初等變換在線性代數(shù)中的應用

1、陜西理工學院畢業(yè)論文題目初等變換在線性代數(shù)中的應用學生姓名馬晨光學號1109014100所在學院數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)班級數(shù)應1102指導教師王樹勛完成地點陜西理工學院2015年5月30日初等變換在線性代數(shù)中的應用馬晨光（陜西理工學院數(shù)計學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)1102班，陜西 漢中，72300x）指導老師：王樹勛摘要：本文介紹它在求矩陣的逆，求解線性方程組，矩陣方程，求解向量組的秩和極大線性無關組，將二次型化為標準二次型中的應用。關鍵詞：線性代數(shù) 初等變換 逆矩陣 二次型1 引言 線性代數(shù)是高等高職院校理工類和經管類的重要的一門基礎課，而且矩陣理論是線性代數(shù)的主要內容.矩陣的初等變換在線性代

2、數(shù)中有著非常重要的作用.初等變換包括：線性方程組的初等變換、行列式的初等變換、矩陣的初等變換.線性方程組可以寫成系數(shù)矩陣和未知數(shù)矩陣的乘積.所以線性方程組的初等變換也可以用矩陣的初等變換來表示.本文歸納了前人對初等變換在線性代數(shù)中的應用進行了討論，初等變換在線性代數(shù)中是一個核心的概念，在線性代數(shù)有許多知識需要運用初等變換的方法.所以說矩陣的初等變換是初等變換的主要內容.在線性代數(shù)中，矩陣的初等變換是指如下定義：（1） 交換矩陣的兩行（列）；（2） 用一個非零的數(shù)K乘矩陣的某行（列）；（3） 矩陣的某行（列）乘K 倍加到另一行（列）；矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.初等變換在線

3、性代數(shù)中主要具有以下作用：求矩陣的逆，求解線性方程組，求解矩陣方程，求解向量組的秩和極大線性無關組，將二次型化為標準型等.下面我們就根據(jù)這幾個方面談談初等變換在線性代數(shù)中的應用.2 初等變換的應用1.1求矩陣的逆定義1 是數(shù)域中上的階方陣，如果在上存在階方陣，使得,則稱為的可逆矩陣，為的可逆矩陣.關于這個定義要注意兩點：1.1，滿足定義的矩陣是唯一確定的（如果存在的話）。1.2，如果矩陣滿足,那么，一定也滿足.(由于矩陣的乘法一般是沒有乘法交換律的)1.11 矩陣可逆的充要條件（1） 必須是滿秩（2） 可經過行，列初等變換化為單位矩陣（3） 的特征值的乘積不為0（4） 的行（列）向量組線性無關

4、.1.1.2 初等變換求逆由于求矩陣的逆需具備矩陣是方陣。若可逆矩陣是方陣進行若干次初等變換可以轉換為標準型，簡單地說利用初等變換求逆一般的方法就是 或例2 設矩陣= ,求.解 利用初等行變換。故=1.2求解線性方程組：給一個線性方程組很難看出它是否有解，有幾個解，一般我們解決線性方程組問題時有兩種方法：消元法和初等變換法.所謂消元法和我們初中所學的解決一元二次方程的方法一樣，只不過將其擴展了.而初等變換法是將矩陣的理論運用到解方程組的問題上，方便簡單.線性方程組的解一般有三種情況：有唯一解，有無窮解，無解.給一個線性方程組（2）把系數(shù)按原來的位置寫成一個矩陣A=,稱為（2）的系數(shù)矩陣.若把常

5、數(shù)項也添成一列，則得到一個（+1）矩陣=,稱為（2）的增廣矩陣. 顯然如果知道一個線性方程組的全部系數(shù)矩陣和常數(shù)項，那么就可以確定這個線性方 程組,而判斷線性方程組解得情況就是看系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等.若有一個矩陣每一行元素的第一個是非零元素，那么我們就說這個非零元素就是該矩陣的首元，若的前行為非零，其余行全為零，且該首元所在列的其他元素都為0，那么我們就說該矩陣的秩就是.如果在階梯型矩陣中每個首元都等于1，并且每個首元所在的列其他元素都為零，則稱是一個單位階梯型矩陣.線性方程組可以經過初等變換化為同解的方程組，而對線性方程組作初等變換就相當于對它的增廣矩陣作相應的初等變換.由于每

