng)點(diǎn),且直線與的斜率之積等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)直線與分別與直線交于點(diǎn)、,問:是否存在點(diǎn)使得與的面積相等?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.19,解:(1)因點(diǎn)B與(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,則,由題意得,化簡(jiǎn)得:。即P點(diǎn)軌跡為:(2)因,可得,又,若,則有,即設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,則有:解得:,又因,解得。故存在點(diǎn)P使得與的面積相等,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或13(2009北京理)橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上

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