6、個矩陣都可以通過初等變換化為階梯型矩陣，所以每個線性方程組都可以利用初等變換化為同解的階梯型方程組.因為線性方程組分為非齊次線性方程組和齊次線性方程組：非齊次線性方程組解的情況(1) 線性方程組有解的充分必要條件：線性方程組有解的充分必要條件是。且當時有唯一解；當時有無窮多解.（2） 利用增廣矩陣的初等變換求解線性方程組的三種情形：增廣矩陣經過一系列的初等行變換，最后將增廣矩陣轉化成階梯型矩陣，觀察增廣矩陣的非零行個數(shù)是否等于系數(shù)矩陣的非零行個數(shù)。若（）則方程組有唯一解；若（）,方程組有無窮多解。若出現(xiàn)一行最后一個元素不為零而其他元素都為零時（），方程組無解.齊次線性方程組齊次線性方程組解的情

7、況（1） 齊次線性方程組有非零解得充分必要條件是.（2） 齊次線性方程組的方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時（）必有非零解.（3） 齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個數(shù)時（）只有零解.注 若線性方程組有無窮多解，則通解的表達式是不唯一的，因為自由未知量的選取可以不同（但自由未知量的個數(shù)是相同的）.當時，齊次線性方程組有個線性無關的解向量，個無關解向量是它的基礎解系，而且齊次線性方程組的所有解都可以用它的基礎解系來表示.所以解決線性方程組問題就是利用它的基礎解系來表示所有解的情況.非齊次線性方程組與其所對應的齊次線性方程組（導出組）解的關系：（1）非齊次線性方程組有唯一解可以推出齊次線性方程組有唯一

8、零解，反之不對（因為齊次線性方程組有唯一零解可以得出非齊次線性方程組有唯一解或無窮多解）；（2）非齊次線性方程組有無窮多解可以推出齊次線性方程組有非零解.例 1 解方程組的全部解.解 用初等變換把增廣矩陣化為階梯型：所以方程的解為，其中，是數(shù)域中任意數(shù). 1.3矩陣方程含有未知矩陣的方程稱為矩陣方程。求解矩陣方程的原理是根據(jù)矩陣的逆和矩陣的乘法來求得。一般矩陣方程可以通過化簡，可以簡寫成下面三種形式：(1) ;(2) ;(3) ;如果矩陣可逆則可以左乘或右乘逆矩陣的方法求解未知矩陣.則(1)解為(2)解為（3）解為.這里的可以推廣到矩陣的情形，即：如果是一個階可逆陣，是一個矩陣，那么方程有唯一

9、解=.且解也是一個矩陣.如果矩陣不可逆，則利用待定元素法來求解矩陣方程。將未知元素設出來，然后根據(jù)矩陣的乘法將其寫成方程組形式，然后解方程組.如何利用初等變換來解決矩陣方程，我們知道矩陣的逆對的求法，所以我們根據(jù)矩陣的逆的性質對其進行擴展.構造矩陣對這個矩陣進行初等行變換將矩陣化為單位陣,對矩陣也進行初等行變換將矩陣化成.即同理，求解矩陣方程，構造矩陣對這個矩陣進行初等列變換將矩陣化為單位矩陣，對矩陣也進行初等列變換將矩陣化為即例1求使 解 用矩陣的初等變換來求解 故= .1.4 求解向量組的秩和極大線性無關組1 極大線性無關組和向量組的秩定義2 向量組中的部分向量滿足（1）線性無關；（2）向

10、量組的任何向量可由線性表出；則稱是向量組的極大線性無關組.一個向量組的極大線性無關組一般不是唯一的，但是任兩個極大線性無關組所包含的向量個數(shù)是相同的；如果只有一個零向量組成的向量組是不存在極大線性無關組，一個線性無關組的想向量組的極大線性無關組就是這個向量本身.向量組的秩：一個向量組中的極大線性無關組中向量的個數(shù)就是該向量組的秩.向量組的秩等于向量組的行秩等于向量組的列秩，所以要求向量組的秩，可以只求向量組的行秩或列秩.1向量組的秩與極大線性無關組的求法初等變換法首先以向量組中的各向量為列作成矩陣；然后對進行初等行變換，將矩陣化為階梯型矩陣（或行最簡形）；這時中非零行向量的個數(shù)為矩陣的秩，即向

11、量組的秩；由于或的前個非零行的首元所在的行共列，此列所對應的矩陣的個列向量就是最大無關組. 注1 若將向量寫成行向量組形式，則要采用初等列變換，化為列的階梯型（最簡形式），也可以得向量組的秩及最大線性無關組. 2 以向量的分量為列（或行）作矩陣A，則對A必須采用初等行（列）變換，絕對不能寫成行（列）矩陣，又做初等行（列）變換.例 求向量組=（1,2，-1,1），=（2,0，t，0），=（0，-4,5，-2），=（3，-2，t+4，-1）的秩和一個極大線性無關組.解 以向量為行向量排成矩陣，做列初等變換：所以，肯定線性無關，兩種情況：情況1 ：t=3.則，是極大線性無關組，而=2+和=3+2情況

12、2： t3，則是極大線性無關組，而=.向量組線性無關的充要條件是它的秩等于它所含向量的個數(shù).1.5合同矩陣 定義3 兩個實對稱陣和，如果存在可逆矩陣使得,就稱由到的變換為合同變換.如果存在一個可逆矩陣使得就相當于對于二次型的矩陣來說，做一次非退化的線性替換相當于將二次型的矩陣變換成與其合同的矩陣.合同是矩陣之間的一種關系自反性：任何矩陣與自身都是合同的；對稱性：如果與合同，那么與也合同；傳遞性：如果與合同，與合同，那么與也合同.一個二次型經過非退化線性替換后，新的二次型與原來的二次型是合同的.新的二次型與原來的二次型都是可逆或不可逆，而且他們的秩也相同.1.6將二次型化為標準二次型設P是一個數(shù)

13、域，以P中的數(shù)作系數(shù)的的二次齊次多項式稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，簡稱二次型.在討論二次型時矩陣是一個有力的工具我們可以將二次型寫成矩陣形式，令因為所以二次型可以寫成=其系數(shù)就可以寫成矩陣形式A=。因為A是對稱陣所以二次型的矩陣都是對稱矩陣.令X=。這樣就可以把二次型寫成矩陣乘積的形式.可以看到A的對角元素是的系數(shù)，而也是的系數(shù)的一半和的系數(shù)分別位于對角線的兩側。因此二次型與它的矩陣是相互唯一確定的.定義4 設；是兩組變量，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關系 （2）稱為由到的一個線性替換如果系數(shù)是矩陣是滿秩的的，就稱線性替換是非退化的或可逆的.線性替換可以用他的系數(shù)矩陣來表示令，根據(jù)矩陣的乘法可以替換

14、成X=CY。將X=CY帶入方程中因為C是可逆的，所以，所以令X=CY就可以將化為平方和。就是標準二次型。我們知道任何一個二次型都可以經過非退化線替換后仍是二次型的.化二次型為標準型一般有三種方法：（配方法 正交變換法 初等變換法）主要講初等變換法例 利用初等變換將二次型化為二次型解 二次型的系數(shù)矩陣為A=將其初等變換經過變換X=CY化為標準型3 結論矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個重要的工具，因此我認為矩陣的初等變換在線性代數(shù)的重要性是不言而喻的，本文在介紹利用初等變換求矩陣的逆時若沒有初等變換就沒有一般的求逆矩陣的方法，這是初等變換的重要作用之一.重要作用之二是在求解線性方程組是將線性方程組寫

15、成矩陣乘積的形式，然后利用初等變換的方法將方程的所有解的情況都能表示出來也能解出來，所以初等變換在求解線性方程組時的作用是非常方便的.重要作用之三是利用初等變換求解向量的極大線性無關組和無關向量.重要作用四是利用初等變換這一工具是運用合同矩陣的定義將二次型轉化為標準的二次型.利用初等變換在線性代數(shù)中可以解決很多問題，也可以為解決很多問題提供方便，初等變換在線性代數(shù)中都有求矩陣的秩，矩陣的逆，解線性方程組和向量的極大無關線性組，矩陣方程這些作用等等.初等變換在線性代數(shù)中具有很大的作用，難道只有這些作用嗎？值得我們進一步去探索.參考文獻【1】 王文省.高等代數(shù)，濟南：山東大學出版社，2004.5.

16、【2】 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)（第二版）.北京：高等教育出版社.2004.【3】 張禾瑞，郝炳新.高等數(shù)學（第四版）北京：高等教育出版社.2004.【4】 姚慕生。高等數(shù)學.上海：復旦大學出版社，2003.6.【5】 林亨成，陳群，矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的一些應用.成都教育學院，2006,11。【6】 吳靜，初等變換在線性代數(shù)中的應用，西安思源學院高數(shù)研究室.【7】 周亞蘭，高等代數(shù)學習指導，西北大學出版社.2007.2【8】王艷華，考試周刊2011年第30期J利用矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應用.【9】李小剛，劉吉定等，21世紀高等院校創(chuàng)新教材線性代數(shù)及其應用，科學出版社.【10】錢吉

17、林，線性代數(shù)概論M.【11】李永樂，研究生入學考試指導叢書線性代數(shù)2001.4.【12】張釗，初等變換在線性代數(shù)中的應用.M 和田師范?？茖W校學報.Elementary transformation in the application of linear algebraMa Chenguang(Shaanxi institute of statistics professional 1102 meter college class Hanzhong 72300x, Shaanxi)Tutor: Wang ShuxunAbstract :Introduced it in the inverse of the matrix, to solve the linear system of eq